Misura della costante solare.

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1 Misura della costante solare. (se il sole non c è: potenza di una lampada) Lo scopo dell esperimento è quello di misurare la costante solare al suolo (l energia per unità di area e per unità di tempo che emessa dal sole il raggiunge il suolo nella zona in cui si effettua la misura e con le condizioni atmosferiche attuali ). Va scelta una giornata soleggiata e la misura va effettuata con il sole più vicino possibile allo zenit. L alternativa è quella di misurare la potenza totale della radiazione emessa da una lampada a incandescenza. Nei due esperimenti si utilizzano la stessa procedura e gli stessi strumenti (esclusa la lampada). Nel secondo si potrà verificare se la potenza misurata corrisponda, con una ragionevole precisione, a quella nominale della lampada, mentre nel primo si potrà confrontare il valore della costante solare al suolo con quello dato dalla stazioni metereologi che. Se si dispone di uno strumento che sia in grado di misurare la potenza irraggiata (un bolometro o una termopila calibrata) si potrà, in entrambe i casi, avere un confronto dei valori ottenuti direttamente con quelli misurati con Parte sperimentale: Materiale : lastra di alluminio annerita isolata dall ambiente, per esempio con polistirolo (all aperto bisogna proteggerla dal vento!!). Lampada a filamento da almeno 60W (preferibilmente di 150W). Cronometro e termometro per seguire la variazione di temperatura della lastrina. Eventuale secondo termometro per registrare la temperatura ambiente. Se possibile utilizzare termistori o termocoppie perché possono avere costanti di tempo più piccole dei termometri a bulbo ed inoltre, in genere, è più facile stabilire un buon contatto con la lastra di alluminio(il che migliora la scambio termico ). Meglio ancora registrare con un sistema di acquisizione. Nell esperimento descritto è stata utilizzata una lampada da 150W il cui filamento è posto a 25 cm dalla lastra. Accorgimenti: ottimizzare il contatto termico tra il termometro e la lastrina di alluminio (è importante). Disporre la lampada in sopra la lastrina disposta orizzontalmente (si minimizzano i moti convettivi). La distanza tra lampada e lastra non minore di 20 cm e non troppo grande (altrimenti la lastra si riscalda poco e impiega troppo tempo a raggiungere l equilibrio). La lastra deve essere posta con il piano perpendicolare alla direzione terra sole (non orizzontale). Nel caso si utilizzi la lampada questa deve stare sulla verticale della lastra. Tenere presente che le lampade emettono energia non in modo uniforme, (il filamento non è un punto ma in genere ha una forma ad arco; l emissione in una data direzione dipende da come è disposto questo arco). Inoltre il vetro della lampada assorbe tutta la radiazione emessa dal filamento sia nella regione UV al di sotto di 0.35 m che nella regione IR al di sopra di 2.5 m Registrare i dati e tracciare la curva su un grafico di T(t) Cosa è avvenuto: La temperatura della lastra all inizio cioè in assenza della sorgente di energia (sole o lampada) è quella ambiente T amb ; quando viene esposta al sole (o alla lampada accesa) la lastra inizia a riscaldarsi finché 1

2 raggiunge una temperatura T equi di equilibrio: la lastra dissipa nell ambiente tutta l energia che riceve dalla sorgente. Infine quando si elimina la sorgente (si oscura il sole o si spegne la lampada), la temperatura decresce fino a raggiungere di nuovo T amb. Figura 1 Grafico di T in funzione del tempo per la lastrina illuminata da una Lampada da 150W posta a 0.25 m di distanza. Come descrivere formalmente ciò che avviene. Durante la fase di riscaldamento la temperatura cresce e per la potenza possiamo scrivere: Cioè la potenza registrata è uguale alla potenza incidente meno la potenza dissipata. Notare che noi monitoriamo la temperatura in funzione del tempo e da questa dobbiamo, in qualche modo, risalire alla potenza. In questa fase la potenza incidente è sufficiente a far aumentare la temperatura della lastrina. All equilibrio. La temperatura rimane costante e per la potenza abbiamo. Per la potenza possiamo scrivere: Durante la fase di raffreddamento (lampada spenta o sole oscurato) la temperatura decresce: per la potenza possiamo scrivere: 2 (2) (1)

3 (3) Si tratta ora di stabilire come risalire alle potenze dalle variazioni di temperatura. Seguiremo due diversi modi; il primo non richiede l uso di equazioni differenziali ma ha l inconveniente di dipendere dalle scelte che si effettuano nell analisi dei dati. Fare riferimento alla Figura 1 Primo metodo. Nella fase di riscaldamento possiamo modellare il processo come: (4) dove la Q misurata vale: (5) dove m lastrina è la massa della lastrina, e c lastrina il calore specifico della lastrina (alluminio).la lastrina misura (0.08x0.16x0.001) m 3 ; la densità dell alluminio è 2.7x10 3 kg/m 3 ; ne segue che la massa è di circa kg. Il calore specifico dell alluminio vale: c Al =896.9 J/kgK. T è la variazione di temperatura tra due istanti in cui si possa considerare lineare la crescita di temperatura. Indichiamo con T a e T b i due valori di temperatura (vedi Figura 1): pertanto T=(T b -T a ) con T b >T a. L intervallo di tempo durante il quale la temperatura cresce di T lo indiciamo con t RISC. Per la fase di raffreddamento possiamo scrivere una relazione analoga alla (5); inoltre possiamo fare l ipotesi che l energia dissipata per ottenere la stessa variazione di temperatura T tra gli stessi valori di T a e T b sia in fase di riscaldamento che in fase di raffreddamento si la stessa. Può comunque essere che t RISC t RAFF (vedi ancora Figura 1). Dalla (4) possiamo quindi ricavare (6) Dove le Q RISC e Q RAFF sono i valori misurati E per le potenze possiamo scrivere: (7) Se prendiamo in esame le variazioni di temperatura tra T a e T b nelle due fasi possiamo scrivere: 3

4 (8) Tale valore è la frazione della potenza emessa dalla lampada che incide sulla lastrina. Per ottenere la potenza per unità di superficie basta dividere per la superficie della lastrina; in questo modo si simula la misura della potenza per unità di superficie che dal sole raggiunge il suolo. Per ottenere la potenza della lampada è necessario tenere conto della distanza della lampada dalla lastrina e ipotizzare che la radiazione sia emessa come se si trattasse di una sorgente puntiforme che irraggia in maniera uniforme in tutte le direzioni. I dati ricavati dal grafico sono: Inserendo i dati nella (8). Si ottiene Per ottenere la potenza totale emessa dalla lampada bisogna tenere conto dell angolo solido sotto cui viene vista la lastrina dalla lampada; cioè il rapporto tra la superficie della lastrina e la superficie di una sfera di raggio 0.25 m. Tenuto conto delle varie approssimazione i dell assunzione che tutta l energia che raggiunge la lastrina sia assorbita (cioè che il coefficiente di emissività sia 1) la misura è piuttosto buona. Secondo metodo. In questo caso modelliamo il processo nel modo seguente. (9) La variazione della temperatura della lastrina nel tempo (il primo membro) dipende dalla potenza incidente meno la potenza dissipata. Anche in questo caso faremo l ipotesi che tutta la potenza incidente sia assorbita (coefficiente di emissività pari a 1), pertanto abbiamo: 4

5 Per ottenere la potenza totale della lampada dovremo utilizzare lo stesso procedimento del caso precedente. Si tratta ora di esprimere la potenza dissipata. (10) La potenza dissipata è la somma di quella dissipata per via radiativa, per via conduttiva e per via convettiva. La frazione dissipata radiativamente vale: Dove S ed sono rispettivamente la superficie e il coefficiente di emissività della lastrina, è la costante di Stefan-Boltzman, e T va espressa in gradi Kelivin. Questo termine, nonostante dipenda dalla quarta potenza della temperatura, può essere trascurato finché la temperatura della lastrina non supera i 100 o C perche ha un valore molto piccolo. Comunque la bontà di fit che eseguiremo ci assicurerà di questo fatto. Si la potenza dissipata per via conduttive che quella per via convettiva dipendono (almeno in prima approssimazione) dalla differenza tra la temperatura della lastrina e quella ambiente. Possiamo pertanto scrivere: (11) Dove k è un coefficiente di scambio (conduttivo più radiativo) ed ha le dimensioni di Js -1 K -1. La (11) descrive l andamento nel tempo della temperatura della lastrina illuminata dal sole (o dalla lampada) in ogni fase. Per esempio all equilibrio abbiamo: (12) La T equilibrio può essere ricavata facilmente dal grafico sperimentale, pertanto potremmo calcolare la potenza se riuscissimo a ricavare il valore della costante di scambio k. Per ottenerla dai dati sperimentali consideriamo la fase di raffreddamento per la quale vale la seguente relazione: (13) Questa equazione differenziale può facilmente essere risolta per separazione di variabili Dove si è posto 5

6 è la costante di tempo del processo in questione;. t i è l istante preso come iniziale del processo di raffreddamento (nel nostro caso l istante in cui viene spenta la lampada o viene oscurato il sole e la temperatura è quella di equilibrio), e t f l istante finale in cui la lastrina raggiunge la temperatura ambiente. La soluzione dell equazione differenziale è: (14) Infine: (15) Figura 2 Particolare del grafico in Figura 1 rappresentante la fase di raffreddamento della lastrina. In rosso il fit con al funzione (15). La Figura 2 mostra l andamento della funzione (15) ed il fit dal quale si ricava un valore per di 296 s. servendoci della (12) e della relazione che lega a k si ottiene per la potenza della lampada. Infine per la potenza totale, tenuto conto dell angolo solido 6

7 Rispetto al valore precedente è un po inferiore ma ancora ragionevole date le approssimazioni fatte. Commenti Da un punto di vista didattico, per quanto riguarda il secondo metodo, si può procedere in un altro modo. Riconsideriamo il grafico del raffreddamento: Figura 3 Grafico del raffreddamento. Le due linee orizzontali rappresentano i valori delle temperature della lastrina dove la differenza tra temperatura iniziale e finale si sono ridotte di un fattore e 2e rispettivamente. Le linee verdi i corrispondenti valori di t. Se si utilizza la (15) si osserva che per t=, per t=2 e cosi via, la differenza tra la temperatura iniziale (di equilibrio) e quella finale (ambiente) si è ridotta di un fattore e, e 2 e così via. La Figura 3 schematizza quanto detto. Le intercette (linee verdi della figura) sono i valori sperimentali di e 2 ; a causa delle incertezza sperimentali tali valori non sono uguali. Possiamo assumere che sia il valore medio di quelli ottenuti sperimentalmente; pertanto risulta =300 s. Rifacendo i calcoli otteniamo 7

8 In alternativa si può utilizzare la (14): Da cui otteniamo il grafico (in realtà conviene utilizzare una carta millimetrata semilogaritmica ) in cui riportiamo il valore dell argomento del logaritmo, non il logaritmo naturale! e = Figura 4. Nel grafico in scala semilogaritmica viene riportata il rapporto (non il logaritmo naturale!). Dal coefficiente angolare della retta di best fit si ottiene il valore di. Va osservato che la retta viene disegnata (valutata ) pesando poco i valori per i quali il rapporto è l argomento del logaritmo è piccolo, ciò è giustificato dal fatto che gli errori per tali valori sono molto grandi quando vengano riportati in scala semi logaritmica. 8

9 Figura 5. Grafico identico a quello in Figura 4 nel quale sono stai inseriti gli errori di misura calcolati a partire da un incertezza sulla temperatura di ±0.5 o C. Nella figura si osserva come in scale semilogaritmica le incertezze sembrano aumentare al diminuire del rapporto. In realtà le incertezze assolute non aumentano ma sono le incertezze relative che crescono e questo fatto viene esaltato dalla scala semilogaritmica; inoltre può avvenire che se si conto degli errori i l argomento del logaritmo potrebbe diventare negativo (per valori prossimi a t ambiente)!. Ciò è matematicamente privo di senso ed ha il corrispettivo significato fisico: la temperatura di equilibrio finale non può essere inferiore alla temperatura ambiente. Per calcolare la pendenza della retta in scala semilogaritmica è necessario calcolare esplicitamente i logaritmi naturali. 9

10 Figura 6 Grafico (lineare) della relazione (14). Dal grafico in Figura 6 si ricava il valore di e da questo si può risalire. E importante sottolineare che l analisi del grafico in Figura 6 permette di valutare l incertezza sui valori ottenuti con il metodo della minima e massima pendenza. I valori ottenuti risultano: Tutti e tre i modi di calcolare il valore della potenza totale forniscono risultati compatibili. 10