Controlli Automatici LB Parte 2 Regolatori standard e Metodi di taratura Reti Correttrici Rete di Anticipo Rete di Ritardo Rete di Ritardo/Anticipo

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1 Controlli Automatici LB Parte 2 Regolatori standard e Metodi di taratura Reti Correttrici Rete di Anticipo Rete di Ritardo Rete di Ritardo/Anticipo Prof. Carlo Rossi DEIS-Università di Bologna Tel crossi@deis.unibo.it URL: www-lar.deis.unibo.it/~crossi

2 1. Introduzione alle Reti Correttrici 2. Rete di Anticipo 3. Rete di Ritardo Indice 4. Rete di Ritardo/Anticipo 5. Rete correttrici - sommario delle regole di taratura 6. Problemi di code di assestamento con le reti correttrici 7. Riferimenti Bibliografici Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB Reti correttrici 2

3 Introduzione alle Reti Correttrici Risultati dell'analisi di Scenario regolatori senza poli nell'origine individuati si utilizzano con specifica di errore a regime costante non nullo Scenario A regolatore statico Scenario B regolatori dinamici reti correttrici ( )( 1+ τ 2 s) ( )( 1+ α 2 τ 2 s) R( s)= k 1+ α τ s τ 1 s R d ( )( 1+ τ 2 s) ( )( 1+ α 2 τ 2 s) ( s)= 1+ α τ s τ 1 s Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB Reti correttrici 3

4 Introduzione alle Reti Correttrici Sviluppo del progetto fase preliminare al progetto di regolatori senza polo nell'origine si progetta il regolatore statico R s (s) = k per imporre la più severa tra la specifica statica e quella sulla attenuazione di un eventuale disturbo caratterizzato spettralmente si progetta quindi la rete correttrice (regolatore dinamico ) a guadagno unitario si progetta sull'impianto già compensato staticamente L* = k G le formule per la compensazione statica e di attenuazione del disturbo sono già state illustrate nel capitolo sulle Specifiche dei sistemi di controllo salvo diversa indicazione, in questo capitolo non ci si occuperà quindi della scelta del guadagno statico k Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB Reti correttrici 4

5 Introduzione alle Reti Correttrici Sviluppo del progetto si considerano reti correttrici a guadagno unitario si progettano sull'impianto già compensato staticamente L* = k G rete di anticipo rete di ritardo ( )( 1+ τ 2 s) ( )( 1+ α 2 τ 2 s) R( s)= 1+ α τ s τ 1 s rete di ritardo/anticipo Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB Reti correttrici 5

6 Rete di Anticipo Rete di anticipo a guadagno unitario Im 4 polo Re 3 due effetti sulla L 2 1 zero aumento del guadagno L'effetto utile è l'anticipo di fase tra zero e polo 8 1/τ 1/ατ ω intervallo di frequenze di utilizzo della rete anticipo di fase Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB Reti correttrici 6

7 Caratteristiche principali Rete di Anticipo Im ω = 1/τ ω = 1/ατ Re α =.1 τ = Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB max 7-75 errore < 1 una decade oltre il polo la fase residua è < 5 Reti correttrici 7

8 Ruolo dei parametri Rete di Anticipo Im Re α =.1 τ = α =.1 τ = 3.3 α =.15 τ = Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB Reti correttrici 8

9 Formule utili Rete di Anticipo α per ottenere un dato ϕ max pulsazione del massimo anticipo guadagno max (in alta frequenza) guadagno in corrispondenza di ω* ϕ max α Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB Reti correttrici 9

10 Formule utili Rete di Anticipo α per ottenere ϕ max guadagno in ω* R(ω*) db ϕ max Se nel progetto si sceglie una frequenza di attraversamento in cui il guadagno richiesto e l'anticipo di fase sono sulla curva, la rete progettata avrà minimo guadagno in alta frequenza Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB Reti correttrici 1

11 Rete di Anticipo Razionale del progetto si tracciano i diagrammi di Bode dell'impianto già compensato staticamente (kg(s)) si sceglie la frequenza di attraversamento ω c desiderata all'interno dell'intervallo di specifica kg 1 specifiche 2 < ω c < 7 rad/s M f >7 ad es. ω c = 4 rad/s -2 1 Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB 1 1 Reti correttrici 11

12 si valutano sui diagrammi Razionale del progetto Rete di Anticipo 2 1 il guadagno R (jω c ) db per imporre l'attraversamento in ω c l'anticipo di fase Arg(R (jω c )) per imporre il margine di fase desiderato ad es. ω c = 4 rad/s R (j4) db = +1dB specifiche kg 2 < ω c < 7 rad/s M f >7 Arg(R (j4))= Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB 1 1 Reti correttrici 12

13 Razionale del progetto si sviluppa il progetto nel corso verrà illustrato un metodo analitico basato sull'uso di formule, dette di inversione Rete di Anticipo 2 1 ad es. ω c = 4 rad/s R (j4) db = +1dB specifiche kg 2 < ω c < 7 rad/s L M f >7 Arg(R (j4))= Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB 1 1 Reti correttrici 13

14 Rete di Anticipo Progetto della rete con le formule di inversione Problema progettare una rete di anticipo a guadagno statico unitario k= 1 scegliere cioè τ e ατ che in ω = ω c garantisca un guadagno R (jω c ) (in unità lineari) pari a M (M>1) un anticipo di fase Arg(R (jω c )) pari a ϕ ( < ϕ<9 ) l'espressione del regolatore in ω c è in termini generali di funzione complessa eguagliando le due espressioni si ha Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB Reti correttrici 14

15 Rete di Anticipo Progetto della rete con le formule di inversione dal lucido precedente, evidenziando le variabili τω c e ατω c 1+ jτω c = M cosϕ + jm sinϕ 1+ jατω c sviluppando ( M cosϕ + jm sinϕ )( 1+ jατω ) c = 1+ jτω c si svolgono le parentesi M cosϕ + jm cosϕ(ατω c ) + jm sinϕ + j 2 M sinϕ(ατω c ) = 1+ j(τω c ) si separano parte reale e parte immaginaria M cosϕ M sinϕ(ατω c ) 1+ j M cosϕ(ατω c ) + M sinϕ τω c Re ( ) = si eguagliano a zero parte reale e parte immaginaria Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB Reti correttrici 15 Im

16 Rete di Anticipo Progetto della rete con le formule di inversione dal lucido precedente ( ) = M cosϕ M sinϕ(ατω c ) 1+ j M cosϕ(ατω c ) + M sinϕ τω c Im = Re Im M cosϕ(ατω c ) + M sinϕ τω c = Re = in forma matriciale Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB Reti correttrici 16

17 Rete di Anticipo Progetto della rete con le formule di inversione dal lucido precedente risolvendo per τω c e ατω c invertendo la matrice Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB Reti correttrici 17

18 Rete di Anticipo Progetto della rete con le formule di inversione dal lucido precedente sviluppando l'equazione matriciale Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB Reti correttrici 18

19 Rete di Anticipo Progetto della rete con le formule di inversione dal lucido precedente dividendo per il parametro già scelto ω c si ottengono le Formule di inversione non tutte le scelte della coppia M e ϕ, con M > 1 e < ϕ < 9 garantiscono una soluzione ammissibile < α < 1 τ > Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB Reti correttrici 19

20 Rete di anticipo Esempio di progetto con le formule di inversione Impianto Specifiche dinamiche Margine di fase > 7 1 ω c 5 rad/s Step 1 - traccio diagramma di L*=kG ω c 12 rad/s M ϕ 4 (insufficiente) Step 2 - Scelgo una nuova frequenza ω c * (superiore a quella propria del sistema) nell'intervallo di specifica ω c * = 2 rad/s Step 3 - Calcolo (in ω c * ) il guadagno M e l'anticipo di fase ϕ necessari ad imporre l'attraversamento ed il margine di fase richiesti Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB Reti correttrici L* db = -8 db M db = - L* db M = 1 (8/2) = 2.5 ϕ = +5 L* ω c

21 Rete di anticipo Esempio di progetto con le formule di inversione Impianto Specifiche dinamiche Margine di fase > 7 1 ω c 5 rad/s ω c * = 2 rad/s M = 2.5 ϕ = +5 Step 4 - Calcolo i parametri della rete L* R L Le specifiche sono soddisfatte ω c = 21 rad/s M f = 78.5 Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB Reti correttrici 21

22 Verifica Impianto Specifiche M f > 7 1 ω c 5 rad/sec coda di assestamento residuo piccolo attesa con δ.83 ω n 4 undershoot 4 vera ω n 4 3 risposta al gradino Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB Reti correttrici L δ.83 Rete di anticipo ω c 21 δ dinamica 2 dominante

23 Coda di assestamento Rete di anticipo la presenza di una coda di assestamento è fisiologica quando si usa una rete anticipatrice la rete contiene uno zero collocato di solito a frequenza inferiore a quella di attraversamento nella funzione di trasferimento del sistema in retroazione, lo zero fungerà da attrattore per un polo dell'impianto la dinamica residua complessiva risulterà quindi più lenta di quella imposta con la frequenza di attraversamento se si sono imposti poli complessi coniugati, la coda di assestamento potrebbe comunque essere più corta del tempo di assestamento per valutare l'importanza della coda nella risposta occorre stimarne il tempo di assestamento e confrontarlo con quello del sistema in retroazione senza considerare la coda se è superiore a quello imposto al sistema, la presenza della coda può portare al mancato soddisfacimento delle specifiche. Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB Reti correttrici 23

24 Coda di assestamento Rete di anticipo per eliminare la coda di assestamento si può pensare ad un progetto per cancellazione si colloca lo zero della rete in cancellazione di un polo dell'impianto per questo tipo di rete è opportuno scegliere il polo a frequenza inferiore alla ω c prescelta più vicino ad essa poli dell'impianto Zero il progetto per cancellazione non è sempre possibile occorre verificarne la fattibilità lo zero è fissato, resta da valutare l'effetto del polo ω c apple Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB Reti correttrici 24

25 Rete di anticipo Progetto per cancellazione - formule utili lo zero del regolatore è collocato in corrispondenza di un polo dell'impianto τ c è quindi già fissato per imporre la cancellazione resta da considerare il polo, la cui f.d.t. è R p = 2log db dalla prima ϕ ( R ) p = arctg ( ωτ ) 1+ ( ωτ ) 2 dalla seconda Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB Reti correttrici 25

26 Rete di anticipo Progetto per cancellazione - formule utili dal lucido precedente da cui modulo in funzione della fase -1-2 Polo fase in funzione del modulo Fase (gradi) Modulo (db) Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB Reti correttrici 26

27 impianto Rete di anticipo Esempio di progetto per cancellazione Specifiche dinamiche Margine di fase > 7 1 ω c 5 rad/s Step 1- diagramma di L*=kG ω c 12 rad/s M f Step 2 - introduco lo zero in cancellazione di un polo dell'impianto di solito quello più vicino (a frequenza inferiore) alla ω c scelta Step 3 - diagramma di Bode della L' compensata con lo zero Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB Reti correttrici ω c 4 non fisicamente realizzabile!! L* 12rad/s L'

28 Rete di anticipo Esempio di progetto per cancellazione Specifiche dinamiche Margine di fase > 7 1 ω c 5 rad/s Step 4 - rilevo la frequenza di attraversamento ed il µαργινε δι φασε χηε ρισυλτανο ω c = 2 rad/s M f = 9 Step 5 - valuto la fattibilità del progetto per cancellazione la nuova frequenza di attraversamento e la fase sono all'interno dei rispettivi intervalli di specifica posso procedere ω c L* 2rad/s (o.k.) L' 9 (o.k.) Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB Reti correttrici 28

29 Rete di anticipo Esempio di progetto per cancellazione Specifiche dinamiche Margine di fase > 7 1 ω c 5 rad/s Step 6 - introduco il polo di fisica realizzabilità in modo da rispettare le specifiche non ridurre troppo la frequenza di attraversamento non introdurre sfasamenti che pregiudichino il margine di fase se il polo è collocato una decade dopo ω c i suoi effetti sono nulli sul modulo e trascurabili sulla fase scelta conservativa il regolatore ha un guadagno in alta frequenza più alto del necessario Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB Reti correttrici R zero polo L +25dB

30 Rete di anticipo Esempio di progetto per cancellazione Specifiche dinamiche Margine di fase > 7 1 ω c 5 rad/s per limitare il guadagno in alta frequenza conviene posizionare il polo il più possibile vicino alla ω c attenzione a sfasamento ed attenuazione introdotti la specifica richiede M f > 7 e lo zero mi ha portato a +9 posso accettare che il polo introduca uno sfasamento ϕ = -2 in ω c = 2 rad/s la relazione tra la fase e la costante di tempo nel polo è da cui Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB Reti correttrici R polo zero L' L +15dB

31 Esempio di progetto per cancellazione verifica specifiche dinamiche Margine di fase > 7 1 ω c 5 rad/s con cancellazione senza cancellazione δ.83 ω n 4 risposta al gradino s Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB Reti correttrici Rete di anticipo ω c = M -45 f = 75 δ δ.84 L ω n

32 Rete di ritardo Rete di ritardo a guadagno unitario Im -1 zero Re polo 1/τ attenuazione ritardo di fase 1/ατ ω due effetti sulla L -4-6 L'effetto utile è l'attenuazione oltre lo zero Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB Reti correttrici 32

33 Descrizione della rete Rete di ritardo Im ω = 1/τ ω = 1/ατ Re -5-1 α =.1 τ = errore < una decade oltre il polo la fase residua è < 5 Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB Reti correttrici 33

34 Ruolo dei parametri Rete di ritardo Im ω = 1/τ ω = 1/ατ Re -5-1 α =.3 τ = 1 α =.1 τ = errore < una decade oltre il polo la fase residua è < 5 Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB Reti correttrici 34

35 Formule utili Rete di ritardo pulsazione del massimo anticipo attenuazione max (in alta frequenza) attenuazione in corrispondenza di ω* α Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB Reti correttrici 35

36 Razionale del progetto Rete di Ritardo si tracciano i diagrammi di Bode dell'impianto già compensato staticamente (kg(s)) si sceglie la frequenza di attraversamento ω c desiderata all'interno dell'intervallo di specifica si valutano sui diagrammi l'attenuazione R (jω c ) db per imporre l'attraversamento in ω c il ritardo di fase Arg(R (jω c )) per imporre il margine di fase desiderato si sviluppa il progetto nel corso verrà illustrato un metodo analitico basato sull'uso di formule, dette di inversione Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB Reti correttrici 36

37 Rete di Ritardo Progetto della rete con formule di inversione Problema Progettare una rete di ritardo a guadagno statico unitario k = 1 scegliere τ e ατ che in ω = ω c garantisca una attenuazione (in unità lineari) pari a M (<M<1) ed un ritardo di fase pari a ϕ (-9 < ϕ< ) il procedimento è analogo a quello per le reti di anticipo R( jω ) c = 1+ jατω c 1+ jτω c ( M cosϕ + jm sinϕ )( 1+ jτω ) c = 1+ jατω c = Me jϕ = M cosϕ + jm sinϕ svolgendo le parentesi e separando la parte reale e quella immaginaria Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB Reti correttrici 37

38 Rete di Ritardo Non tutte le coppie M, ϕ garantiscono una soluzione con Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB Reti correttrici 38

39 Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB Reti correttrici Rete di ritardo Esempio di progetto con le formule di inversione Impianto Specifiche dinamiche Margine di fase > 6 4 < ω c < 2 rad/s Step 1 - traccio diagramma di L*=kG ω c 2 rad/s M ϕ 3 Step 2 - Scelgo una nuova frequenza -14 db ω c * -1 ω c * (inferiore a quella propria del sistema) nell'intervallo di specifica dove la fase propria dell'impianto soddisfa le specifiche (scenario A) ω c * = 6 rad/s Step 3 - Calcolo (in ω c * ) l'attenuazione M necessaria ad imporre l'attraversamento ed il massimo ritardo di fase ϕ che la rete può introdurre senza pregiudicare il margine di fase M db = 14 db M =.2 ϕ = -1 L*

40 Rete di ritardo Esempio di progetto con le formule di inversione Impianto Specifiche dinamiche Margine di fase > 6 4 < ω c < 2 rad/s ω c * = 6 rad/s M =.2 ϕ = -1 Step 4 - Calcolo i parametri della rete con le formule di inversione L R Le specifiche sono soddisfatte ω c = 6 rad/s M f = 65 Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB Reti correttrici 4

41 1.2 Verifica Impianto Specifiche dinamiche Mf > 6 4 < ω c < 2 rad/s coda di assestamento 1.4 residuo piccolo coda di assestamento 1 undershoot Rete di ritardo ω c 7 L δ.65 ω n vera attesa con δ.6 ω n 9 risposta al gradino Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB Reti correttrici δ.6

42 Coda di assestamento Rete di ritardo la presenza di una coda di assestamento è fisiologica quando si usa una rete di ritardo essa contiene uno zero collocato strutturalmente a frequenza inferiore a quella di attraversamento nella funzione di trasferimento del sistema in retroazione, lo zero fungerà da attrattore per un polo dell'impianto la dinamica residua complessiva risulterà quindi più lenta di quella imposta con la frequenza di attraversamento se si sono imposti poli complessi coniugati, la coda di assestamento potrebbe comunque essere più corta del tempo di assestamento per valutare l'importanza della coda nella risposta occorre stimarne il tempo di assestamento e confrontarlo con quello del sistema in retroazione senza considerare la coda se è superiore a quello imposto al sistema, la presenza della coda può portare al mancato soddisfacimento delle specifiche Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB Reti correttrici 42

43 Coda di assestamento Rete di ritardo per eliminare la coda di assestamento si può pensare ad un progetto per cancellazione si colloca lo zero della rete in cancellazione di un polo dell'impianto per questo tipo di rete è opportuno scegliere il polo a frequenza inferiore escluso un eventuale polo nell'origine poli dell'impianto Zero il progetto per cancellazione non è sempre possibile occorre verificarne la fattibilità lo zero è fissato, resta da valutare l'effetto del polo ω c ω Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB Reti correttrici 43

44 Rete di ritardo Progetto per cancellazione - formule utili lo zero del regolatore è collocato in corrispondenza di un polo dell'impianto τ c è quindi già fissato per imporre la cancellazione resta da considerare il polo, la cui f.d.t. è R p = 2log db dalla prima ϕ ( R ) p = arctg ( ωτ ) 1+ ( ωτ ) 2 dalla seconda Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB Reti correttrici 44

45 Rete di ritardo Progetto per cancellazione - formule utili dal lucido precedente da cui modulo in funzione della fase -1-2 Polo fase in funzione del modulo Fase (gradi) Modulo (db) Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB Reti correttrici 45

46 impianto Esempio di progetto per cancellazione Specifiche dinamiche Margine di fase > 6 4 ω c 2 rad/s Step 1- diagramma di L*=kG ω c 2 rad/s M f 3 Step 2 - introduco lo zero in cancellazione di un polo dell'impianto di solito quello a frequenza inferiore non fisicamente realizzabile!! Rete di ritardo Step 3 - diagramma di Bode della L' compensata con lo zero Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB Reti correttrici 46 L' L*

47 Rete di ritardo Esempio di progetto per cancellazione Specifiche dinamiche Margine di fase > 6 4 ω c 2 rad/s Step 4 - scelgo la frequenza di attraversamento ω c ω c = 7 rad/s Step 5 - calcolo l'attenuazione necessaria per imporre ω c Rp = -26dB e valuto il margine di fase M f = M f il polo di fisica realizzabilità può introdurre un ritardo di fase pari a = 88 Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB Reti correttrici 47 ω c L' L*

48 Rete di ritardo Esempio di progetto per cancellazione Specifiche dinamiche Margine di fase > 6 4 ω c 2 rad/s Step 6 - verifica di fattibilità calcolo il ritardo di fase introdotto dal polo che garantisce una attenuazione Rp = -26dB dalle formule utili ω c dB L' il progetto per cancellazione è fattibile (di misura) Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB Reti correttrici 48

49 Esempio di progetto per cancellazione Specifiche dinamiche Margine di fase > 6 4 ω c 2 rad/s Step 7 - introduco il polo in modo da imporre in ω c = 7 una attenuazione di -26dB dalle formule utili L Rete di ritardo R -26dB le specifiche sono soddisfatte (di misura!) si poteva scegliere una ω c inferiore, (ad es. 5rad/s) che avrebbe consentito una soluzione con un margine più ampio Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB Reti correttrici 49

50 Esempio di progetto per cancellazione verifica specifiche dinamiche Margine di fase ω c 2 rad/s con cancellazione senza cancellazione ω n 9 δ.6 risposta al gradino Rete di ritardo ω c 6 δ Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB Reti correttrici L δ.6 ω n

51 condizioni di utilizzo Regolatori per lo Scenario B situazioni dopo la compensazione statica L* = R s G L* L* ω cmin ω cmax Rete di ritardo-anticipo la frequenza di attraversamento della funzione L* = R s G è esterna συπεριορµεντε ο νελλα παρτε συπεριορε δελλ ιντερϖαλλο δι σπεχιφιχα περ apple c la sola rete di anticipo non basta perchè porterebbe la frequenza di attraversamento fuori dall'intervallo di specifica occorre un regolatore che oltre all'anticipo di fase introduca anche una attenuazione a frequenza comunque superiore ad apple dmax arg(r) ( )( 1+ τ 2 s) ( )( 1+ α 2 τ 2 s) R( s)= k 1+ α τ s τ 1 s ω dmax ω c R ω Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB Reti correttrici 51

52 Rete di ritardo-anticipo Rete di Ritardo/Anticipo a guadagno unitario ( )( 1+ τ 2 s) ( )( 1+ α 2 τ 2 s) R( s)= 1+ α τ s τ 1 s 2 effetti utili 1 τ 1 < ω < 1 α 1 τ 1 attenuazione 1 < ω < 1 τ 2 α 2 τ 2 anticipo di fase Im Re -45 è la cascata di: una rete di ritardo una rete di anticipo Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB Reti correttrici 52

53 R( s)= 1+ α τ s τ 1 s Scomposizione della rete composta dalla cascata di due reti Rete di ritardo-anticipo ( )( 1+ τ 2 s) Im ( )( 1+ α 2 τ 2 s) Re Rete di Ritardo R rr ( ) ( ) ( s)= 1+ α τ s τ 1 s Rete di Anticipo R ra ( ) ( ) ( s)= 1+ τ s 2 1+ α 2 τ 2 s Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB Reti correttrici 53

54 Rete di ritardo-anticipo - taratura Progettazione della rete per il progetto della rete procederemo per passi, progettando le due sottoreti una dopo l'altra utilizzando, per ciascuna, una delle tecniche di taratura già illustrate come sempre, il progetto della seconda dovrà tenere conto delle azioni già introdotte dalla prima alcune domande lecite quale delle due reti va progettata per prima? a priori non fa differenza c'è qualche vantaggio a scegliere un ordine piuttosto che l'altro? si, in entrambi i casi prima di procedere è opportuno analizzare meglio questa problematica Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB Reti correttrici 54

55 Rete di ritardo-anticipo - taratura Ordine di progettazione e gradi di libertà il regolatore ha 4 parametri (α 1, α 2, τ 1, τ 2 ) per soddisfare le due specifiche frequenza di attraversamento e margine di fase i 4 parametri non possono però essere scelti liberamente il progetto presenta comunque almeno 1 grado di libertà entrambe le reti componenti possono essere progettate per fornire, ad una ω c assegnata, un effetto utile di entità rilevante (dipende da α) rete di anticipo anticipo di fase rete di ritardo attenuazione un effetto parassita di lieve entità (dipende da α e da τ) rete di anticipo guadagno rete di ritardo ritardo di fase ciascuna delle due reti è quindi in grado di compensare l'effetto parassita introdotto dall'altra Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB Reti correttrici 55

56 Rete di ritardo-anticipo - taratura Ordine di progettazione e gradi di libertà rete progettata per prima si utilizza esclusivamente per il suo effetto utile il valore dell'effetto parassita non va imposto perchè potrà essere compensato dalla seconda rete nel progetto c'è quindi un grado di libertà rete progettata per seconda deve imporre al sistema già compensato con R ra sia il modulo che la fase in ω c non ha quindi gradi di libertà ad es. prima R ra poi R rr si progetta R ra per imporre l'anticipo di fase richiesto in ω c quello rilevato dall'analisi di scenario incrementato del ritardo di fase introdotto successivamente in ω c dal R rr si progetta R rr per imporre l'attraversamento in ω c R rr può introdurre un ritardo di fase aggiuntivo pari a quello già considerato nel progetto di R ra Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB Reti correttrici 56

57 Rete di ritardo-anticipo - taratura Possibili utilizzi del grado di libertà caso A La rete di anticipo viene progettata per prima progetto della Rete di anticipo si può progettare per minimizzare il guadagno in alta frequenza fissato l'anticipo ϕ desiderato in ω c si sceglie il guadagno della rete di anticipo con la formula ricordarsi di aggiungere qualche grado per compensare il ritardo introdotto poi dalla Rete di Ritardo la rete di anticipo viene poi progettata con le formule di inversione e presenta il massimo anticipo di fase proprio in ω c progetto della Rete di ritardo dal diagramma della R ra L* si valutano in ω c l'attenuazione necessaria per imporre l'attraversamento il ritardo di fase massimo ammissibile si progetta la rete di ritardo con le formule di inversione Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB Reti correttrici 57

58 Rete di ritardo-anticipo - taratura Possibili utilizzi del grado di libertà caso A La rete di anticipo viene progettata per prima progetto della Rete di anticipo si può progettare per minimizzare il guadagno in alta frequenza metodo alternativo fissati ω c e l'anticipo ϕ desiderato si progetta la rete utilizzando alcune formule utili presentate in precedenza da progetto della Rete di ritardo se si impone ω* = ω c si ha dal diagramma della R ra L* si valutano in ω c l'attenuazione necessaria per imporre l'attraversamento il ritardo di fase massimo ammissibile si progetta la rete di ritardo con le formule di inversione Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB Reti correttrici 58

59 Rete di ritardo-anticipo - taratura Possibili utilizzi del grado di libertà caso B La rete di ritardo viene progettata per prima progetto della rete di ritardo si può utilizzare il grado di libertà relativo allo sfasamento introdotto dalla rete di ritardo in ω c per minimizzare le code di assestamento nella risposta al gradino si progetta la rete di ritardo per cancellazione progetto della rete di anticipo dal diagramma della R ra L* si valutano in ω c l'anticipo di fase necessario il guadagno per imporre l'attraversamento si progetta la rete di anticipo con le formule di inversione Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB Reti correttrici 59

60 Rete di ritardo-anticipo - taratura 2 Specifiche dinamiche:.7 < ω c < 2 rad/s M f >9 Analisi di Scenario Scenario B occorre una rete di anticipo la ω c andrà oltre l'intervallo di specifica aggiusterò la ω c con una rete di ritardo devo quindi progettare una rete di ritardo-anticipo caso A - Progetto per prima la rete di anticipo non dovendo imporre specifiche sul modulo scelgo la taratura a minimo guadagno in alta frequenza scelgo la frequenza di attraversamento nell'intervallo di specifica, ad es ω c = 1.3 rad/s occorrono 45 di anticipo di fase aggiungo 5 per il ritardo di fase parassita della rete di ritardo ϕ = +5 Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB Reti correttrici 6 L*

61 Rete di ritardo-anticipo - taratura 2 Specifiche dinamiche:.7 < ω c < 2 rad/s M f >9 Caso A Rete di anticipo prima Scelta del guadagno M db L* 2 18 R(ω*) db la rete a minimo guadagno in alta frequenza che assicura + 5 di anticipo di fase ha guadagno in centro banda di +9dB Per il progetto analitico scelgo ω c = 1.3 rad/s M = 2.8 (9 db) ϕ max ϕ = +5 Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB Reti correttrici 61

62 Specifiche dinamiche:.7 < ω c < 2 rad/s M f >9 Progetto ora la Rete di Anticipo con le formule di inversione ω c = 1.3 rad/s M = 2.8 (9 db) ϕ = +5 Dalle formule di inversione per la rete di anticipo τ = 2.16s ατ =.28 s Rete di ritardo-anticipo - taratura L* R ra L' in ω c = 1.3 rad/s la funzione L'=R ra L*: ha la fase corretta ha il modulo troppo alto serve la rete di ritardo come da scelta di progetto la rete di anticipo ha il massimo sfasamento proprio in ω c = 1.3 rad/s Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB Reti correttrici 62

63 Rete di ritardo-anticipo - taratura 2-15dB Specifiche dinamiche:.7 < ω c < 2 rad/s M f >9 Progetto della Rete di Ritardo con formule di inversione dal diagramma della L'=R ra L* in ω c = 1.3 rad/s occorre M =.18 (-15 db) ammetto uno sfasamento ϕ = -5 (già considerato nella Rete di anticipo) Dalle formule di inversione per la rete di ritardo τ = 4s ατ = 7.2 s R rr L L' in ω c = 1.3 rad/s la funzione L=R rr R ra L*: ha la fase corretta ha il modulo unitario ( db) le specifiche sono soddisfatte Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB Reti correttrici 63

64 Rete di ritardo-anticipo - taratura db -6 R rra Verifica T a5 = 8s per eliminare la coda potrei progettare R rr per cancellazione atteso 2.3s s Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB Reti correttrici L

65 Rete di ritardo-anticipo - taratura 2-22dB Specifiche dinamiche:.7 < ω c < 2 rad/s M f >9-2 L* L' caso B - Progetto per prima la rete di ritardo scelgo il progetto per cancellazione Introduco lo zero in cancellazione del polo più lento ατ = 5 Traccio il diagramma della L' = (1+ατ s)l* scelgo la frequenza di attraversamento nell'intervallo di specifica, ad es: in ω c = 1.3 rad/s occorrono -22dB di attenuazione per imporre l'attraversamento in ω c = 1.3 rad/s considero altri -6 db (scelta ragionevole, ma arbitraria) per compensare il guadagno spurio introdotta dalla rete di anticipo. in totale occorrono -28dB Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB Reti correttrici 65

66 Rete di ritardo-anticipo - taratura 2 Specifiche dinamiche:.7 < ω c < 2 rad/s M f >9 caso B - Progetto per prima la rete di ritardo scelgo il progetto per cancellazione ω c = 1.3 rad/s ατ = 5 R p = - 28 db L'=R rr L* L* Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB Reti correttrici 66

67 Specifiche dinamiche:.7 < ω c < 2 rad/s M f >9 caso B - Progetto ora la rete di anticipo scelgo il progetto con le formula di inversione Rete di ritardo-anticipo - taratura dai diagrammi della L' (in ω = 1.3 rad/s) ho ϕ = +55 M = 2 (+6 db) dalle formule di inversione L'=R rr L* L* +6dB +55 Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB Reti correttrici 67

68 Rete di ritardo-anticipo - taratura 2 Specifiche dinamiche:.7 < ω c < 2 rad/s M f > R L 9 L* Le specifiche sono soddisfatte Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB Reti correttrici 68

69 Rete di ritardo-anticipo - taratura 2 Specifiche dinamiche:.7 < ω c < 2 rad/s M f > R L +15dB verifica T a5 = 3s atteso 2.3s s -4 Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB Reti correttrici

70 rete di anticipo Rete correttrici - sommario delle regole di taratura Regole di taratura analizzate progetto con formule di inversione progetto per cancellazione rete di ritardo progetto con formule di inversione progetto per cancellazione rete di ritardo/anticipo (rete a sella) progetto in sequenza delle due reti componenti rete di anticipo progettata per prima progetto della rete di anticipo a minimo guadagno in alta frequenza progetto della rete di ritardo con formule di inversione rete di ritardo progettata per prima progetto della rete di ritardo per cancellazione progetto della rete di anticipo con formule di inversione Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB Reti correttrici 7

71 Rete di anticipo - sommario delle regole di taratura Progetto analitico mediante formule di inversione Step 1 Si sceglie una frequenza di attraversamento: interna all'intervallo di specifica 2 18 R(ω*) db maggiore di quella dell'impianto 16 cercando di garantire in ω c una 14 coppia guadagno/sfasamento sulla 12 curva per avere una rete a guadagno ridotto in alta frequenza. Step 2 alla frequenza di attraversamento scelta si ricavano: il guadagno M e lo sfasamento ϕ che la rete deve avere a quella frequenza per imporre le specifiche Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB ϕ max Reti correttrici 71

72 Rete di anticipo - sommario delle regole di taratura Progetto analitico mediante formule di inversione Step 3 si calcolano i parametri della rete mediante le formule di inversione Step 4 si tracciano i diagrammi di Bode del regolatore R e della funzione d'anello L e si verifica il soddisfacimento delle specifiche Step 5 si verifica il progetto analizzando il sistema in retroazione mediante il luogo delle radici e la risposta al gradino Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB Reti correttrici 72

73 Rete di anticipo - sommario delle regole di taratura Progetto per cancellazione Step 1 Si compensa il sistema con uno zero in cancellazione del polo più vicino, ma a frequenza inferiore, alla frequenza di attraversamento scelta Step 2 si tracciano i diagrammi di Bode del sistema compensato con il solo zero in cancellazione (L'). 1 a verifica di fattibilità del progetto Se all'interno dell'intervallo di specifica per la frequenza di attraversamento non esiste nessuna frequenza in cui L' rispetta la specifica sul margine di fase, il progetto per cancellazione non è fattibile (il polo di fisica realizzabilità non può migliorare la fase). Se la 1 a verifica di fattibilità dà esito positivo ci sono due alternative A1) la frequenza di attraversamento di L' è interna all'intervallo di specifica A2) la frequenza di attraversamento di L' è esterna (superiormente) all'intervallo di specifica Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB Reti correttrici 73

74 Rete di anticipo - sommario delle regole di taratura Progetto per cancellazione A1) la frequenza di attraversamento di L' è interna all'intervallo di specifica Il polo della rete deve essere posizionato il più possibile vicino allo zero per garantire il minimo valore di guadagno in alta frequenza L'avvicinamento del polo allo zero introduce uno sfasamento aggiuntivo ed una attenuazione crescente, che abbassa la frequenza di attraversamento Le espressioni ϕ ( R ) p = arctg( 1 R p = 2log db R p db 1 1) 1+ ( tgϕ ) 2 consentono di valutare le relazioni tra sfasamento ed attenuazione introdotti dal polo Ampiezza (db) Come si vede dal diagramma, la funzione mostra una maggiore sensibilità nei confronti della variazione della fase, che per prima va considerata nel progetto Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB Reti correttrici 74 Fase (gradi) Polo

75 Rete di anticipo - sommario delle regole di taratura Progetto per cancellazione A1) la frequenza di attraversamento di L' è interna all'intervallo di specifica - continua Step 3 In ω c si rileva il massimo sfasamento ϕ p che il polo di fisica realizzabilità può introdurre senza pregiudicare il margine di fase Verifica si valuta l'attenuazione che verrebbe introdotta, per verificare che la ω c non esca dall'intervallo di specifica. Se esce si sceglie uno sfasamento inferiore Step 4 si calcola la costante di tempo τ del polo di fisica realizzabilità che lo posizioni in modo da introdurre in ω c lo sfasamento ϕ p Step 5 si verifica il progetto tracciando i diagrammi di Bode di R e di L Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB Reti correttrici 75

76 Rete di anticipo - sommario delle regole di taratura Progetto per cancellazione A2) la frequenza di attraversamento di L' è esterna (superiormente) all'intervallo di specifica Il polo della rete deve introdurre una attenuazione M per imporre una ω c all'interno dell'intervallo di specifica. Si sceglie come ω c l'estremo superiore dell'intervallo e si valuta graficamente l'attenuazione da introdurre 2 a verifica di fattibilità del progetto per cancellazione Lo sfasamento introdotto dal polo, aggiunto a quello della L' non deve compromettere la specifica sul margine di fase. Se la verifica di fattibilità non dà esito positivo -7 il progetto per cancellazione non è fattibile. -8 Diversamente si procede con lo step 3-9 Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB Reti correttrici 76 Fase (gradi) Polo Ampiezza (db)

77 Rete di anticipo - sommario delle regole di taratura Progetto per cancellazione A2) la frequenza di attraversamento è esterna (superiormente) all'intervallo di specifica Step 3 In ω c si rileva il massimo sfasamento ϕ p che il polo di fisica realizzabilità può introdurre senza pregiudicare il margine di fase Verifica si valuta l'attenuazione che verrebbe introdotta, per verificare che la ω c non esca dall'intervallo di specifica. Se esce si sceglie uno sfasamento inferiore Step 4 si calcola la costante di tempo τ del polo di fisica realizzabilità che lo posizioni in modo da introdurre in ω c lo sfasamento ϕ p Step 5 si verifica il progetto tracciando i diagrammi di Bode di R e di L Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB Reti correttrici 77

78 Rete di ritardo - sommario delle regole di taratura Progetto analitico mediante formule di inversione Step 1 Si traccia il diagramma di Bode della L*=R 1 G Step 2 Si sceglie una frequenza di attraversamento: interna all'intervallo di specifica minore di quella propria dell'impianto Step 3 alla frequenza di attraversamento scelta si ricavano: l'attenuazione M che la rete deve avere a quella frequenza per imporre l'attraversamento il massimo ritardo di fase ammissibile ϕ Step 4 si calcolano i parametri della rete mediante le formule di inversione Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB Reti correttrici 78

79 Progetto per cancellazione Rete di ritardo - sommario delle regole di taratura Step 1 Si traccia il diagramma di Bode della L*=R 1 G Step 2 Si compensa il sistema con uno zero in cancellazione del polo dell'impianto a frequenza più bassa, escludendo un eventuale polo nell'origine Step 3 si tracciano i diagrammi di Bode del sistema compensato (L*) e si sceglie la frequenza di attraversamento ω c Step 4 alla frequenza scelta per l'attraversamento si rileva il guadagno dell'impianto e quindi l'attenuazione ( R p db ) polo deve introdurre per imporre l'attraversamento si rileva lo sfasamento in ω c (lo chiamiamo ϕ(l*(ω c ))) che il Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB Reti correttrici 79

80 Progetto per cancellazione Rete di ritardo - sommario delle regole di taratura Verifica di fattibilità si verifica la fattibilità del progetto per cancellazione, calcolando il ritardo di fase complessivo in ω c (quello della L* sommato a quello introdotto dal polo) se ϕ(ω c ) soddisfa le specifiche il progetto per cancellazione è fattibile. Step 5 si calcola la costante di tempo τ del polo mediante la relazione Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB Reti correttrici 8

81 Rete di ritardo/anticipo - sommario delle regole di taratura Rete di anticipo progettata per prima nel progetto della rete si utilizza il grado di libertà per minimizzare il guadagno in alta frequenza Step 1 progetto della rete di anticipo dal diagramma della L*=kG si sceglie la frequenza di attraversamento ω c si valuta l'anticipo di fase (+ϕ a ) necessario per garantire il margine di fase si fissa il valore del ritardo che sarà introdotto in ω c dalla rete di ritardo (-Δϕ) si sceglie per la rete ϕ = ϕ a - (-Δϕ) si sceglie il guadagno (M) della rete in ω c con le formule dati M, ϕ e ω c si progetta la Rete di Anticipo con le formule di inversione Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB 2 R(ω*) db ϕ max Reti correttrici 81

82 Rete di ritardo/anticipo - sommario delle regole di taratura Rete di anticipo progettata per prima nel progetto della rete si utilizza il grado di libertà per minimizzare il guadagno in alta frequenza Step 2 progetto della rete di ritardo dal diagramma della L'=R ra kg si valuta l'attenuazione (in db) necessaria per garantire la frequenza di attraversamento ω c si calcola il corrispondente valore M in scala lineare si sceglie per la rete ϕ = -Δϕ già fissato al passo 1 dati M, ϕ e ω c si progetta la Rete di Ritardo con le formule di inversione Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB Reti correttrici 82

83 Rete di ritardo/anticipo - sommario delle regole di taratura Rete di ritardo progettata per prima nel progetto della rete si utilizza il grado di libertà per minimizzare le code di assestamento Step 1 progetto della rete di ritardo dal diagramma della L*=kG si sceglie la frequenza di attraversamento ω c si introduce lo zero in cancellazione (ω c ) dai diagrammi della L'=(1+ω c s)l* si valuta l'attenuazione A rdb (valore negativo) necessaria per imporre l'attraversamento in ω c si fissa il guadagno aggiuntivo Δk db (valore positivo) introdotto successivamente dalla Rete di Anticipo si calcola A db = A rdb -Δk db si posiziona il polo della rete in modo da garantire l'attenuazione A db in ω c Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB Reti correttrici 83

84 Rete di ritardo/anticipo - sommario delle regole di taratura Rete di ritardo progettata per prima nel progetto della rete si utilizza il grado di libertà per minimizzare le code di assestamento Step 2 progetto della rete di anticipo dal diagramma della L'=R rr kg si valuta l'anticipo di fase (ϕ) necessario per imporre l'attraversamento in ω c si calcola il guadagno (in db) delle rete per imporre l'attraversamento in ω c (Δk db ) (a meno di errori è il valore già fissato al passo 1) si trasforma il valore del guadagno in scala lineare dati M, ϕ e ω c si progetta la Rete di Anticipo con le formule di inversione Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB Reti correttrici 84

85 Rete di ritardo - sistemi con polo nell'origine Sistemi con polo nell'origine Polo nell'origine presente nell'impianto Si ricorda che la rete di ritardo viene impiegata per ridurre il guadagno (limitare la frequenza di attraversamento) quando non si può utilizzare un regolatore proporzionale. se non ci sono vincoli sull'attenuazione di un disturbo caratterizzato spettralmente l'uso della rete di ritardo perde di significato perché la frequenza di attraversamento scelta si può impostare con un regolatore statico del tipo R = k Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB Reti correttrici 85

86 Problemi di code di assestamento con le reti correttrici Stima del tipo di effetto da modulo LA si ricorda l'antitrasformata della risposta al gradino di un sistema del secondo ordine a polo reali distinti ed uno zero ( ) = µ 1 τ 1 T y t se T = 5 τ 1 = 4 τ 2 = 1 r 1 τ 1 τ 2 e t τ 1 r 1 è il residuo associato alla dinamica τ 1 + τ T 2 e τ 1 τ 2 Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB Reti correttrici 86 t τ 2 r 2 è il residuo associato alla dinamica τ 2 r 2 la dinamica dominante è quella di τ 2 r 1 1/3 la dinamica della coda è quella di τ 1 r 2 < - 4/3 1-1 y r 1 e -t/τ1 r 2 e -t/τ2 t

87 Problemi di code di assestamento con le reti correttrici Stima del tipo di effetto per l'analisi si ricorre al luogo delle radici la coda di assestamento si può manifestare come: undershoot se nella coppia polo/zero in bassa frequenza il polo viene prima dello zero overshoot se nella coppia polo/zero in bassa frequenza il polo viene dopo lo zero la presenza di uno zero in bassa frequenza garantisce che un polo del sistema sarà attratto da questo la presenza di una coda di ampiezza significativa non è certa. Se il guadagno di anello è elevato il polo e lo zero si troveranno molto vicini, dando luogo (nell'antitrasformata) ad un residuo di modesta entità rispetto a quello relativo alla dinamica principale la valutazione del baricentro del luogo può essere di aiuto Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB Reti correttrici 87

88 1.5.5 Imag Axes Problemi di code di assestamento con le reti correttrici La dinamica residua genera un undershoot con coda di assestamento di ampiezza modesta Alcune situazioni tipiche Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB Reti correttrici La dinamica residua genera un undershoot con coda di assestamento di ampiezza rilevante Il polo residuo sarà collocato tra lo zero (-.25) ed il polo del regolatore (-.1). In entrambi i casi la costante di tempo del polo residuo (e quindi della coda) è quindi compresa tra 4s (-1/-.25) e 1s (-1/-.1)

89 Problemi di code di assestamento con le reti correttrici Alcune situazioni tipiche La dinamica residua genera un overshoot con coda di assestamento di ampiezza rilevante Il polo residuo sarà collocato tra il polo dell'impianto (-2.5) e lo zero (-1). La costante di tempo del polo residuo (e quindi della coda) è quindi compresa tra.4s (-1/-2.5) e 1s (-1/-1) Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB Reti correttrici 89

90 Problemi di code di assestamento con le reti correttrici Alcune situazioni tipiche Il punto di emergenza degli asintoti è in B Il baricentro normalizzato del luogo è in La dinamica residua genera un overshoot con coda di assestamento di ampiezza non eccessivamente rilevante il ragionamento per determinare la costante di tempo del polo residuo è un po' più complicato ovviamente a dx del punto di emergenza degli asintoti. Ne consegue che il terzo polo sarà necessariamente a dx del baricentro normalizzato ed a sx dello zero (-1.5). la costante di tempo del polo residuo (e quindi della coda) è compresa tra.27s (-1/-3.6) e.66s (-1/-1.5) Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB Reti correttrici 9

91 Per approfondimenti Riferimenti bibliografici Boltzern, Scattolini, Schiavoni "Fondamenti di Controlli Automatici", McGraw-Hill, II edizione Capitolo 11 Marro "Controlli Automatici", Zanichelli, V edizione, Capitolo 6 Prof. Carlo Rossi - Controlli Automatici LB Reti correttrici 91

92 Controlli Automatici Parte 2 Regolatori standard e Metodi di taratura Reti Correttrici Rete di Anticipo Rete di Ritardo Rete di Ritardo/Anticipo FINE Prof. Carlo Rossi DEIS-Università di Bologna Tel crossi@deis.unibo.it URL: www-lar.deis.unibo.it/~crossi