Sistemi di Controllo - Controlli Automatici (Parte B) Ingegneria Meccanica e Ingegneria del Veicolo

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1 Sistemi di Controllo Controlli Automatici Ho superato la Parte A in data(mese/anno) Intendo svolgere la tesina con Matlab/Simulink Sistemi di Controllo - Controlli Automatici (Parte B) Ingegneria Meccanica e Ingegneria del Veicolo Compito del 15 luglio Quiz Per ciascuno dei seguenti quesiti, segnare con una crocetta le risposte che si ritengono corrette. Alcuni quesiti possono avere più risposte corrette. I quiz si ritengono superati se vengono individuate almeno metà delle risposte esatte (punti 5 su 1), diversamente il compito verrà ritenuto insufficiente a prescindere dal risultato della seconda prova. 1. Dato il sistema dinamico descritto mediante i diagrammi di Bode di figura: il margine di ampiezza è infinito il margine di ampiezza vale circa 75 db il margine di ampiezza vale circa 25 db non è possibile calcolare il valore del margine di ampiezza Magnitude (db) Phase (deg) Bode Diagram Frequency (rad/sec) 2. Dato un impianto caratterizzato da un disturbo d sull uscita non trascurabile nell intervallo di frequenze [, 1] rad/sec, al fine di ottenerne un attenuazione di almeno 1 volte il regolatore in retroazione dovrà grarantire che la funzione di anello sia: L(jω) > 1db, per ω [,1] rad/sec L(jω) > 4db, per ω [,1] rad/sec L(jω) > 2db, per ω [,1] rad/sec L(jω) < 4db, per ω [,1] rad/sec 3. La funzione di sensitività S(s) = 1 1+R(s)G(s) il disturbo sull uscita d con l uscita medesima il disturbo di misura n con l uscita mette in relazione il riferimento (set-point) con l errore di inseguimento le variazioni parametriche dell impianto G/G e quelle del sistema retroazionato F/F 4. Dato un sistema in retroazione affetto da un ritardo τ nella funzione di anello e caratterizzato da una pulsazione di incrocio ω c e da un margine di fase M f, la stabilità del sistema è garantita se: τ < M f ω c τ > M f ω c τ < M f ω c τ > M f ω c 5. Il controllo ad azione diretta (feedforward) presenta i seguenti vantaggi: ottime performance in condizioni non nominali robustezza rispetto a rumore sull uscita non necessità di una conoscenza precisa del plant ottenimento di tempi di assestamento molto inferiori a quelli ottenibili con il solo controllore in retroazione (feedback)

2 6. La progettazione di una rete correttrice per cancellazione: permette di imporre in maniera esatta sia il margine di ampiezza che la pulsazione di incrocio della funzione di anello è utile per evitare l insorgere di code di assestamento può essere effettuata cancellando qualunque polo dell impianto, anche instabile può essere infattibile nel caso non si riesca a ottenere il margine di fase desiderato alla pulsazione di incrocio scelta 7. In un regolatore PID, l azione derivativa: introduce un anticipo di fase serve per ridurre lo sforzo di controllo può produrre un azione di controllo molto grande a seguito dell applicazione di un ingresso a gradino garantisce errore a regime nullo 8. Dato l impianto G(s) = G 1 (s)g 2 (s), con la dinamica G 1 (s) collocata a monte di G 2 (s), volendo progettare un sistema di controllo in cascata: il segnale tra G 1 (s) e G 2 (s) deve essere accessibile per la misura è necessario poter controllare il segnale in ingresso a G 2 (s) la banda dell anello interno che si vuole ottenere deve essere sensibilmente più larga di quella dell anello esterno la velocità di risposta del sistema è determinata dall ampiezza di banda dell anello interno 9. Datoun sistema caratterizzatoda un elevatorumoredi misuraallafrequenzaf n = 1 KHz, alfine di evitare un amplificazione del rumore stesso dovuto al fenomeno dell aliasing e in mancanza di filtro anti-aliasing opportuno, la pulsazione di campionamento ω s del regolatore tempo-discreto utilizzato per controllarlo dovrà essere: ω s > 2f n = 2 rad/sec ω s > 4πf n = rad/sec ω s < 1/2f n = 5 rad/sec ω s < πf n = 3141 rad/sec 1. Se si dimezza la durata di una generica traiettoria q(t): l accelerazione massima si riduce di un fattore 2 l accelerazione massima si riduce di un fattore 4 l accelerazione massima aumenta di un fattore 4 l accelerazione massima aumenta di un fattore 2

3 Sistemi di Controllo Controlli Automatici Ho superato la Parte A in data(mese/anno) Intendo svolgere la tesina con Matlab/Simulink Sistemi di Controllo - Controlli Automatici (Parte B) Ingegneria Meccanica e Ingegneria del Veicolo Compito del 15 luglio Problemi Rispondere in maniera analitica ai seguenti quesiti. I problemi e le domande a risposta aperta si ritengono superati se vengono conseguiti almeno metà dei punti totali (1 su 2), diversamente il compito verrà ritenuto insufficiente a prescindere dal risultato della prima prova. 1. Dopo aver illustrato la definizione e il significato del margine di fase e del margine di ampiezza, enunciare il criterio di Bode per la stabilità dei sistemi retroazionati. 2. Dato l impianto (s+1) G(s) = 5 s(s s+64) Si vuole realizzare un regolatore in retroazione che consenta l ottenimento delle seguenti specifiche statiche e dinamiche: errore a regime nullo per ingresso di riferimento a rampa; risposta aperiodica; tempo di assestamento T a.2s; azione di controllo più piccola possibile. Si richiede pertanto di svolgere i seguenti punti. a) Progettare il regolatore R(s) di complessità minima che posto in reatroazione unitaria negativa con l impianto G(s) consenta di soddisfare tutte le specifiche indicate in alto. b) Tracciare il diagramma di Bode delle ampiezze della funzione di anello L(s) = R(s) G(s). Quindi sovrapporrre a questo il diagramma della funzione di sensitività S(s) e (a partire dal diagramma) valutare l attenuazione a regime di un disturbo d(t) = sin(.2t) c) Volendo inseguire senza errore il riferimento y sp (t) (di cui è nota l espressione analitica insieme a quella delle sue derivate) progettare l azione di feed-forward u ff (t) (compensazione in avanti del riferimento) necessaria. d) Volendo discretizzare il regolatore R(s) scegliere il tempo di campionamento più idoneo tenendo in considerazione la banda del sistema in anello chiuso una specifica sul ricostruttore di ordine zero che deve introdurre uno sfasamento sul margine di fase inferiore a 5 o Discretizzare il regolatore con il metodo delle differenze all indietro. e) Scrivere l equazione alle differenze del regolatore R(z) = U(z) E(z). f) Scrivere l espressione della traiettoria cicloidale in tempo minimo tra q = 1 e q 1 = 1 (t = ) che soddisfi i limiti su velocità massima e accelerazione massima v max = 2 e a max = 4 e il cui spettro dell accelerazione sia collocato nella banda [, 2] rad/s. Scrivere quindi l espressione della traiettoria (cicloidale) di ritorno da q = 1 (t = T) a q 1 = 1 (t 1 = 2T).

4 1 Diagrammi di Bode delle ampiezze di L(s) e S(s) Modulo M [db]

5 Sistemi di Controllo Controlli Automatici Ho superato la Parte A in data(mese/anno) Intendo svolgere la tesina con Matlab/Simulink Sistemi di Controllo - Controlli Automatici (Parte B) Ingegneria Meccanica e Ingegneria del Veicolo Compito del 15 luglio Quiz Per ciascuno dei seguenti quesiti, segnare con una crocetta le risposte che si ritengono corrette. Alcuni quesiti possono avere più risposte corrette. I quiz si ritengono superati se vengono individuate almeno metà delle risposte esatte (punti 5 su 1), diversamente il compito verrà ritenuto insufficiente a prescindere dal risultato della seconda prova. 1. Dato il sistema dinamico descritto mediante i diagrammi di Bode di figura: il margine di ampiezza è infinito il margine di ampiezza vale circa 75 db il margine di ampiezza vale circa 25 db non è possibile calcolare il valore del margine di ampiezza Magnitude (db) Phase (deg) Bode Diagram Frequency (rad/sec) 2. Dato un impianto caratterizzato da un disturbo d sull uscita non trascurabile nell intervallo di frequenze [, 1] rad/sec, al fine di ottenerne un attenuazione di almeno 1 volte il regolatore in retroazione dovrà grarantire che la funzione di anello sia: L(jω) > 1db, per ω [,1] rad/sec L(jω) > 4db, per ω [,1] rad/sec L(jω) > 2db, per ω [,1] rad/sec L(jω) < 4db, per ω [,1] rad/sec 3. La funzione di sensitività S(s) = 1 1+R(s)G(s) il disturbo sull uscita d con l uscita medesima mette in relazione il disturbo di misura n con l uscita il riferimento (set-point) con l errore di inseguimento le variazioni parametriche dell impianto G/G e quelle del sistema retroazionato F/F 4. Dato un sistema in retroazione affetto da un ritardo τ nella funzione di anello e caratterizzato da una pulsazione di incrocio ω c e da un margine di fase M f, la stabilità del sistema è garantita se: τ < M f ω c τ > M f ω c τ < M f ω c τ > M f ω c 5. Il controllo ad azione diretta (feedforward) presenta i seguenti vantaggi: ottime performance in condizioni non nominali robustezza rispetto a rumore sull uscita non necessità di una conoscenza precisa del plant ottenimento di tempi di assestamento molto inferiori a quelli ottenibili con il solo controllore in retroazione (feedback)

6 6. La progettazione di una rete correttrice per cancellazione: permette di imporre in maniera esatta sia il margine di ampiezza che la pulsazione di incrocio della funzione di anello è utile per evitare l insorgere di code di assestamento può essere effettuata cancellando qualunque polo dell impianto, anche instabile può essere infattibile nel caso non si riesca a ottenere il margine di fase desiderato alla pulsazione di incrocio scelta 7. In un regolatore PID, l azione derivativa: introduce un anticipo di fase serve per ridurre lo sforzo di controllo può produrre un azione di controllo molto grande a seguito dell applicazione di un ingresso a gradino garantisce errore a regime nullo 8. Dato l impianto G(s) = G 1 (s)g 2 (s), con la dinamica G 1 (s) collocata a monte di G 2 (s), volendo progettare un sistema di controllo in cascata: il segnale tra G1 (s) e G 2 (s) deve essere accessibile per la misura è necessario poter controllare il segnale in ingresso a G 2 (s) la banda dell anello interno che si vuole ottenere deve essere sensibilmente più larga di quella dell anello esterno la velocità di risposta del sistema è determinata dall ampiezza di banda dell anello interno 9. Datoun sistema caratterizzatoda un elevatorumoredi misuraallafrequenzaf n = 1 KHz, alfine di evitare un amplificazione del rumore stesso dovuto al fenomeno dell aliasing e in mancanza di filtro anti-aliasing opportuno, la pulsazione di campionamento ω s del regolatore tempo-discreto utilizzato per controllarlo dovrà essere: ω s > 2f n = 2 rad/sec ωs > 4πf n = rad/sec ω s < 1/2f n = 5 rad/sec ω s < πf n = 3141 rad/sec 1. Se si dimezza la durata di una generica traiettoria q(t): l accelerazione massima si riduce di un fattore 2 l accelerazione massima si riduce di un fattore 4 l accelerazione massima aumenta di un fattore 4 l accelerazione massima aumenta di un fattore 2

7 Sistemi di Controllo Controlli Automatici Ho superato la Parte A in data(mese/anno) Intendo svolgere la tesina con Matlab/Simulink Sistemi di Controllo - Controlli Automatici (Parte B) Ingegneria Meccanica e Ingegneria del Veicolo Compito del 15 luglio Problemi Rispondere in maniera analitica ai seguenti quesiti. I problemi e le domande a risposta aperta si ritengono superati se vengono conseguiti almeno metà dei punti totali (1 su 2), diversamente il compito verrà ritenuto insufficiente a prescindere dal risultato della prima prova. 1. Dopo aver illustrato la definizione e il significato del margine di fase e del margine di ampiezza, enunciare il criterio di Bode per la stabilità dei sistemi retroazionati. 2. Dato l impianto (s+1) G(s) = 5 s(s s+64) Si vuole realizzare un regolatore in retroazione che consenta l ottenimento delle seguenti specifiche statiche e dinamiche: errore a regime nullo per ingresso di riferimento a rampa; risposta aperiodica; tempo di assestamento T a.2s; azione di controllo più piccola possibile. Si richiede pertanto di svolgere i seguenti punti. a) Progettare il regolatore R(s) di complessità minima che posto in reatroazione unitaria negativa con l impianto G(s) consenta di soddisfare tutte le specifiche indicate in alto. Il soddisfacimento della specifica statica (errore nullo per ingresso a rampa) richiede almento un polo nell orgine (essendo l impianto già di tipo 1) e pertanto il regolatore R(s) potrà avere la forma di un PI o un PID. Dalle altre specifiche discendono i seguenti vincoli frequenziali: risposta aperiodica M f 8o ; tempo di assestamento T a.2s 3 ω c.2 ω c 3.2 = 15 rad/s; Dal momento che viene richiesto di minimizzare l azione di controllo, si assumerà la minima pulsazione di incrocio compatibile con le altre specifiche. Perciò ωc = 15 rad/s. Alla pulsazione ωc = 15, i valori di modulo e argomento dell impianto esteso G e(s) = G(s) s valgono G e (j15) =.133 e arg{g e (j15)} = o rispettivamente. Di conseguenza l aggiunta dello zero di un semplice PI consentirebbe al più di ottenere un margine di fase o. Pertanto sarà necessario un regolatore PID. Per la progettazione iniziale del PI R PI (s) = µ τzs+1 s (non potendo procedere per cancellazione, non avendo l impianto nessun polo reale prima di ωc se non quello nell origine) si assume una pulsazione di incrocio ωc,1 = 1 rad/s e un margine di fase Mf,1 = 5o. Si procede al calcolo di G e (j1) =.378 e arg{g 2 (j1)} = o, per cui ϕ 1 = 18o +Mf,1 arg{g 2(j1) = o da cui e µ = L espressione del regolatore PI risulta τ z = tanϕ ω = G e (j1) 1+(τ z ω c) 2 = R PI (s) = s+1. s Una volta realizzato il regolatore PI, la progettazione della rete di anticipo che compone il PID deve essere svolta a partire dal sistema esteso (denominato G e1 (s)) composto dall impianto e dal regolatore R PI (s) G e1 (s) = R PI (s)g(s) = (.2975s+1)(s+1) s 2 (s s+64)

8 e imponendo la pulsazione di incrocio desiderata ω c = 15 rad/s e il margine di fase M f = 8o. Occorre pertanto calcolare modulo e argomento per ω = ω c = 15 di G e1 (s): G e1 (j15) =.5141, arg{g e1 (j15)} = o. I parametri della rete anticipatrice si trovano imponendo nelle formule di inversione un amplificazione e uno sfasamento M = 1 G e1 (j15) = ϕ = 18 o +M f arg(g e1 (j15)) = o 9 o Dopo avere verificato analiticamente le condizioni di applicabilità della rete anticipatrice, e in particolare che cos(ϕ ) >.5141, M dalle formule di inversione si ricava che τ =.1156 e α =.1395 per cui e alla fine il regolatore complessivo risulta R a (s) =.1156s s+1 R PID (s) = (.2975s+1)(.1156s+1) s(.1612s+1) b) Tracciare il diagramma di Bode delle ampiezze della funzione di anello L(s) = R(s) G(s). Quindi sovrapporrre a questo il diagramma della funzione di sensitività S(s) e (a partire dal diagramma) valutare l attenuazione a regime di un disturbo d(t) = sin(.2t) Vedere diagramma in fondo. Come si evince dal diagramma S(jω), il cui valore alla pulsazione ω =.2 rad/s vale circa 45db, l attenuazione del disturbo è pari a A = 45db =.56 (il valore analitico sarebbe S(j.2) =.6). c) Volendo inseguire senza errore il riferimento y sp (t) (di cui è nota l espressione analitica insieme a quella delle sue derivate) progettare l azione di feed-forward u ff (t) (compensazione in avanti del riferimento) necessaria. Per trovare l espressione analitica dell azione in avanti occorre invertire la funzione di trasferimento dell impianto R ff (s) = G 1 (s) = s s 2 +64s 5s+5 dove la funzione di trasferimento ha grado relativo 2, per cui non fisicamente realizzabile. Dal momento che l espressione analitica di y sp (t) e delle sue derivate risulta nota, è possibile implementare R ff (s) dividendone il numeratore per il denominatore e ottenendo in questo modo da cui R ff =.2s s s+5 U ff (s) =.2s 2 Y sp (s)+.236sy sp (s)+1.44y sp (s) s+5 Y sp(s) { } 52.2 u ff (t) =.2y sp (2) (t)+.236y sp (1) (t)+1.44y sp (t)+l 1 5s+5 Y sp(s) d) Volendo discretizzare il regolatore R(s) scegliere il tempo di campionamento più idoneo tenendo in considerazione la banda del sistema in anello chiuso

9 una specifica sul ricostruttore di ordine zero che deve introdurre uno sfasamento sul margine di fase inferiore a 5 o Discretizzare il regolatore con il metodo delle differenze all indietro. Il tempo di campionamento può essere scelto considerando la più restrittiva delle condizioni suddette: (a) ω c = 15 rad/s ω s = 1ω c = 15 T = 2π =.419 s ω s (b) M f = T 2 ω 18 c π 5o T 5 2π ω c 18 =.116 s essendo ω c = 15 rad/s. Il valore T =.1 soddisfa entrambi i vincoli richiesti. Assumendo s = 1 z 1 la funzione di trasferimento del regolatore discretizzata risulta T R PID (s) = (.2975s+1)(.1156s+1) s(.1612s+1) R PID (z) = z z z z 2 = 12.47z z+11.1 z z e) Scrivere l equazione alle differenze del regolatore R(z) = U(z) E(z). Interpretando z 1 come l operatore ritardo unitario segue immediatamente che l equazione alle differenze corrispondente a R(z) è R PID (z) = z z z z 2 = U(z) E(z) u k = 1.617u k u k e k 23.54e k e k 2 f) Scrivere l espressione della traiettoria cicloidale in tempo minimo tra q = 1 e q 1 = 1 (t = ) che soddisfi i limiti su velocità massima e accelerazione massima v max = 2 e a max = 4 e il cui spettro dell accelerazione sia collocato nella banda [, 2] rad/s. Scrivere quindi l espressione della traiettoria (cicloidale) di ritorno da q = 1 (t = T) a q 1 = 1 (t 1 = 2T). L espressione della traiettoria cicloidale è q(t) = hq N (τ) τ= t t T +q dove q N (τ) è la corrispondente espressione normalizzata q N (τ) = τ 1 2π sin2πτ. Nel caso in esame lo spostamento in modulo vale h = q 1 q = 2 mentre la durata T deve essere determinata sulla base dei vincoli. In particolare, dai limiti su velocità e accelerazione risulta q (1) max = h T q(1) N max v max q max (2) = h T 2q(2) N max a max T = 2 s T 2 2π 4 = s mentre la specifica di tipo frequenziale relativa al fatto di collocare lo spettro della traiettoria nella banda [, 2] rad/s si traduce in 2π T 2 T 2π 2 = π.

10 Si noti infatti che lo spettro dell accelerazione della traiettoria cicloidale ( sin ( 2π T t) ) è composto da una sola riga a pulsazione 2π T. Il vincolo più stringente (che porta la periodo più lungo) è quello frequenziale, per cui si assumerà T = π s. Sostituendo nell espressione della traiettoria si ottiene ( t q(t) = 1 2 π 1 ) 2π sin(2t) mentre il ritorno risulta ( t π q(t) = ) π 2π sin(2(t π)).

11 1 8 Diagrammi di Bode delle ampiezze di L(s) e S(s) L S 6 4 Modulo M [db]