Propagazione delle incertezze statistiche. Dott. Claudio Verona

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1 Propagazione delle incertezze statistiche Dott. Claudio Verona

2 Propagazione delle incertezze La maggior parte delle grandezze fisiche di solito non possono essere misurate da una misura diretta, ma viene determinata in due passi distinti: 1. Misura di una o più grandezze che possono essere misurate direttamente e dalle quali la grandezza che ci interessa dipende. 2. Dalle grandezze misurate si calcola la grandezza in questione attraverso formule e/o relazioni matematiche. Per quanto riguarda la stima da associare alla grandezza di interesse, si procede quindi in due passi: 1. Stimare le incertezze delle grandezze misurate direttamente 2. Applicare la propagazione delle incertezze per produrre un incertezza da associare alla grandezza in questione.

3 Propagazione delle incertezze: somme e differenze Data una misura di una grandezza derivata q definita da q = x + y Dove da misure dirette si è ricavato Calcoliamo il valore minimo e massimo di q Si ha che x = ± δx y = ± q min = δx + = + (δx + ) q max = + δx + + = + + (δx + ) q = q best ± δq Dove q best = + e l incertezza da associare alla grandezza q è δq = δx + Nelle somme algebriche si sommano le incertezze delle varie grandezze. Analogamente anche nelle differenze di ottiene che l incertezza associata è la somma delle incertezze.

4 Propagazione delle incertezze: prodotti Data una misura di una grandezza derivata q definita da q = x y Dove da misure dirette si è ricavato Come si calcola l incertezza? x = ± δx y = ± q = ± δx ± = 1 ± δx 1 ± = 1 ± δx 1 ± = Trascurando il doppio prodotto δx 1 ± ( δx + ) che è un numero molto più piccolo delle incertezze relative di x e y Si ha che q = q best ± δq ; Dove q best =. Mentre l incertezza sulla grandezza q si ricava dalla relazione: δq = δx + q best L incertezza relativa del prodotto tra due grandezze è la somma delle incertezze relative delle varie grandezze

5 Propagazione delle incertezze: quozienti Data una misura di una grandezza derivata q definita da q = x y Dove da misure dirette si è ricavato Come si calcola l incertezza? x = ± δx y = ± q = ±δx ± = 1± δx 1± Essendo <<1 per Taylor si ha 1 1± = 1 quindi q = 1 ± δx 1 = 1 ± ( δx + )

6 Propagazione delle incertezze: quozienti q = 1 ± ( δx + ) Trascurando il doppio prodotto che è un numero piccolo rispetto alle incertezze relative di x e y Si ha che q = q best ± δq Dove q best = Mentre l incertezza della grandezza q si ricava dalla relazione: δq q best = δx + L incertezza relativa del quozienti di grandezze è la somma delle incertezze relative delle varie grandezze.

7 Propagazione delle incertezze: casi particolati casi particolari (prodotto di una grandezza misurata per una costante, potenza di una grandezza misurata) Data una misura di una grandezza derivata q definita da Dove da misure dirette si è ricavato Come si calcola l incertezza? q = Cx (es. A = πr 2 ) x = ± δx Dal momento che C è una costante allora δc = 0 (C non ha incertezza) Pertanto δq q best = δx L incertezza relativa di q è esattamente quella relativa di x. Ora siccome q best = C, allora l incertezza di δq q è C volte l incertezza di x = δx δq = Cδx C Data una misura di una grandezza q definita da q = x n = x x x x x x (n volte il prodotto) L incertezza relativa di q è n volte quella relativa a x δq q best = n δx (come ottenuto dalla regola dei prodotti)

8 Propagazione delle incertezze: esempio ESEMPIO: Supponiamo di voler misurare l accelerazione di gravità g misurando il tempo di caduta t di un sasso da un altezza h dal suolo. Da una misura otteniamo t = 1. 6 ± 0. 1 s h = ± 0. 1 m Dal momento che h = 1 2 gt2 g = 2h t 2 Quindi l accelerazione è g = 10.2 m/s 2 Qual è l incertezza da associare al risultato? Applichiamo le regole appena viste (quoziente e potenza). Calcoliamo le incertezze relative di t e h δt = = 6.3% t δh = = 0.7% h L incertezza su t 2 è due volte l incertezza relativa di t, il fattore 2 non ha incertezza, quindi troviamo che l incertezza relativa di g è δg g = δh h + 2 δt = = 13.3% t Allora δg = = 1.4 (opportunatamente arrotondato) il risultato si scrive g = (10. 2 ± 1. 4) m/s 2

9 Propagazione delle incertezze: funzioni di una variabile Funzioni arbitrarie di una variabile q = q x (Es q = ln x, q = e cx, q = Dove da misure dirette si è ricavato La miglio stima di q naturalmente è q best = q Per decidere l incertezza calcoliamo q max e q min x = δx Se l incertezza δx è piccola allora la funzione q(x) tra i due valori di q max e q min è approssimabile ad una retta in modo che risulti x) δq = q + δx q In generale = dq dx xbest δx (appr. di Taylor) δq = dq dx xbest δx

10 Propagazione delle incertezze: formula generale In generale se la grandezza q è funzione arbitrarie di più variabili (x, y, z, etc.) q = q x, y, z, etc. (Es. q = x y ) z allora l incertezza di q è ricavabile dall equazione δq = dq dx dq δx + dy dq + δz+.. dz ESEMPIO: Determinare il valore della capacità di un condensatore piano vuoto con armature quadrate di lato a poste a distanza d dalle misure singole a = 1.4 ± 0.1 cm, d = 1.3 ± 0.3 mm La capacità è calcolabile dall equazione C = ε 0 a 2 d = F L incertezza va calcolata seguendo la formula δq = dq dq δx + dx dy 2a Pertanto δc = ε 0 δa + ε a 2 d 0 δd = d F dq + δz+.. dz Il risultato finale si scrive C = 1. 3 ± F

11 Esercizio d esame

12 Propagazione delle incertezze di due grandezze indipendenti e casuali Se le variabili x e y sono indipendenti e causali gli errori non si sommano linearmente (caso più pessimista) ma quadraticamente. Dimostreremo in seguito che in realtà sono molto più realistiche (specie per le incertezze di tipo statistico, incertezze originarie sono indipendenti e casuali) le seguenti regole: Somma e differenza δq = δx Prodotto e quoziente Si usano le cosiddette «somme quadratiche» δq q = (δx x )2 +( y )2 Caso generale q = q x, y, z.. --Formula generale della propagazione degli errori-- δq = 2 dq dx δx + dq dy 2 + dq dz δz 2 +.

13 Propagazione delle incertezze di due grandezze indipendenti e casuali Errore massimo δx δx δq = δx + δq sovrastima il nostro valore probabile. Qual è la migliore stima dell incertezza δq? Errore «in quadratura»: possibilità di bilanciamento tra sovrastime e sottostime dei vai parametri x, y δq = δx Per Pitagolra: qualunque lato di un triangolo è minore della somma degli altri due. Quindi è sempre vera la seguente disuguaglianza δx < δx +

14 Propagazione delle incertezze: esempio Esempio. Supponiamo di voler trovare l efficienza η di un motore elettrico in corrente continua I utilizzandolo per sollevare una massa m fino ad una altezza h. Il lavoro compiuto è mgh e l energia elettrica erogata VIt. L efficienza allora è η = mgh Supponiamo che m,h,v e I siano tutte misurate con incertezza del 1% mentre il tempo t una incertezza del 5%. Se calcoliamo l incertezza sull efficienza otteniamo δη η = δm m + δh h + δv V + δi I + δt t = % = 9% Se le varie incertezze sono indipendenti e casuali (grandezze fisicamente differenti e calcolati con procedure differenti e che seguono una distribuzione statistica) allora possiamo calcolare l incertezza con la somma quadratica δη η = δm m 2 + δh h 2 + δv V 2 + δi I 2 + δt t 2 = 5% Incertezza è decisamente più piccola e corrisponde all incertezza sul tempo t, si trascurano le altre incertezze su m,h,v e I. VIt