Esperimentazioni di Fisica 1 Tracce delle lezioni di TERMOLOGIA

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1 Esperimentazioni di Fisica 1 Tracce delle lezioni di TERMOLOGIA AA

2 Temperatura Temperatura misura oggettiva della sensazione di caldo e freddo Grandezza intensiva Misura la direzione del trasferimento della quantià di calore Generalmente, ma non sempre (pirometri), si misura con i termometri Nel S.I. l untià di misura della temperatura è il kelvin (K), che definisce la temperatura del punto triplo dell acqua pari a K. Scale di temperatura: empiriche (es. Termometro a mercurio) e teoriche (ciclo di Carnot)

3 Grandezze termometriche e Termometri Una grandezza termometrica θ è una qualsiasi caratteristica di un corpo che varia in modo ripetibile con la temperatura e nel caso ideale θ = at con a costante Esempi di Termometri ( ) nr Termometro a gas perfetto. P = T V Termometro a liquido: V V o = V oβ(t T o) Termometro a resistenza elettrica: R(T ) = R(T o)(1 + A T + B T )

4 Grandezze termometriche e Termometri Esempi di grandezze termometriche - cont. Termometro a termocoppia: tra due metalli differenti saldati insieme si genera un d.d.p. che dipende in modo non lineare dalla temperatura della giunzione. Pirometro ottico: Sfrutta l emissione di onde elettromagnetiche dei materiali a temperatura T. Non lineare: la potenza emessa è proporzionale a T 4. Termometro a semiconduttore. Caratteristica di un diodo: I(T ) = I s exp(v/k B T )

5 Il termometro a bulbo Schema di un termometro a bulbo. Caratteristiche del termometro a bulbo β Hg, oppure β galistano β vetro, per cui a parità di T V Hg V vetro Capillare di Sezione S. La variazione di temperatura è proporzionale alla variazione di altezza nel capillare: V V = S h V = β T h = βv S T

6 Il termometro a bulbo Caratteristiche del termometro a bulbo - cont. Sensibilità: h T = βv S ( h è la risposta dello strumento e T è la sollecitazione) La sensibilità migliora aumentando V (ma aumenta la capacità termica dello strumento), diminuendo S (ma limite capillarità e praticità) Il valore tipico dell incertezza intrinseca delle misurazioni effettuate con questo tipo di termometro è dell ordine di 0.1 K.

7 La legge della calorimetria Se due corpi di masse m 1 e m 2 e temperature T 1 e T 2 (con T 2 > T 1 ) sono messi a contatto raggiungono una temperatura di equilibrio che soddisfa le relazione: c 1 m 1 (T f T 1 ) = c 2 m 2 (T 2 T f ) (1) con c 1 e c 2 costanti che sono dette calori specifici e che dipendono dal materiale con cui sono fatti i corpi le grandezze C 1 c 1 m 1 e C 2 c 2 m 2 cono dette capacità termiche dei due corpi. la grandezza Q = c 1 m 1 (T f T 1 ) = c 2 m 2 (T 2 T f ) è la quantità di calore che i corpi si sono scambiati per raggiungere l equilibri termico. La forma differenziale dell equazione dello scambio di calore di un corpo di capacità termica C è: dq = CdT

8 La costante di tempo del termometro Mettiamo in contatto un termometro, inizialmente a temperatura T o, con una sorgente a temperatura T F. In che modo varia la temperatura segnata dal termometro? Il problema si affronta con la legge della conduzione del calore (a volte detta di Fourier) si scrive: dq = ξ(t 2 T 1 )dt (2) dove dq è la quantità di calore che passa dal corpo a temperatura T 2 a quello a temperatura T 1, dt è l intervallo di tempo e ξ è una costante che dipende dalla specifica situazione sperimentale. Le dimensioni di ξ sono quelle di un energia su un tempo e su una temperatura [ξ]=ml 2 T 3 Θ 1. La (2) mostra che la la quantità di calore acquisita dal corpo 2 è proporzionale alla differenza di temperatura tra i due corpi a contatto e al tempo di contatto.

9 La costante di tempo del termometro Consideriamo un termometro di capacità termica C t inizialmente a temperatura T o, e sia T F la temperatura della sorgente con cui viene a contatto. Passato un tempo t dal contatto, la temperatura del termometro avrà il valore T (t) che per la (2) è: separando le variabili T e t: Integrando: otteniamo infine: T T o dq = C t dt = ξ[t F T (t)]dt (3) dt T F T = ξ dt C T ( ) dt T F T = ln TF T t = T F T o 0 ξ C T dt = ξ C T t T (t) = T F (T F T o)e t/τ dove τ = C T ξ (4)

10 La costante di tempo del termometro. Esempio La temperatura del termometro raggiunge il valore di equilibrio in modo esponenziale con una costante di tempo τ proporzionale alla capacità termica del termometro e inversamente proporzionale al coefficiente ξ legato alla conducibilità termica. 120 T(t) ( C) Andamento della temperatura in funzione del tempo con temperatura iniziale T o = 20 C, finale T o = 100 C e con τ = 0.5 s t (s)

11 Effetto sistematico generato dal termometro Calcolo della perturbazione introdotta dal termometro Se un termometro di capacità termica C T e a temperatura T o è posto in contatto con un corpo di capacità termica C c a temperatura T c, la temperatura finale di equilibrio del termometro (e del corpo) sarà: C T (T T o ) + C c (T T c ) = 0 T = C T T o + C c T c C c + C T Quando T è sensibilmente differente da T c (C T confrontabile con C c ) la misurazione della temperatura del corpo è affetta da un effetto sistematico per cui la misura è sistematicamente minore del valore vero.

12 Effetto sistematico generato dal termometro. (cont.) T T (t) e T c(t): temperature del termometro e del corpo in funzione del tempo, con T T (0) = T o e T c(0) = T C. Se Q T (t) e Q c(t) sono il calore ricevuto rispettivamente dal termometro e dal corpo fino al tempo t, allora, per la conservazione dell energia: Q T + Q c = 0, e quindi: C T (T T (t) T o) + C c(t c(t) T C ) = 0 che, con un po di algebra, può essere scritta come ( T c(t) T t(t) = 1 + C ) T [T T t(t)] (5) C c La quantità di calore elementare trasferita dal corpo al termometro è: dq = ξ[t c(t) T t(t)]dt, che sostituita nella precedente porta a: dt t T T = ξ ( 1 + C ) T dt = dt t(t) C T C c τ, dove τ = Ct 1 ξ 1 + C t/c c τ è la costante di tempo del sistema termometro più corpo.

13 Effetto sistematico generato dal termometro. (cont.) Integrando l equazione precedente si ottiente la variazione della temperatura del termometro: T t(t) = T (T T o)e t/τ (6) L espressione di T c(t) si ottiene per sostituzione di T t(t) nella (5) T c(t) = T (T T c)e t/τ (7) Il termometro e il corpo raggiungono la temperatura di equilibrio T con un andamento esponenziale con lo stesso tempo caratteristico τ. Si noti che se la capacità termica del corpo finita, è sempre τ < τ ovvero l equilibrio viene raggiunto più rapidamente rispetto al caso in cui il corpo sia una sorgente. In questo caso C c e τ τ.

14 Effetto sistematico generato dal termometro. Esempio Il grafico mostra l andamento delle equazioni (6) e (7) con T o = 20 C, T c = 100 C, C t/c c = 1/5, T = 86.7 C e τ = 2.08 s t (s)

15 Misura simulata della costante del termometro In questo esempio si mostra come si possa misurare sperimentalmente la costante di tempo τ di un termometro connesso ad un corpo di capacità termica sufficientemente elevata per poter essere considerato una sorgente. La temperatura iniziale del termometro è T o = 0 C e la sorgente è a temperatura T F = 20 C, entrambe con incertezza trascurabile. L incertezza sul valore misurato è u T = 1 C. Il modello matematico che si assume per descrivere i dati è dato dall equazione (4). Per linearizzare questa relazione è sufficiente prendere il logaritmo di (T F T (t))/t F, come mostrato in tabella. Colonne 1 e 2 : dati sperimentali, colonna 3,4 e 5 elaborazione dei dati. Tempo (s) T (t) C T F T (t) T F ln T F T (t) T F u(ln)

16 Grafico per la misura della costante di tempo ln (T f -T)/T f t (s) La retta y = 0.364x, è un fit lineare forzato a passare per l origine. Si noti che per quanto le incertezze sulle misurazioni della temperatura siano uguali e pari a 1 C, dopo l elaborazione dei dati risultano sensibilmente differenti.