FIT DI DATI SPERIMENTALI

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1 FIT DI DATI SPERIMENTALI Spesso è necessario verificare se dati sperimentali seguano o meno una certa legge teorica ed al contempo estrarre dei parametri da questo andamento. La procedura numerica con la quale si verifica l aderenza dei dati ad un certo andamento teorico tramite l ottimizzazione di alcuni parametri si chiama procedura di best fit. Molte procedure di best fit sono basate sul metodo dei minimi quadrati che è basato sulla minimizzazione dell errore quadratico. Quando la funzione teorica è una retta ( i parametri sono il coefficiente angolare e il termine noto) si parla di regressione lineare. Vediamo oggi come si può ottenere una regressione lineare con excel

2 REGRESSIONE LINEARE PER LA LEGGE ESPONENZIALE yae Bx Applicando la funzione ln a destra e sinistra otteniamo lny lna + Bx che è una retta (notiamo che B è il suo coefficiente angolare e lna la sua intercetta con l asse delle y) Se abbiamo a disposizione dei dati sperimentali che si ipotizza seguano una legge esponenziale allora basta fare il logaritmo della colonna delle y per ottenere una nuova colonna Y che insieme alla colonna originaria delle x seguiranno la legge Ymx+q Dove Ylny xx mb qlna

3 Svolgimento dell esercizio. Sono assegnate due colonne di dati contenenti x e y che si ipotizza seguano una legge esponenziale. Basta applicare la funzione logaritmo naturale alla colonna delle y e applicare la procedura di fit lineare (con il calcolo della pendenza e della intercetta) alla vecchia colonna delle x e alla nuova delle y. Per ottenere i parametri della legge esponenziale YAe BX basta ricordare che mb e qlna perciò Aexp(q)

4 REGRESSIONE LINEARE PER LA LEGGE DI POTENZA yax B Applicando la funzione ln a destra e sinistra otteniamo lny lna + B lnx che è una retta (notiamo che B è il suo coefficiente angolare e lna la sua intercetta con l asse delle y) Se abbiamo a disposizione dei dati sperimentali che si ipotizza seguano una legge di potenza allora basta fare il logaritmo della colonna delle x e di quella delle y per ottenere due nuove colonne X e Y che seguiranno la legge YmX+q Dove Ylny Xlnx mb qlna

5 Svolgimento dell esercizio. Sono assegnate due colonne di dati contenenti x e y che si ipotizza seguano una legge di potenza. Basta applicare la funzione logaritmo naturale alla colonna delle x e a quella delle y e applicare la procedura di fit lineare (con il calcolo della pendenza e della intercetta) alle due nuove colonne. Per ottenere i parametri della legge di potenza YAx B basta ricordare che mb e qlna perciò Aexp(q)

6 DISTRIBUZIONI IN FREQUENZA E ISTOGRAMMI Quando si hanno molti dati da trattare bisogna rappresentare i dati nella forma più efficace e utile. Infatti nel caso ci interessi conoscere il valore di una certa grandezza, e questa sia affetta da un errore di tipo A, i risultati delle varie misure sperimentali saranno numeri che fluttuano. Una tabella con questi valori non è la maniera migliore di rappresentarli. L informazione che si ricava a prima vista è scarsa e la consultazione è scomoda. ES. misura del periodo di oscillazione di un pendolo in T(ms) 400,11 400,10 400,11 400,10 400,17 400,1 400,15 400,13 400,08 400,15 400,13 400,16 400,09 400,14 400,1 400,11 400,14 400,1 400,13 400,1 400,14 400,14 400,10 400,1 400,13 400,16 400,13 400,09 400,13 400,15

7 Per avere una maggiore compattezza nella presentazione conviene invece costruire una tabella detta distribuzione in frequenza. Vediamo per esempio i redditi per il 1977 di un campione di famiglie italiane: Reddito annuo in lire Numero di Famiglie Meno di tre milioni e più 7901 Il vantaggio di questa tabella rispetto alla precedente è che fornisce un idea immediata dell andamento della variabile studiata. Il prezzo che si paga è la perdita di una parte dell informazione. Per esempio dalla tabella non si evince quale è il reddito più alto e quale il più basso. Ma è un prezzo molto basso rispetto al vantaggio che chiaramente si ottiene.

8 In generale per costruire una distribuzione in frequenza dato un alto numero di dati provenienti da misure della stessa variabile bisogna: 1. scegliere le classi in cui raggruppare i dati;.inserire ogni dato nella classe appropriata; 3.contare i dati in ciascuna classe. Il punto delicato è l 1 mentre le altre operazioni sono meccaniche. Nello scegliere le classi in cui raggruppare i dati bisogna osservare le seguenti regole: le classi devono essere in numero appropriato, infatti il loro numero dipende dal numero e dalle fluttuazioni dei dati a disposizione (regola empirica (N/n maggiore uguale a 10 con N numero di dati e n numero di classi); deve essere possibile inserire tutti i dati nella classificazione; ogni dato deve essere inserito in una sola classe e quindi le classi non si devono sovrapporre; quando è possibile le classi devono avere tutte la stessa ampiezza.

9 NOTA: nella tabella dei redditi le classi hanno tutte la stesa ampiezza tranne la prima e l ultima perché sono classi aperte. La loro presenza risulta utile quando ci sono solo pochi dati molto più piccoli e/o molto più grandi di tutti gli altri tali che richiederebbero l introduzione di un inutile numero di classi. Nella costruzione dell istogramma, cioè la rappresentazione grafica dei dati raggruppati in classi, non si usano però le classi aperte sennò la visualizzazione dei dati non è corretta. Infatti in questo modo le aree dei rettangoli sono proporzionali alle frequenze. L istogramma ha in ascissa le classi e in ordinata le frequenze dei dati. ESERCIZIO 1: Costruire con EXCEL gli istogrammi dei due insiemi di dati forniti precedentemente (periodo del pendolo e reddito delle famiglie). Nel caso del periodo del pendolo bisogna anche decidere il numero di classi e costruire la tabella della distribuzione in frequenza.

10 ESERCIZIO : Riportiamo in tabella 100 letture del numero di particelle emesse da una sostanza radioattiva in intervalli successivi di 30 secondi, ottenute con un contatore Geiger. Raggruppare i dati in una distribuzione in frequenza e rappresentarli graficamente sotto forma di istogramma. Costruire anche l istogramma con i dati in frequenza normalizzati (ossia tutti divisi per il numero totale di dati)

11 PROPAGAZIONE DELL ERRORE, MEDIA E DISPERSIONE Supponiamo di voler calcolare l errore su una grandezza non misurabile direttamente ma che è funzione di altre grandezze che sono invece misurate direttamente. In questo caso stiamo effettuando una MISURA INDIRETTA. Anche per queste grandezze distingue tra indeterminazione delle misure dirette dovute ad errori di sensibilità e tra indeterminazione delle misure dirette dovuta ad errori casuali. Nel primo caso sono necessarie solo conoscenze di analisi matematica e lo affronteremo subito. Il secondo caso invece necessita della conoscenza di alcuni concetti statistici. Analizziamo subito la PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI DI SENSIBILITA. Prima però ripassiamo i concetti di cifre significative e ordini di grandezza

12 CIFRE SIGNIFICATIVE E ORDINI DI GRANDEZZA Quando si ha a che fare con numeri molto piccoli o molto grandi conviene introdurre la cosiddetta NOTAZIONE SCIENTIFICA: l ordine di grandezza di un numero viene espresso in potenze di 10 che moltiplicano le cifre significative. ES. y m 3.98 x 10-5 m ES. y m 3.94 x m I numeri diventano molto più maneggevoli ed è molto più semplice eseguire operazioni tra numeri molto grandi e numeri molto piccoli. Questa notazione risulta estremamente vantaggiosa anche nel caso della scrittura finale di un risultato di una misura con il suo errore. ES. nel caso della misura dirretta dello spessore di un lamierino affetta da errore di sensibilità se la misura è di.55 mm e l errore di 0.05 mm il risultato sarà y( ) x 10-5 m

13 fattore nome simbolo femto f 10-1 pico p 10-9 nano n 10-6 micro μ 10-3 milli m 10 - centi c 10-1 deci d 10 deca da 10 etto h 10 3 chilo k 10 6 mega M 10 9 giga G 10 1 tera T

14 PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI DI SENSIBILITA Data una funzione di n variabili x i f(x 1,,x n ) il suo differenziale è definito dalla formula: df n f x i 1 i dx i E rappresenta la variazione di f determinata dalle variazioni dx 1,,dx n delle n variabili indipendenti. Ciascuno degli addendi rappresenta cioè la variazione della funzione causata dal variare infinitesimo della generica variabile x i.

15 Dal momento che l errore di sensibilità rappresenta la minima variazione apprezzabile sulla grandezza misurata allora lo consideriamo un incremento infinitesimo e possiamo riscrivere l equazione appena scritta in maniera da definire l errore di sensibilità per le misure indirette: Δf n i1 f x i Δx i Dove sono stati inseriti i moduli perché tutti i contributi all indeterminazione di f devono essere positivi dal momento che l indeterminazione su ciascuna misura diretta tende ad accrescere Δf.

16 CIFRE SIGNIFICATIVE Ovviamente il calcolo dell errore su f si presenterà con un numeri di cifre diverse da zero imprecisato. L errore di sensibilità si presenta sempre con una sola cifra significativa (cioè diversa da zero) e il suo ordine di grandezza determina univocamente il numero di cifre significative della grandezza. Allora quando si applica la formula della propagazione degli errori di sensibilità resta valido il principio che essa debba avere solo una cifra significativa. ES. Calcolare una forza Fma avendo misurato m (10. pm 0.)kg e a (31.5 pm 0.03) m/s Δf a Δm + m Δa (31.5 x x 0.03) kg m / s kg m / s Fma(10. x 31.5) kg m / s kg m / s Scrivete voi il risultato finale con le cifre giuste

17 F kg m ( 319 ± 7) (319 ± 7) N s

18 ESERCIZI: 1) Scrivere correttamente il risultato della seguente misura nel sistema mks in notazione scientifica e con il giusto numero di cifre: F g x μm / (ms) ΔF g x μm / (ms) ) Calcolate il valore dell accelerazione di gravità g e il suo errore utilizzando la formula della propagazione degli errori di sensibilità: T (.00 pm 0.0) s l (1.00 pm 0.01) m T π l g

19 SVOLGIMENTO ES. Partiamo dalla formula della propagazione dell errore: i n i i x x f f Δ Δ 1 Applichiamola alla formula dell esercizio: Δ + Δ Δ + Δ Δ T T l l T T T g l l g g s m T l g g l T π π π π

20 ( ) s m s m T T l T l g + + Δ + Δ Δ π π π Il risultato finale sarà ( ) s m g ±

21 ERRORI RELATIVI Molto spesso è utile, se non necessario, confrontare il grado di accuratezza con cui sono state eseguite due misure. Se queste non si riferiscono però a grandezze omogenee o più semplicemente se l ordine di grandezza è molto diverso il confronto tra i due errori di sensibilità è fuorviante. Per eseguire correttamente questo confronto è necessario rendere adimensionale l errore definendo L ERRORE RELATIVO PERCENTUALE come Δf f Riprendendo l analogia fra errori di sensibilità e differenziali possiamo notare che l errore relativo è analogo al differenziale del logaritmo di f

22 d ln f df f Δf f Questo ci consente di calcolare l errore relativo di molte grandezze sperimentali semplicemente sfruttando le proprietà dei logaritmi. ln AB ln A + ln B ln A n n ln A ln A B ln A ln B

23 ESEMPIO: Supponiamo di avere una grandezza f ab 3 c + d ab 3 ( c + d ) 1/ Dove: (a +- Δa) (b +- Δb) etc. sono errori di sensibilità Δf f d ln f d ln 3 d ln a + ln b Δa Δb a b + 1 ab ( c + d ) ln Δ( c + d) c + d 3 1/ d [ ( 1/ )] [ ( )] 3 ln ab d ln ( c + d ) ( c + d ) d ln a + 3ln b + ln( c + d ) 1

24 Usando per Δ(c+d) la formula di propagazione dell errore di sensibilità: f c+d e Δf Δc+Δd otteniamo come risultato finale: Δf f Δa a Δb + 3 b + 1 Δc c + Δd + d

25 L ERRORE MASSIMO Quando la sensibilità di uno strumento utilizzato in una misura diretta è tale che più misure ripetute siano quasi coincidenti entro la sensibilità dello strumento non ha senso eseguire molto misure perché in questo caso le molte misure non ci aiuterebbero a migliorare l accuratezza con cui stimare il valore vero della grandezza oggetto di misura. In questo caso tutto quello che possiamo dire è che tutti i risultati compresi tra il più alto e il più basso ottenuti sono equiprobabili, ovvero che il valore della grandezza misurata può essere uno qualunque dei risultati compresi in quell intervallo. In questo caso la miglior stima che possiamo dare del valore vero è data dal centro intervallo al quale si può associare come stima dell indeterminazione la semidispersione massima

26 x x Δx MAX x MAX + x x MIN MIN Questi sono detti ERRORI MASSIMI. x MAX e x MIN sono rispettivamente il massimo e il minimo dei valori della grandezza misurati,

27 SVOLGERE I SEGUENTI ESERCIZI: 1) Un tachimetro poco preciso misura 65 chilometri orari quando la vera velocità è di 60 km/h e misura 90 km/h quando la vera velocità è 80 km/h. L errore relativo aumenta o diminuisce? ) Una grandezza fisica A è legata alle grandezze fisiche indipendenti BCD dalla relazione funzionale D 5B C A 3 Sapendo che B viene misurata con un errore relativo del % e D con un errore relativo dell 1%, con quale errore deve essere determinata C affinchè si conosca A al meglio del 10%?

28 Soluzioni: 1) 5/60 vale circa 8% e 10/80 circa 1% quindi l errore relativo aumenta. ) ln ln d A A ΔA A 5B C ln D ln 5 + ln B ln C ΔB B ΔC + 3 C ( 3 5B C ) ln D ln 5 + ln B + 3ln C ln D ln A 10% % + 3 X + 1% 3 3 ln ΔD + D ln D X5/3 % 1.7 %