Appunti per le esercitazioni di Fisica 1 per Matematici

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1 Appunti per le esercitazioni di Fisica per Matematici Prof. M.Bassan Requisiti di matematica e aritmetica Per affrontare gli esercizi proposti (ma anche le lezioni del corso) supponiamo note: Derivate: la velocita con cui cambia il valore di una funzione, la pendenza di una curva, il coefficiente angolare della retta tangente... Integrali: Area sotto una curva, limite di una somma, accumulo di infiniti contributi infinitesimi... Regole di derivazione ed integrazione di funzioni di una variabile; uso delle derivate per trovare i massimi (o minimi) di una funzione. Funzioni speciali o elementari (secondo i punti di vista) : trigonometriche (con le relazioni), iperboliche, logaritmo, esponenziale. Mettetevi alla prova: quanto vale il logaritmo di? di 0? di? e quanto vale cos (3π/4)? exp(±)? exp(0)? Sapete tracciare senza esitare il grafico di ln(x)? e di exp(-x)? E utile, ma non necessaria, una conoscenza delle equazioni differenziali più semplici (lineari, primo e secondo ordine, a coefficienti costanti): le affronteremo insieme. Ricordiamo qui che la soluzione piu generale e data dalla soluzione generale dell omogenea associata + una soluzione particolare della eq. non omogenea. Se l equazione differenziale descrive l evoluzione nel tempo di un sistema (per esempio, un moto), la soluzione dell omogenea rappresenta il comportamento transitorio, l andamento della soluzione vicino al tempo iniziale e dipende dalle condizioni iniziali; la soluzione particolare invece descrive il comportamento asintotico, per t. 2 Numeri molto grandi e molto piccoli 2. Notazione esponenziale e prefissi Spero vi sia noto che un numero comunque grande o piccolo puó essere espresso come un numero compreso tra 0 e (mantissa) per una potenza di dieci (esponente). Il numero di decimali dipende dalla precisione richiesta...o disponibile. - Esempio: quanti secondi ci sono in un anno? = secondi = s. Con buona approssimazione (quale errore percentuale?) vale la regola mnemonica anno π 0 7 s. - Esempio: Quale é la frequenza di rotazione della Terra? ovviamente il periodo e un giorno

2 (solare medio, per i pignoli) = s. La frequenza e il suo inverso f = /T = s, che é un numero chiaramente scomodo. Lo scriveremo come f = Hz. In alternativa, é pratica diffusa ed intelligente utilizzare dei prefissi, davanti all unitá di misura, per indicare delle potenze di 0, o più ingegneristicamente, di 0 3. E noto a tutti che kilometro (km) significa 000 metri (m) e milligrammo (mg) indica /000 di grammo (g). Sfortunatamente però, il chilogrammo (kg) e non il grammo (g) é grandezza fondamentale nel Sistema Internazionale (SI) di unità di misura: quindi, in SI, un milligrammo é 0 6 kg. Questo é sovente causa di errore nel risolvere esercizi. Ecco una tabella di prefissi: Table : prefissi e potenze di 0 prefisso nome valore peta P 0 5 Tera T 0 2 Giga G 0 9 Mega M 0 6 kilo k = milli m 0 3 micro µ 0 6 nano n 0 9 pico p 0 2 femto f 0 5 atto na 0 2 É perfettamente lecito dire che in un anno ci sono 3.5 Ms, o che la frequenza di rotazione terrestre è di.6µhz. La distanza media Terra-Sole vale Unitá Astronomica 50 milioni di chilometri (per la precisione, 49.6): sarebbe piú corretto dire UA =.5 0 m oppure UA = 50 Gm. 2.2 Verso zero: esponenti negativi Un matematico tende a pensare che e x tende a zero velocemente, ma non é mai zero, se non quando x. In realtá, a tutti gli effetti pratici, quando x > 5, il valore dell esponenziale é talmente piccolo (rispetto all unitá) da essere del tutto trascurabile. Di seguito una tabellina di esponenziali decrescenti: e 0 e 0.37 e e e e e e

3 2.3 Grande e piccolo in fisica Il significato di piccolo ( o grande ) é sempre relativo: diciamo che una grandezza A è piccola se è molto minore di un altra grandezza B, rappresentativa della scala di grandezze del problema. Ed e piccola solamente rispetto a B. Per intenderci, se parliamo di ere geologiche, un mese è piccolo ; se parliamo di pianeti, l altezza delle Petronas Towers é piccola. Spesso questo concetto passa per la costruzione di una grandezza adimensionale che risulti x = A/B. - Esempio un metro e piccolo rispetto al diametro terrestre (m/r 0 7 ), ma è grande se confrontato con le dimensioni molecolari (m/d H2 O 0 0 ). La presenza di parametri x ci consente di applicare alcune approssimazioni, descritte nel prossimo paragrafo. 3 Uso di approssimazioni lecite E di grande utilità, quando sia complicato avere soluzioni esatte, lo sviluppo in serie di Taylor di una funzione f(x): Se ignoro il valore di f in x, ma lo conosco in un punto vicino x 0 = x x, e conosco la derivata f (x), posso approssimare: f(x) = f(x 0 ) + f (x 0 ) x + /2 f 2 x + e, di norma, ci arresteremo al primo termine, lineare in x. - Esempio: Quanto vale f(x)= sin( o )? non lo so calcolare, ma so quanto vale sin(0) e conosco la derivata del seno: f = cos(x). Quindi: sin( o ) = sin(0 o ) + o cos(0 o ) = 0 + π/80 = che differisce dal valore esatto per poche parti in 0 6. Per la stima numerica di π/80 ( o espresso in radianti) vedi alla fine del paragrafo. Applichiamo il sopracitato concetto di piccolo allo sviluppo in serie di Taylor: quanto deve essere vicino, il punto x a x 0? ossia, quanto deve essere piccola la distanza x? Sto troncando la serie al primo termine, quindi buttando via i termini superiori: affinchè sia lecito, occorre che ciò che trascuro sia piccolo rispetto al termine che tengo, e quindi che già il secondo termine dello sviluppo in serie (quello con la derivata seconda) sia trascurabile. Diamo forma matematica a questo concetto: f (x)( x) 2 /2 f (x) x, ossia: x f (x 0 )/f (x 0 ) Possiamo ora approssimare alcune funzioni per valori piccoli dell argomento (x positiva o negantiva, purchè x ). Useremo spesso queste approssimazioni: sin(x) x x 3 /6 il primo termine e di norma sufficiente cos(x) x 2 /2 cos(0) è un massimo, occorre sviluppare al II ordine e x x ln( + x) x e infine, particolarmente utile: ( + x) α + αx α R In particolare: /( + x) ( x) ; + x + x/2 3

4 - Esempio: (85) 3/2 = [9 2 ( + 4/8)] 3/2 9 3 ( + 3/2 4/8) 9 3 (29/27) = = 783. Il valore esatto é 783, : non male, vero? Valori numerici di una soluzione. Una volta giunti a fornire la risposta al quesito del problema in forma algebrica chiusa, il passo successivo consiste nel sostituire i valori numerici e valutare il risultato. Nove volte su dieci non vi servirà la calcolatrice (e pertanto non potrete passarvela durante l esame), tranne che per valutare funzioni trascendenti. I passi da effettuare sono i seguenti: Verificare che la soluzione (algebrica) sia dimensionalmene corretta: se cerco una velocitá, e il risultato ha le dimensioni di kg m, ho sicuramente sbagliato qualcosa! Quando i valori numerici (bontà nostra :-) ) non sono dati, siete comunque tenuti a fornire una soluzione in funzione dei soli dati del problema. Immaginate di dover sostituire i numeri e chiedetevi: Questa lunghezza ce l ho? Questa massa mi é data? etc. Introdurre tutti i valori numerici separando esponente e mantissa Sommare gli esponenti (il che ci dà l ordine di grandezza della soluzione) e moltiplicare le mantisse: se ci accontentiamo di una soluzione esatta entro il 0%, basta arrotondare ogni valore a cifra significativa. Il resto è tabelline! - Esempio : quanto vale /3600? 3600 = = = Vogliamo fare meglio? usiamo la prescrizione () : 3600 = = ( + 0.3/3.3) ( + /) = ( 0.09) = = Il tutto ottenuto (davvero!) senza usare strumenti di calcolo. Che errore ho commesso nell approssimazione? Troncando al primo termine la serie di Taylor, ho trascurato termini quadratici nella grandezza piccola x=0.3/3.3, ossia termini O((/) 2 ): un errore dell ordine del percento (per i pignoli: 0.83%). Infatti, confrontate con il risultato esatto della calcolatrice: La differenza percentuale tra i due valori A B /A è 0.07 =.7%. NOTA: la differenza è maggiore di % perché abbiamo tacitamente fatto un altra approssimazione (senza valutarne l errore): quale? - Esempio Quanto vale un radiante? Occorre calcolare: 80/π 80 60/( ) = = 0.57 () 3( + 0.4/3) Il risultato esatto (troncato a 3 cifre decimali) e : un errore minore dello 0.5%. - Esempio: Calcolare la velocitá di rivoluzione della Terra intorno al Sole: sia che consideriamo che copre un cammino pari a 2πR in un anno, sia che applichiamo v = ωr, con ω = 2π/ anno, otteniamo: v = ωr = 2π/anno UA = 2π.5 0 m π 0 7 s = m/s = 30km/s 4

5 Negli esempi precedenti abbiamo, per due volte, calcolato a mente l inverso di un numero (/3.3 =0.3, /2 0.08). La seguente tabellina (ovviamente approssimata!) puo essere utile, dopo aver separato mantissa ed esponente: n /n Table 2: inversi (approssimati) dei numeri interi tra e 5 5