Laboratorio di fisica I

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1 Laboratorio di fisica I Relazione esperienza n.1 MISURAZIONE DELLA DENSITA DI SOLIDI OMOGENEI DI FORMA REGOLARE 13/11/2018 Bozzotta Riccardo Di Paola Guido Greco Federico Marino Francesco Pennino Pietro Sacco Giuseppe Indice 1 Introduzione e scopo dell esperienza 2 Strumentazione 3 Misurazioni dirette 4 Misurazioni indirette 4.1 Volume best, errore assoluto, errore relativo 4.2 Densità best, errore assoluto, errore relativo 5 Grafico volume-massa: rette di massima e minima pendenza 6 Discrepanza 7 Conclusioni

2 1 Introduzione e scopo dell esperienza Tale esperienza è finalizzata alla misurazione della densità di cinque oggetti a forma di cilindro cavo regolare dello stesso materiale. Lo scopo dell esperimento è verificare (studiando opportunamente gli errori nelle misure dirette e la loro propagazione nelle misure indirette) che gli oggetti abbiano eguale densità, e che quindi questa dipenda esclusivamente dal rapporto fra massa e volume. 2 Strumentazione La strumentazione utilizzata a tale scopo è: Calibro ventesimale: il calibro ha una risoluzione r=0.05 mm; ai fini dell esperienza è stato possibile assumere che l errore di lettura sia uguale all errore di precisione, il quale è di 0.025mm; dunque l errore strumentale è di 0.05mm (l errore strumentale è dato dalla somma fra errore di precisione ed errore di lettura). Bilancia elettronica: la bilancia ha un errore di precisione dello 0.2% sul valore misurato e un errore di lettura di 0.1g, cioè di un unità sull ultima cifra significativa (LSD). 3 Misurazioni dirette Per la stesura della tabella 1.0 (e della tabella 2.0) si è fatto uso dei concetti di 1) valore best di una misurazione, 2) errore assoluto e 3) errore relativo. 1) Il valore best è calcolato tramite la formula 0.1 2) L errore assoluto è calcolato tramite la formula 0.2 3) L errore relativo è calcolato dalla formula (0.3) l errore relativo percentuale è calcolato dalla formula (0.4). Ai fini dell esperienza sono stati misurati, tramite misurazioni dirette, il diametro esterno (che indicheremo con D), l altezza (h), il diametro interno (d) e la massa (m). Ogni misurazione è stata effettuata almeno tre volte, ed è stato poi calcolato il valore best tramite il valore centrale dell intervallo di dispersione (0.1) ; è stato infine scelto come errore della misurazione (ricavato dunque tenendo conto dell intervallo di semidispersione e che l errore strumentale è dato dalla somma fra errore di precisione ed errore di lettura) il valore così ottenuto: (0.2). Dopo aver stilato tutti i dati raccolti in tabella, si è proceduto alle misurazioni indirette di volume (V) e densità (ρ).

3 D(mm) δ D (mm) ε D h(mm) δ h (mm) ε h d(mm) δ d (mm) ε d Tabella Misurazioni indirette 4.1 Volume best, errore assoluto, errore relativo È stato possibile calcolare il valore migliore del volume (V) tramite la relazione V= (1.0) e il suo errore relativo ε V = ( ) (2.0) ricavato considerando gli errori relativi sui diametri e sull altezza e la loro propagazione. Infatti, per il calcolo del volume (in quanto i cilindri utilizzati hanno forma cava), è stato sottratto al volume calcolato sul diametro maggiore : quello calcolato sul diametro minore: ottenendo la formula 1.0 La formula 2.0 è stata ricavata da: ε V = (2.1) ( ) = (2.2) ricavando gli errori assoluti dalla formula: (3.0)

4 Lo stesso ragionamento vale per ottenendo (3.1). Sostituendo la formule (3.0) e (3.1) alla formula (2.2) otterremo: ( ) ( ) È stato necessario utilizzare la somma diretta fra gli errori relativi in quanto, usando comunque lo stesso strumento di misura (nel caso particolare il calibro), le misurazioni sono da considerarsi dipendenti l una dall altra (ovviamente è stato trascurato il termine in quanto questo, essendo un numero esatto, ha un errore relativo pari a 0). Dalla 2.1 si passa alla 2.2 tramite la regola che ci dice che le incertezze nelle somme e nelle differenze (D 2 -d 2 ) - nel caso di valori dipendenti si ricavano sommando gli errori assoluti delle singole grandezze. La 3.0 e la 3.1, invece, sono ricavate tenendo conto della regola della propagazione degli errori nelle potenze. Infatti, in generale, Tramite le opportune sostituzioni ricaviamo la 2.2 Inoltre; È inoltre possibile calcolare la 2.0, in maniera equivalente, usando le regole di propagazione degli errori in qualunque funzione di più variabili. Infatti, utilizzando i concetti di limite, rapporto incrementale e derivate, è possibile dimostrare che, allora. Si può generalizzare questo concetto, tramite le derivate parziali, per una qualunque funzione in più variabili: usando opportunamente la somma diretta delle incertezze ottenute (grandezze dipendenti) o la somma in quadratura delle incertezze ottenute (grandezze indipendenti). Nel nostro caso particolare: Ottenendo:

5 4.2 Densità best, errore assoluto, errore relativo Il valore migliore della densità è stato ricavato come rapporto tra massa e volume di ciascun cilindro ed il suo errore relativo come ε ρ =, dato che massa e volume sono state ricavate tramite misurazioni indipendenti tra loro (somma in quadratura - regola della propagazione delle incertezze nei prodotti e nei quozienti -). m(g) δ m (g) ε m (%) V(cm 3 ) δ V (cm 3 ) ε V (%) ρ(g/cm 3 ) δ ρ (g/cm 3 ) ε ρ (%) Tabella Grafico volume-massa: rette di massima e minima pendenza Rappresentando in un grafico la massa in funzione del volume con i corrispettivi errori assoluti, è stato possibile osservare come sussista un rapporto di proporzionalità diretta tra le due grandezze: abbiamo quindi ricavato il massimo e il minimo valore della densità tracciando graficamente le rette di massima (in arancione) e minima (verde) pendenza e calcolandone i coefficienti angolari.

6 Il valore migliore della densità sarà quindi dato dal valore centrale dell intervallo di dispersione fra i due coefficienti angolari calcolati (la retta il cui coefficiente angolare rappresenta il valore best della densità è quella tracciata in blu) e il suo errore assoluto sarà l intervallo di semidispersione fra i due coefficienti: ρ best =1.43g/cm 3, δ ρ =0.05g/cm 3, ρ=(1.43±0.05)g/cm 3. 6 Discrepanza Inoltre, confrontando i risultati ottenuti dalle nostre misurazioni con i risultati ottenuti dal gruppo n.1, abbiamo potuto insieme valutare che la discrepanza fra i valori best della densità degli oggetti è risultata non significativa. Infatti: e nel nostro caso: 7 Conclusioni Al termine dell esperienza è stato possibile notare (come da ipotesi) la proporzionalità diretta tra massa e volume per oggetti dello stesso materiale e che, in questo caso specifico, è possibile supporre che il materiale di cui costruiti i cinque oggetti di forma cilindrica sia pvc (come verificato tramite ricerche: - in relazione al pvc - Al termine delle reazioni di polimerizzazione si presenta come polvere o come granulato bianco; la densità è generalmente di 1,40-1,45 g/cm3 - fonte: wikipedia -).