CONTROLLI AUTOMATICI Ingegneria della Gestione Industriale RETI CORRETTRICI

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1 CONTROLLI AUTOMATICI Ingegneria della Gestione Industriale RETI CORRETTRICI Ing. Luigi Biagiotti Tel / lbiagiotti@deis.unibo.it

2 Regolatori standard Alcune strutture standard di regolatori reti correttrici anticipo o ritardo 1 polo ed uno zero reali anticipo/ritardo due poli e due zeri reali distinti regolatori industriali Proporzionali (P) Integrali (I) Proporzionali-Integrali (PI) Proporzionali-Derivativi (PD) Proporzionali-Integrali-Derivativi (PID) Reti Correttrici -- 2

3 Perché le reti correttrici? Sia data la fdt Si vuole un errore a regime alla rampa unitaria inferiore a.1 Quindi dovrebbe essere Reti Correttrici -- 3

4 Perché le reti correttrici? D altra parte, applicando Routh Eq.ne caratteristica: Sistema in retroazione stabile per Semplice azione proporzionale NON SUFFICIENTE!!! Reti Correttrici -- 4

5 Rete di anticipo (phase( lead) Funzione di trasferimento: Si assume una rete a guadagno statico unitario Gain db /τ 1/.5.5τ 1/ατ 1 1 ατ τ Spesso α.1 ϕ m = 55 Serve per migliorare il margine di fase Phase deg 4 2 ωm = 1 ( τ α ) ω (rad/sec) ϕ 5 in ω=1/ατ La rete anticipatrice ha due effetti sulla funzione di anello: migliora il margine di fase intorno ad ω m effetto utile aumenta il guadagno per ω > 1/τ τ effetto collaterale Reti Correttrici -- 5

6 Rete di anticipo (phase( lead) Funzione di trasferimento: 1 1 ατ τ 1 La rete anticipatrice ha due effetti sulla funzione di anello: migliora il margine di fase intorno ad ω m effetto utile aumenta il guadagno per ω > 1/τ τ effetto collaterale Reti Correttrici -- 6

7 Rete di Anticipo (phase( lead) Formule utili ϕ m α Reti Correttrici -- 7

8 Rete di Anticipo (phase( lead) Effetti sulla f.d.t. di anello Gain db 5-5 cresce ω c Phase deg -1-9 L(s) migliora M F -18 ω (rad/sec) Se si sceglie τ in modo che ω m ω c effetto stabilizzante Reti Correttrici -- 8

9 Rete di Anticipo (phase( lead) Effetti sulla f.d.t. di anello 2 Gain db Phase deg Ingrandita ω (rad/sec) L'aumento di guadagno in ω c si può compensare riducendo il guadagno statico del regolatore prestazioni statiche!!! aggiunta di un polo nell'origine Reti Correttrici -- 9

10 Rete di Anticipo (phase( lead) Effetti sulla f.d.t. di anello Gain db Phase deg /τ 1/ατ La specifica sul M f 9 si può soddisfare qui ω(rad/sec) se si vuole ω c come prima Con la rete di anticipo non si può ottenere M f 9 perché max anticipo è < 9 per imporre ω c occorre G R <<1 Aggiunto polo nell'origine Reti Correttrici -- 1

11 Sintesi delle reti di Anticipo Ragionamento effetto utile: anticipo di fase db Impianto + R 1-2 ω 1 ω 2-1 Specifiche: M F = 9 e ω c > ω 1 Se posiziono la rete in ω 1 la nuova frequenza di taglio sarà ω 2 > ω 1 Devo anche calcolare un anticipo di fase maggiore per gli effetti combinati La procedura è iterativa anticipo minimo necessario Reti Correttrici -- 11

12 Rete di Anticipo Esempio 1 Plant: R 1 G Specifiche: 1) traccio diagramma di G 2) verifico specifiche statiche G 3) traccio diagramma di R 1 G ω c 12 rad/s M ϕ 4 posso usare una rete di anticipo Reti Correttrici G

13 Rete di Anticipo Esempio 1 Plant: R 1 G Specifiche: 4) calcolo l anticipo della rete ϕ amin 4 se tagliassi in 12 rad/s. Poiché la rete guadagna, taglierò più a dx, e quindi mi occorre un anticipo maggiore. Quanto? Ragionamento: Se cercassi un anticipo di 55 avrei α =.1 e la rete guadagnerebbe 1dB in ω=ω m. La nuova ω c1 si avrebbe in G(ω c1 )=-1dB. Uso ω c1 come frequenza di tentativo da cui calcolare α Reti Correttrici G G ω c1

14 Rete di Anticipo Esempio 1 Plant: Specifiche: 5) leggo ω c1 dal diagramma c1 22 rad/s ω c R 1 G G ω c1 ω m 6) calcolo l anticipo in ω c1 ϕ a G 7) ricavo la pulsazione ω m in cui la R 1 G attenua 11.5 db ω m 25 rad/s Luigi Biagiotti Controlli -1 1 Automatici Reti 2 1 Correttrici

15 Rete di Anticipo Esempio 1 Plant: R 1 G R 2 Specifiche: 8) calcolo τ ed ατ G L R 2 9) traccio i diagrammi di R 2 e di L e VERIFICO IL RISULTATO -3 G ω c 25 rad/s; M F L O.K Reti Correttrici -- 15

16 Rete di Anticipo Esempio 1 Plant: R 1 G R 2 Specifiche: Osservazioni: La soluzione trovata potrebbe non soddisfare le specifiche. occorre iterare nell intorno della soluzione trovata. Se si tracciano diagrammi asintotici l anticipo di fase della rete risulta leggermente minore di quello calcolato, a causa della approssimazione asintotica Trattandosi di un progetto grafico -12 le specifiche sono soddisfatte -15 entro una fascia del 1% Reti Correttrici G G R 2 L L

17 Rete di Anticipo Esempio 1 Plant: Specifiche: coda di assestamento Imag Axes Real Axis Reti Correttrici

18 Sintesi delle Reti di Anticipo Si sfrutta l anticipo di fase l anticipo di fase È massimo in Algoritmo di progetto 1) si verifica se le specifiche si possono soddisfare con una rete di anticipo ω c desiderata > ω c del sistema; l'anticipo di fase richiesto in ω c desiderata sia < ) si assume come pulsazione di attraversamento di tentativo quella alla quale l impianto attenua 1dB. Si calcola l'anticipo di fase necessario a quella frequenza 3) si calcola α (con la formula o il diagramma al lucido 7) necessario per garantire l'anticipo di fase scelto; Gain db Phase deg /τ 1/ατ ω (rad/sec) Reti Correttrici -- 18

19 Sintesi delle Reti di Anticipo Si sfrutta l anticipo di fase È massimo in Gain db Phase deg /τ 1/ατ ω (rad/sec) 4) si calcola il guadagno in ω m ( -1 log α) e si determina la frequenza alla quale il diagramma del modulo non compensato vale 1 log α (<). Lì si posiziona la rete questa frequenza corrisponde ad ω m questa frequenza corrisponde alla nuova frequenza di attraversamento 5) si calcolano 6) si verifica il risultato e si itera se non è soddisfacente Reti Correttrici -- 19

20 Rete di Anticipo Esempio 2 Specifiche nel dominio temporale 4 G ( s) = 2 s Specifiche: T a2 4s; S% 2% Se chiuso in retroazione unitaria, ha comportamento oscillatorio smorzato (2 radici immaginarie) 1 5 T a2 4/δω n δω n 1 δ.45 ω n M f = 1*δ = 45 Per questo sistema la rete di anticipo non consente di ottenere M f = Reti Correttrici -- 2

21 Rete di Anticipo Esempio 2 Specifiche nel dominio temporale ( s) G = 4 2 s 1) Verifica della fattibilità con rete anticipatrice G(jω) = 1 per ω = 2 o.k. anticipo richiesto 45 o.k. 2) Calcolo dell'anticipo di fase valore richiesto 45, scelgo 5 per avere un po' di margine 3) Calcolo di α dalla tabella α =.13 T a2 4s; S% 2% τs = 1+ ατs α < 2% R() s ; Reti Correttrici -- 21

22 Rete di Anticipo Esempio 2 Specifiche nel dominio temporale ( s) G = 4 2 s 4) Calcolo del guadagno della rete anticipatrice in ω * α =.13-1*log α = 8.25 ω * = ) calcolo τ =1/ (ω * α) =.83 ατ =.1 6) Verifico T a2 4s; S% 2% ω c > 2.22 a2 < 4s /τ T a Reti Correttrici -- 22

23 Rete di Anticipo Esempio 2 Specifiche nel dominio temporale 4 G ( s) = 2 T a2 4s; S% 2% s risposta ottenuta Come previsto, il sistema in retroazione è un po' più veloce non ha esattamente l'overshoot desiderato relazione approssimata M f δ presenza di uno zero con dinamica un poco più lenta di quella prescelta R 1+.83s 1+.1s () s = G ; α < R risposta attesa Reti Correttrici -- 23

24 Rete di Anticipo Esempio 2 Specifiche nel dominio temporale giustificazione della risposta al gradino L'alterazione della risposta è dovuta allo zero a bassa frequenza introdotto dalla rete di anticipo, presente nella f.d.t. in retroazione, il cui effetto è solo parzialmente cancellato dal polo Imag Axis k = 4 doppio Real Axis Luogo delle radici della L(s) con guadagno = 1 Reti Correttrici -- 24

25 Rete di Ritardo (phase( lag) Funzione di trasferimento α 1 =.1 α 2 =.5 G r = 1 Gain db /τ 1/α 1 τ 1/α 2 τ 1 1 ατ τ Phase deg Serve per migliorare le prestazioni a bassa frequenza ωm = 1 La rete di ritardo ha due effetti sulla funzione di anello: ( τ α ) ω (rad/sec) ϕ 5 in ω=1/ατ riduce il guadagno per ω>1/ >1/τ effetto utile peggiora il margine di fase intorno ad ω effetto collaterale Reti Correttrici -- 25

26 Rete di Ritardo (phase( lag) Funzione di trasferimento: 1 1 ατ τ 1 La rete di ritardo ha due effetti sulla funzione di anello: riduce il guadagno per ω>1/ >1/τ effetto utile peggiora il margine di fase intorno ad ω m effetto collaterale Reti Correttrici -- 26

27 Rete di Ritardo (phase( lag) Formule utili 1 -ϕ m α Reti Correttrici -- 27

28 Rete di Ritardo (phase( lag) Effetti sulla f.d.t. di anello due possibilità aumento del guadagno in bassa frequenza senza alterare il comportamento in alta frequenza 5 1/ατ G r = 1/α -5 impianto 1/ατ ω c / Reti Correttrici -- 28

29 Rete di Ritardo (phase( lag) Effetti sulla f.d.t. di anello due possibilità riduzione del guadagno in alta frequenza per migliorare il margine di fase si riduce la banda passante impianto G r = 1 τ e ατ maggiori della più grande costante di tempo dell'impianto a parte evidenti cambiamenti di segno sono valide le stesse formule della rete di anticipo Reti Correttrici -- 29

30 Sintesi delle Reti di Ritardo db -2 Impianto + R 1-1 Si sfrutta l attenuazione senza accentuare il ritardo di fase Lo zero si colloca una decade prima della ω c scelta, in modo da non aggiungere ritardo di fase in ω c α si calcola per ottenere l'attenuazione necessaria per imporre ω c ω c ω 1 Attenzione alla coppia polo/zero strutturalmente a frequenza più bassa di quella di taglio coda di assestamento -9 si usa se M F non soddisfacente -18 e ω c < ω 1 Reti Correttrici -- 3

31 Sintesi delle Reti di Ritardo Si sfrutta l attenuazione È massima dopo /τ 1/ατ ω (rad/sec) Algoritmo di progetto 1) si verifica se le specifiche si possono soddisfare con una rete di ritardo M F insufficiente; ω c desiderata < ω c del sistema; l'attenuazione richiesta in ω c desiderata sia < 2-3dB 2) si calcola la frequenza alla quale M F di tolleranza è soddisfacente Reti Correttrici -- 31

32 Sintesi delle Reti di Ritardo Si sfrutta l attenuazione È massima dopo Reti Correttrici /τ 3) si posiziona lo zero della rete una decade più in basso di ω c in modo da garantire uno sfasamento < 5 in ω c ατ = 1/ω c 4) si calcola l'attenuazione necessaria per imporre ω ; c 1/ατ ω (rad/sec) 5) si calcola α per garantire l'attenuazione richiesta e quindi si calcola τ Così come esposto l algoritmo può essere inutilmente limitativo. Se alla pulsazione di taglio scelta la fase propria del sistema fosse esuberante rispetto alle specifiche, si può spostare la rete più a sx per limitare la coda di assestamento

33 Rete di ritardo Esempio 1 ( ) G s = s 1 ( s + 2) il M f dell'impianto non è sufficiente M f > 6 per ω c < 1 Scelgo ω c = 1 ατ = 1/ω c =1 Attenuazione necessaria 2log α = -15 db α = 1^(-15/2) =.18 τ = 1/.18 = 56 Specifiche: M f > 6 1/τ /ατ 1+ ατs R r < 1+ τs ( s) = G α ω 1 c Reti Correttrici -- 33

34 Rete di ritardo Esempio 1 1 G( s) = Specifiche: M f > 6 s s + 2 ( ) Avendo scelto ω c = 1, δ =.6 mi aspetto T a2 = 7 s Cosa è successo? Si nota la tipica coda di assestamento dovuta ad una cancellazione polo/zero lenti non completa risposta ottenuta risposta attesa Era prevedibile? Si perché la f.d.t. di anello ha tre poli ed uno zero al crescere del guadagno un polo tende allo zero Reti Correttrici -- 34

35 Rete di ritardo Esempio 1 1 G( s) = Specifiche: M f > 6 s s + 2 ( ) R s 1s = 56s ( ) k= 5 dinamica prescelta dinamica residua a bassa frequenza la cancellazione non è completa perché il guadagno non è infinito Reti Correttrici -- 35

36 Rete di Ritardo e Anticipo (lead( lead-lag) Funzione di trasferimento Diagramma di Bode asintotico ατ τ τ Im α τ Re Log G(jω) a Arg[G(jω)] α τ1 τ2 τ1 ατ1 log(w) Unione di rete di ritardo e di rete di anticipo log(w) Consente di aumentare il guadagno in bassa frequenza senza pregiudicare la banda passante ed il margine di fase Reti Correttrici -- 36

37 Rete di Ritardo e Anticipo (lead( lead-lag) Funzione di trasferimento Diagramma di Bode asintotico Log G(jω) α τ1 τ2 τ1 ατ1 log(ω) α Arg[G(jω)] log(ω) Consente di aumentare il guadagno in bassa frequenza senza pregiudicare la banda passante ed il margine di fase Reti Correttrici -- 37

38 Progetto di reti correttrici Problema della determinazione dei parametri delle reti correttrici Procedimento che può essere fatto in modo esatto utilizzando le formule di inversione Possiamo interpretare la risposta armonica associata ad una rete correttrice, del tipo Come una funzione di cui vogliamo determinare i parametri τ 1 e τ 2 in funzione del guadagno M e della fase ϕ della rete: Reti Correttrici -- 38

39 Progetto di reti correttrici Separando parte reale e parte immaginaria otteniamo il sistema: Risolvendolo rispetto a τ 1 e τ 2 otteniamo le formule cercate: Reti Correttrici -- 39

40 Rete di Anticipo Rete anticipatrice Dominio di validità: 1 Reti Correttrici -- 4

41 Rete di Ritardo Rete ritardatrice Dominio di validità: 1 Reti Correttrici -- 41

42 Applicazione alla rete di Anticipo Si individua il punto B che possiede il margine di fase richiesto Si individua il punto A, tale che ω A divenga la nuova pulsazione di incrocio -1 Reti Correttrici -- 42

43 Applicazione alla rete di Ritardo Si individua il punto B che possiede il margine di fase richiesto Si individua il punto A, tale che ω A divenga la nuova pulsazione di incrocio -1 Reti Correttrici -- 43

44 CONTROLLI AUTOMATICI Ingegneria della Gestione Industriale RETI CORRETTRICI FINE Ing. Luigi Biagiotti Tel / lbiagiotti@deis.unibo.it