Laboratorio di Elettrotecnica Reti del secondo ordine. Autore: Dino Ghilardi

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Giorgio Vigano
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1 Laboratorio i Elettrotecnica Reti el secono orine Autore: Dino Ghilari 4 icembre 207

2 . Reti el secono orine: Attività i laboratorio. Innanzitutto analizziamo la rete a costruire risolveno il problema analiticamente... Testo E Inuttore reale R 2 i L L C v C Si consieri la rete in figura, con: C = 22µF = 200Ω R 2 = 8.5Ω L = 0mH V in = 5V Sapeno che l interruttore si chiue per, calcolare l anamento nel tempo elle variabili i stato (v C (t) e i L (t))..2 Soluzione analitica Scriviamo le uali elle variabili i stato in funzione elle variabili i stato come: i C = i R i L = E v C i L Sostituiamo la relazione costitutiva el conensatore otteneno C v C = v C i L + E Per la secona equazione, analogamente, v C = C v C C i L + E C v L = v C R 2 i L L i L = v C R 2 i L i L = L v C R 2 L i L I valori iniziale saranno nulli in quanto a interruttore aperto la serie i interruttore e generatore è equivalente a un circuito aperto. I valori asintotici si ottengono sostitueno al conensatore un circuito aperto e all inuttore un corto circuito. Con un partitore i tensione otteniamo v C = E R 2 +R 2 = 85 Con una Legge i ohm sulla serie +R 2 otteniamo la corrente nell inuttore: i L = Equazione i stato (in forma simbolica) [ [ vc = i L E = 0 +R 2 C C R 2 L L Sostitueno i valori ei componenti otteniamo [ vc i L + [ E C 0 Dino Ghilari

3 = = C 200Ω 22µF = = = C 22µF L = 0mH = 00 R 2 L = 8,5Ω 0mH = = 850 E = 5 04 = 0000 C Equazione i stato (in forma matriciale) [ vc i L [ = [ vc i L + [ La traccia ella matrice i stato è: Il eterminante ella matrice i stato è: Valori iniziali Valori asintotici v C (0) = 0 v C = 85 i L (0) = 0 i L = 0 T = a +a 22 = 077,27 = a a 22 a 2 a 2 = 4,73864e+06 Esseno T < 0 e > 0 il sistema è stabile Il coefficiente i smorzamento è: α = 2 T = 538,636 La pulsazionei risonanza é: L equazione caratteristica è: ω 2 0 = = 4,73864e+06 S 2 +2αS +ω 2 0 = 0 S2 +077,27S +4,73864e+06 = 0 La quale ha come soluzioni (frequenze naturali) S = α± { 538,636 j209,5 α 2 ω0 2 S = 538,636+j209,5 Aveno raici complesse e coniugate, la soluzione sará el tipo: In particolare otteniamo x(t) = e αt [A cos(βt)+a 2 sin(βt)+x { vc (t) = e αt [A cos(βt)+a 2 sin(βt)+v C i L (t) = e αt [A 3 cos(βt)+a 4 sin(βt)+i L Calcoliamo quini i coefficienti che compaiono in tale relazione: Calcolo i β: β = ω0 2 α 2 = 4,73864e ,636 2 = 4,4485e+06 = 209,5 2 Dino Ghilari

4 Calcolo ei coefficienti A x : Valutano le soluzioni per t = 0, basanoci sulle conizioni iniziali otteniamo v C (0) = e 0 [A cos(0)+a 2 sin(0)+v C 0 = A + 85 A = 0, e i L (0) = e 0 [A 3 cos(0)+a 4 sin(0)+i L 0 = A A 3 = 0, Valutiamo le equazioni i stato per t = 0, otteneno per la prima equazione: ( v C = a v C (0)+a 2 i L (0)+c = 0000 ) ( ) Per la secona equazione: i L = a 2 v C (0)+a 22 i L (0)+c 2 = 00 0+( 850) 0+0 = 0 = 36,36 Derivano le soluzioni: v C = { e αt [A cos(βt)+a 2 sin(βt) } = αe αt [A cos(βt)+a 2 cos(βt)+e αt [ A βsin(βt)+a 2 βcos(βt) Valutanola in t = 0 otteniamo: v C = αa +βa 2 A 2 = ( ) β v C +αa Analogamente per l altra variabile i stato si ottiene i L = αa 3 +βa 4 A 4 = ( ) β i L +αa 3 Sostitueno i valori ottenuti in preceenza otteniamo: Soluzione completa: A 2 = A 4 = (36,36+538,636 ( 0,203837)) = 0, ,5 (0+538,636 ( 0, )) = 0, ,5 v C (t) = e 538,636t [ 0,203837cos(209,5t)+0,486722sin(209,5t)+ 85 i L (t) = e 538,636t [ 0, cos(209,5t) 0, sin(209,5t)+ 0 3 Dino Ghilari

5 ..2. Grafico ella tensione sul conensatore. Le esponenziali i inviluppo i v C (t) avranno una ampiezza pari a: A inv = quini l inviluppo ella funzione sarà ( ) A 2 +A 2 2 = 0, , = 0, inv(t) = ±A inv e αt +v C = ±0, e 538,636t +0, }{{} 85 le tangenti alle esponenziali i inviluppo intersecheranno il valore asintotico opo un tempo t = α = 538,636 s =,85654ms all istante i tempo in cui è stata fatta partire la tangente alla curva, e il grafico ottenuto sarà 0.6 exp( *x)*( *cos(209.5*x) *sin(209.5*x) )+( ) *exp( *x)+( ) *exp( *x)+( ) Simulazione matlab....si rimana al ocumento relativo per la simulazione con Matlab. 4 Dino Ghilari

5 Ω non è montato in quanto ato alla resistenza interna ell inuttore (componente nero a sinistra) l interruttore è realizzato chiueno il circuito manualmente metteno in contatto

6 ..4 Misura ella tensione sul conensatore nel transitorio i chiusura ell interruttore. Esempio i montaggio su breaboar el circuito. Si noti che: sono stati utilizzati ue resistori a 00Ω per realizzare il resistore a 200Ω il resistore a 8.5 Ω non è montato in quanto ato alla resistenza interna ell inuttore (componente nero a sinistra) l interruttore è realizzato chiueno il circuito manualmente metteno in contatto il connettore banana rosso con il terminale più a estra el resistore a 00Ω Anamento ella tensione sul conensatore (v C (t)). Nota: le impostazioni i trigger visibili sullo schermo sono state cambiate rispetto a quelle utilizzate realmente al fine i farle ricavare urante l esperimento. 5 Dino Ghilari

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