Tempo di risposta di un termometro a mercurio

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1 Misure meccaniche empo di risposta di un termometro a mercurio Ing. Luciano Pirri rev. 09/2/7 Vogliamo studiare la risposta dinamica di un termometro al mercurio e cioè la rapidità con la quale l'indicazione del termometro segue una temperatura da misurare variabile nel tempo. Scriviamo quindi l'equazione differenziale dell'equipaggio mobile, cioè della colonna di mercurio. Definiamo: la temperatura variabile da misurare al generico istante t la temperatura del bulbo termometrico all'istante generico t K coeff. di trasmissibilità termica S superficie disperdente m massa del mercurio C calore specifico del mercurio La quantità di calore che si trasmette al mercurio nel tempo è data da: dq KS( - t) d questo calore provoca un aumento di temperatura nel mercurio dq dove m C è la capacità termica del mercurio. Sostituendo si ottiene: mc mc KS( - t) d dalla quale, raggruppando, si ottiene ancora: mc KS d + t ora definiamo la costante di tempo mc KS Normalmente l è di origine sperimentale data la difficoltà nella quantificazione di K ed S. Possiamo quindi riscrivere: d + t che è un'equazione differenziale lineare a coefficienti costanti del ordine che può essere riscritta come: - t d

2 Esempio - Misura di una temperatura costante Corrisponde al caso in cui immettiamo il termometro in un ambiente a temperatura costante del quale vogliamo misurare il valore. In termini matematici corrisponde a dire che la la funzione (t) è a gradino e cioè per t<0 0 altrimenti vale. La soluzione dell'equazione differenziale è t( ) + Ce e imponendo la condizione che all'inizio, cioè per 0, la temperatura t t in troviamo C t in - In conclusione abbiamo: sec C t in C L'analisi ci fornisce la soluzione: - t( ) e - + di cui tracciamo il grafico per 0,... ( t in ) - Osservando la seguente espressione η( k) - t( k) - t in - possiamo dare la seguente interpretazione fisica della costante di tempo l t( ) Prima interpretazione fisica della costante di tempo Dopo un tempo la temperatura ha raggiunto il η( ) 6.22 % del valore finale Dalla tabella a fianco si vede che dopo un tempo pari a volte la costante l il termometro misura la temperatura con una precisione maggiore del 99% k 2 4 k.. η( k) k La stessa forma dell'equazione differenziale ci consente di dare un'altra utile interpretazione fisica della costante di tempo l. Come abbiamo visto si tratta di un'equazione lineare del ordine che per comodità riscriviamo d + t questa è l'equazione della retta tangente alla t(t) nell'istante generico t dove il coeff. angolare è dato dalla derivata. Derivando la t(t) otteniamo quindi m(t)

3 d t in e / d e t in che all'istante iniziale vale m 0 - t in - quindi la retta per l'origine ha equazione emp( ) t in + m 0 Questa, dopo un intervallo di tempo pari a l fornisce: emp( ) C Seconda interpretazione fisica della costante di tempo Quindi la costante di tempo l può ancora essere definita come: il tempo che sarebbe necessario per raggiungere l'equilibrio termico se la temperatura variasse con legge lineare seguendo l'andamento iniziale. t( ) emp( ) Conclusioni: Nel caso di segnale a gradino la soluzione analitica è semplice e può essere tranquillamente affrontata cosi come abbiamo fatto. Le cose si complicano abbastanza se nell'ambiente da misurare la varia nel tempo. In questo caso (t) e la possibilità di una soluzione analitica dipende dalla forma della (t) la cui complessità può anche presentare difficoltà insormontabili dal punto di vista analitico. Nei casi concreti inoltre raramente si dispone di una vera funzione (t), più frequentemente si dispone di dati sperimentali e quindi la funzione va cercata con opportune interpolazioni. Ammettendo comunque di essere in possesso della (t) si può procedere in due modi: ) ANALIICO. Se (t) è del tipo sinusoidale si può procedere alla soluzione analitica. Se non lo è si sviluppa in serie di Fourier la (t) e si sommano le soluzioni analitiche ottenute per ogni armonica. E' evidente che si tratta di un metodo che può essere anche molto lungo, specialmente se si vuole una buona precisione in quanto questo rende necessario lo sviluppo con un elevato numero di armoniche. 2) NUMERICO Si procede al calcolo numerico dell'equazione differenziale. In questo modo si ottiene una soluzione rapida e con la precisione richiesta per qualunque forma (purché ragionevole) della (t).

4 Esempio precedente con integrazione numerica Vediamo ora come risolvere numericamente l'equazione differenziale per il caso precedente. Per prima cosa definiamo il elemento del vettore t con il valore iniziale t t 0 in e ( ) è la funzione della temperatura esterna, quindi l'equazione differenziale la riscriviamo come: D(, t) e ( ) - t Calcoliamo un numero di punti Np 0 nell'intervallo 0 0 fin S Rkadapt t, 0, fin, Np, D Metodo di Runge-Kutta del 4. Nella matrice S è stivato nella colonna t e nella 2 t S t Definiamo la funzione cercata interpolando linearmente i dati: it ( ) 0.. linterp Np S 0, S, Dal grafico si vede che praticamente la soluzione è esatta, se si vuole maggior precisione si possono aumentare gli Np. t( ) S i S 0, i

5 Esempio con e variabile nel tempo La pulsazione scelta per l'esempio e funzione scelta è: a cui corrisponde una frequenza ed un periodo e l'equazione differenziale: D(, t) e ( ) - t ω e ( ) + f ω 2π Periodo f 0.77 sin( ω).6 Estendiamo l'indagine fino a fin Periodo calcolando Np 0 punti ponendo t t 0 in si ottiene: S Rkadapt t, 0, fin, Np, D La funzione cercata la troviamo interpolando i valori per 0, 0... fin t( ) linterp S 0, S, Come si vede dal grafico la misura oscilla con mean S max S min S t( ) 40 e ( ) 0 0 Inoltre si può verificare che variando w la misura del termometro segue la temperatura da misurare con un ritardo e con una riduzione dell'ampiezza che diminuisce con l'aumentare della lentezza dell'oscillazione, ovvero con l'aumentare del periodo. Questa è una considerazione generale: I sistemi del ordine hanno una banda passante molto stretta e quindi non sono idonei a misurare rapide variazioni delle grandezze di ingresso. Ovviamente rapide in relazione alla loro costante di tempo l N.B. data la forma scelta per la e si potrebbe anche risolvere facilmente per via analitica. In questo modo anzi emergerebbero evidenti le riduzioni di ampiezza, gli sfasamenti, ecc.