Esperimentazioni di Fisica 1. Prova scritta del 10 giugno 2015 SOLUZIONI

Transcript

1 Esperimentazioni di Fisica 1 Prova scritta del 10 giugno 2015 SOLUZIONI

2 Esp-1 Prova di Esame Primo appello - Page 2 of 9 10/06/ (12 Punti) Quesito La forza che si esercita tra due conduttori percorsi, rispettivamente, dalle correnti I 1 e I 2 è data da: F = k I 1I 2 l d dove l è la lunghezza dei conduttori, d è la distanza che li separa e k una costante di proporzionalità. Un esperimento, il cui schema è mostrato nella figura, è eseguito per misurare k. La forza che si esercita tra i due fili percorsi da corrente è equilibrata dalla forza F (in figura la forza F è rappresentata con due molle). Si hanno i seguenti dati l = (1.504±0.001)m, d = (5.6±0.2)mm, F = (0.168±0.002)N. Le correnti I 1 e I 2, come si A m 2 l m 1 I 1 I 2 d deduce anche dalla figura, sono in realtà la stessa corrente che è misurata con lo strumento A (amperometro). Il manuale di istruzione dell amperometro fornisce il valore dell incertezza della misura 1% della lettura. Il valore della lettura dell amperometro è 54.2 A Calcolare il valore di k con la sua incertezza. Soluzione. La grandezza da valutare è: k = F d I 1 I 2 l (1) Sostituendo il valori assegnati, passando ove necessario al SI, si ottiene: k = (54.2) = N A 2 Essendo la (1) una formula monomia l incertezza u k su k può essere calcolata come: u 2 k k 2 = u2 F F 2 + u2 d d 2 + u2 l l 2 + 4u2 I I 2 Il fattore 4 che moltiplica il contributo della corrente all incertezza su k è dovuto alla modalità con cui sono state misurate le correnti I 1 e I 2, in realtà è la stessa corrente e le incertezze sono totalemte correlate (ρ = 1). Un altro modo di ottenere lo stesso risulato corretto è scrivere la relazione (1) come: Numericamente k = F d I 2 l u k = ( ) ( ) ( ) = N A 2

3 Esp-1 Prova di Esame Primo appello - Page 3 of 9 10/06/ (12 Punti) Quesito. Un termometro a bulbo è spostato da un bagno termico di acqua distillata e ghiaccio ad un altro bagno termico di acqua in ebollizione, il tutto alla pressione kpa (= 1 atm). La misurazione della temperatura indicata dal termometro in funzione del tempo, a partire dall istante dell immersione nel bagno caldo, è riportata nella seguente tabella: t(s) T ( C) ± ± ± ± ± ± 1 Elaborare le misure in modo da ottenere come andamento previsto una retta in carta semilogaritmica. Riportare nel grafico i punti così ottenuti con la loro incertezza. Valutare inoltre il tempo caratteristico del termometro valutando ad occhio la curva che si adatta meglio ai punti sperimentali. Soluzione. [unc002]. Nella situazione descritta, la temperatura segnata dal un termometro è attesa variare nel tempo in modo esponenziale secondo la legge: T (t) = T f (T f T i ) e t/τ dove T f = 100 C e T i = 0 C sono rispettivamente le temperature finale e iniziale indicate dal termometro e τ è la costante di tempo del termometro da determinare. La relazione precedente può essere scritta come: T f T (t) = (T f T i )e t/τ sostituendo i valori numerici 100 T (t) = 100e t/τ

4 Esp-1 Prova di Esame Primo appello - Page 4 of 9 10/06/2015 t(s) T ( C) ± ± ± ± ± ± 1 da cui La quantità T = T f T (t) ha un andamento esponenziale in t, per cui il suo logaritmo ha un andamento lineare in t. Creiamo una tabella per la grandezza T partendo dai dati. Riportiamo i dati così ottenuti sul grafico in carta semilogaritmica sfruttandone per quanto possibile l estensione. Le incertezze su T sono uguali a quelle su T per la relazione che lega le due grandezze. La retta disegnata rappresenta una stima soggettiva della retta migliore che approssima i dati. Per trovare la pendenza della retta disegnata consideriamo due punti (0 s, 100 C) e (68.0 s, 1 C) e quindi ln 100 ln 1 = 4.06 = ln e 0/τ ln e 68.0/τ = 68.0 τ τ = = 14.8 s

5 Esp-1 Prova di Esame Primo appello - Page 5 of 9 10/06/ (6 Punti) Quesito [unc004] Definire una generica funzione monomia di almeno due variabili e derivare la formula della propagazione dell incertezza relativa da assegnarle dovuta alle incertezze (da considerare non correlate) delle variabili da cui dipende. Soluzione. Una generica espressione monomia z dipendente da due variabili x e y ha la seguente forma: z = cx n y m dove c è una costante e n e m sono numeri interi (positivi o negativi). Prendendo il logaritmo naturale di z si ha ln z = n ln x + m ln y + ln c Calcoliamo l incertezza sulla funzione ln z: ( ) 2 ( ) 2 ( u(ln z) = (n ln x) u(x) x 2 + (m ln y) u(y) y 2 = n u(x) ) 2 ( + m u(y) ) 2 x y Tenendo conto che u(ln z) = u(z)/z si ha infine: u(z) z = ( n u(x) x ) 2 ( + m u(y) ) 2 y Che si legge: L incertezza relativa sul valore di una grandezza che dipenda da altre grandezze secondo una relazione di tipo monomio pari alla somma in quadratura delle incertezze relative delle grandezze indipendenti moltiplicate per l esponente

6 Esp-1 Prova di Esame Primo appello - Page 6 of 9 10/06/ (12 Punti) Quesito.Un tipo di contatore di raggi cosmici misura il numero di particelle che lo attraversano in un certo intervallo di tempo t. Mediamente nel tempo t il contatore conta 2 particelle. Calcolare la probabilità che in un generico intervallo temporale t il contatore conti più di 1 particella. Soluzione [prb003]. Il numero di raggi cosmici rivelati dal contatore nell intervallo di tempo t segue un distribuzione di Poisson con valore medio 2: P µ (k) = µk k! e µ = 2k k! e 2 La probabilit che il contatore riveli più di una particella in t è pari alla complementare di osservare 0 particelle (evento A) oppure 1 particella (evento B). Essendo A e B disgiunti (A B = ) si ha Quindi la probabilit cercata e: P (A B) = P (A) + P (B) = 20 0! e ! e 2 = 0.41 P (k > 1) = = 0.59

7 Esp-1 Prova di Esame Primo appello - Page 7 of 9 10/06/ (6 Punti) Quesito.Enunciare e dimostrare la disuguaglianza di Tchebicheff.

8 Esp-1 Prova di Esame Primo appello - Page 8 of 9 10/06/ (12 Punti) Quesito.Un sacchetto S 1 contiene due biglie bianche ed una nera. Un secondo sacchetto S 2 contiene due biglie nere e una bianca. Da S 1 si estrae una biglia a caso e, senza vederla, si inserisce in S 2. Se da S 2 si estrae a caso una biglia e risulta essere nera, quale è la probabilità che la biglia trasferita sia bianca? Soluzione. [tby001] Indichiamo con B i (N i ) l evento estrazione di una biglia Bianca (Nera) dal sacchetto i Le probabilità delle estrazioni dal sacchetto 1 sono: P (B 1 ) = 2 3, P (N 1) = 1 3 Le probilità di estrazione dal sacchetto 2 sono P (B 2 B 1 ) = 2 P (N 2 B 1 ) = 2 } 4 {{ 4} Se si è trasferita la bianca P (B 2 N 1 ) = 1 P (N 2 N 1 ) = 3 } 4 {{ 4} Se si è trasferita la nera Applicando il teorema di Bayes: P (B 1 N 2 ) = P (N 2 B 1 )P (B 1 ) P (N 2 ) = P (N 2 B 1 )P (B 1 ) P (N 2 B 1 )P (B 1 ) + P (N 2 B 1 )P (B 1 ) = = 4 7