Corso di FISICA-MATEMATICA

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1 Fisica-Matematica p. 1/48 Università Politecnica delle Marche Facoltà di Ingegneria Scuola di Dottorato Curriculum in Architettura, Costruzioni e Strutture Corso di FISICA-MATEMATICA Docente: Prof. Lucio Demeio demeio@mta01.univpm.it, demeio/ Dipartimento di Scienze Matematiche

2 Fisica-Matematica p. 2/48 ORARI Skype: fismat_dott Martedi 28 aprile Martedi 5 maggio Martedi 12 maggio Venerdi 15 maggio Martedi 19 maggio Venerdi 22 maggio Martedi 26 maggio Venerdi 29 maggio

3 Fisica-Matematica p. 3/48 NOTE INTRODUTTIVE Oggetto del corso sono i metodi perturbativi, a partire dalle equazioni algebriche fino alle equazioni differenziali.

4 Fisica-Matematica p. 4/48 Modellazione matematica equazioni Le equazioni (algebriche, differenziali, funzionali, integrali) governano il comportamento dei parametri caratteristici del sistema che vogliamo descrivere in funzione di variabili indipendenti quali tempo, spazio, velocità, energia od altro Soluzioni analitiche, a mano Soluzioni numeriche Soluzioni approssimate o perturbative

5 Fisica-Matematica p. 5/48 I metodi perturbativi sono una collezione di tecniche e metodologie rigorose per determinare soluzioni approssimate di equazioni in presenza di un parametro piccolo. Spesso la soluzione perturbativa riproduce le caratteristiche salienti del fenomeno che si sta descrivendo e fornisce una base di partenza per un approccio numerico. Fondamenti matematici: analisi asintotica, sviluppi asintotici, equivalenze asintotiche, successioni asintotiche

6 Fisica-Matematica p. 6/48 UN ESEMPIO IMPORTANTE Oscillatore armonico: mẍ + k x = 0 Soluzione: x(t) = A cosωt + B sin ωt ω = k/m L equazione per un sistema massa-molla sottintende alcune ipotesi, tra cui le più importanti sono che la forza elastica esercitata dalla molla sia proporzionale allo spostamento (molla perfettamente elastica) e che il moto avvenga nel vuoto.

7 Fisica-Matematica p. 7/48 Equazione di Duffing: mẍ + k x + α x 3 = 0 Se la correzione non-lineare è piccola, ci aspettiamo dunque di trovare una soluzione data da un oscillazione armonica più una correzione. Osc. armonico smorzato: mẍ + 2λẋ + k x = 0 L equazione possiede una soluzione in forma chiusa, e quindi non necessita di una soluzione perturbativa. Tuttavia, in questo caso come in altri, calcoleremo ugualmente la soluzione perturbativa, allo scopo di illustrare i concetti e le metodologie.

8 Fisica-Matematica p. 8/48 ADIMENSIONALIZZAZIONE Per applicare i metodi perturbativi dobbiamo innanzitutto individuare un parametro piccolo, ε, rispetto al quale impostare la nostra analisi asintotica. Tale parametro deve rappresentare il rapporto tra due grandezze fisiche omogenee per poterle confrontare. È quindi necessario, come primo passo, riscrivere l equazione in esame in forma adimensionale.

9 Fisica-Matematica p. 9/48 Esempio: Osc. arm. smorzato mẍ + 2λẋ + kx = 0 x(0) = x 0 ẋ(0) = v 0 Introduciamo la frequenza ω = k/m ed il tempo di smorzamento τ = m/λ ẍ + 2 ẋ τ + ω2 x = 0. Se lo smorzamento è piccolo, il sistema compie molte oscillazioni prima che l ampiezza sia scesa in misura significativa. Diremo allora che l oscillazione armonica è dominante rispetto allo smorzamento.

10 Fisica-Matematica p. 10/48 In questo caso conviene introdurre come variabile temporale adimensionale la grandezza t = ωt d 2 x dt ωτ dx dt + x = 0. Nell ipotesi di smorzamento debole, ωτ >> 1; poniamo dunque ε = 1/(ωτ). Infine, introduciamo anche x = x/x 0.

11 Fisica-Matematica p. 11/48 L equazione dell oscillatore armonico smorzato si può dunque scrivere nella forma d 2 x dx + 2ε + x = 0 dt 2 dt x (0) = 1 v (0) = v 0 /(x 0 ω) µ L equazione scritta sopra, con le condizioni iniziali date, si dice che è scritta in forma universale; la soluzione dipende solo dai due parametri (adimensionali) ε e µ.

12 Fisica-Matematica p. 12/48 Esempio: Equazione di Duffing mẍ + k x + α x 3 = 0 x(0) = x 0 ẋ(0) = v 0 Introduciamo la frequenza ω = k/m, le variabili adimensionali t = ωt e x = x/x 0 ed ε = αx 2 0/k d 2 x dt 2 + x + ε x 3 = 0 x (0) = 1 v (0) = v 0 /(x 0 ω) µ Equazione di Duffing in forma universale

13 Fisica-Matematica p. 13/48 Esempio: Resistenza dell aria m z λż = mg z(0) = h ż(0) = v 0 Introduciamo il tempo di smorzamento τ = m/λ ed il tempo della caduta T g = h/g, le variabili adimensionali t = t/t g e z = z/h, µ = v 0 T g /h e ε = T g /τ d 2 z dz ε + 1 = 0 dt 2 dt z(0) = 1 ż(0) = µ Equazione della caduta dei gravi in forma universale

14 Fisica-Matematica p. 14/48 RELAZIONI ASINTOTICHE Siano f(x) e g(x) due funzioni tali che esistano lim f(x) e lim g(x). x x 0 x x0 Si dice che f(x) è asintoticamente equivalente a g(x) per x x 0 se e solo se f(x) lim x x 0 g(x) = 1 f(x) g(x), x x 0.

15 Fisica-Matematica p. 15/48 Funzioni infinitesime Siano f(ε) e g(ε) due funzioni infinitesime per ε 0 lim ε 0 Avremo nuovamente f(ε) = 0 e lim ε 0 g(ε) = 0. f(ε) g(ε), ε 0 lim ε 0 f(ε) g(ε) = 1. Per esempio: per ε 0 sin ε ε cos ε 1 ε2 2 e ε 1 ε ln(1 + ε) ε,

16 Fisica-Matematica p. 16/48 Funzioni infinite Siano f(ε) e g(ε) due funzioni infinite per ε 0 lim ε 0 Avremo nuovamente f(ε) = e lim ε 0 g(ε) =. f(ε) g(ε), ε 0 lim ε 0 f(ε) g(ε) = 1. Per esempio: 1 sinε 1 ε 1 e ε 1 1 ε 1 ln(1 + ε) 1 ε, per ε 0

17 Fisica-Matematica p. 17/48 Il simbolo di o piccolo Siano f(ε) e g(ε) due funzioni infinitesime per ε 0. Diremo che f è un o piccolo di g se lim ε 0 f(ε) g(ε) = 0 e scriveremo in tal caso f(ε) = o(g(ε)), ε 0, o anche f(ε) << g(ε), ε 0. Ad esempio, ε 2 = o(ε) sin ε = o( ε) sin 2 (ε) = o(ε). Serve a confrontare la velocità con cui due funzioni tendono a zero

18 Fisica-Matematica p. 18/48 SERIE DI TAYLOR Le equivalenze asintotiche si possono determinare tramite gli sviluppi di Taylor delle funzioni in esame. e ε = 1 + ε + ε2 2! + ε3 3! + ε4 4! + o(ε4 ) sin ε = ε ε3 3! + ε5 5! + o(ε5 ) cos ε = 1 ε2 2! + ε4 4! + o(ε4 ) ln(1 + ε) = ε ε2 2 + ε3 3 ε4 4 + o(ε4 ) ε 1 + ε = ε2 8 + ε ε o(ε4 ) ε = 1 ε + ε2 ε 3 + ε 4 + o(ε 4 ) 1 1 ε = 1 + ε + ε2 + ε 3 + ε 4 + o(ε 4 ). Per esempio: sinε ε, sin ε ε ε 3 /(3!), ε 0

19 Fisica-Matematica p. 19/48 SERIE ASINTOTICHE Serie di Taylor: all interno del cerchio di convergenza la serie converge ed il suo valore è uguale al valore della funzione nel punto. Troncando la serie di Taylor, all interno della regione di convergenza, la bontà dell approssimazione è tanto migliore quanto più elevato è il numero di termini che consideriamo e più vicini sono i valori della variabile al punto dello sviluppo. Serie asintotica: si può pensare come una generalizzazione delle serie di Taylor. Non si richiede la convergenza della serie e quindi si considera soltanto il secondo criterio; può allora succedere che aumentando il numero di termini la bontà dell approssimazione venga deteriorata.

20 Fisica-Matematica p. 20/48 SERIE ASINTOTICHE Sia f(x) una funzione continua in un intorno di x 0. Diremo che n=0 a n(x x 0 ) n è la serie asintotica della funzione f(x) per x x 0, e scriveremo f(x) a n (x x 0 ) n, x x 0 n=0 se, N > 0, abbiamo che N f(x) a n (x x 0 ) n = o( x x 0 N ) n=0 cioè se l errore che si commette troncando la serie al termine di ordine N tende a zero più rapidamente dell ultimo termine trattenuto. Da notare che non si richiede la convergenza della serie.

21 Fisica-Matematica p. 21/48 SERIE ASINTOTICHE a 0 = lim x x0 f(x) a 1 = lim x x0 f(x) a 0 x x 0 f(x) a 0 a 1 (x x 0 ) a 2 = lim x x0 (x x 0 ) 2... f(x) k 1 n=0 a k = lim a n(x x 0 ) n x x0 (x x 0 ) k Quando esiste la serie di Taylor per la funzione, allora essa è pure la sua serie asintotica, sempre nel limite x x 0.

22 Fisica-Matematica p. 22/48 SUCCESSIONI ASINT. Ad esempio, f(ε) = sin ε ammette uno sviluppo asintotico nelle potenze di ε o, se si preferisce, nelle potenze frazionarie di ε. Questo ci porta a definire il concetto di successione asintotica. Una successione di funzioni, {δ n (ε)}, n = 0, 1,.., si dice asintotica se δ n (ε) = o(δ n 1 (ε)) per ogni n.

23 SUCCESSIONI ASINT. Diremo che la serie n=0 a n δ n (ε) rappresenta uno sviluppo asintotico per f(ε), f(ε) a n δ n (ε), ε 0 se e solo se n=0 a 0 = lim ε 0 f(ε) δ 0 (ε) a 1 = lim ε 0 f(ε) a 0 δ 0 (ε) δ 1 (ε) f(ε) a 0 δ 0 (ε) a 1 δ 1 (ε) a 2 = lim ε 0 δ 2 (ε)... f(ε) k 1 n=0 a k = lim a n δ n (ε) ε 0 δ k (ε) Fisica-Matematica p. 23/48

24 Fisica-Matematica p. 24/48 EQUAZIONI ALGEBRICHE x 2 5x + 6 = 0 soluzioni: x 1 = 2 ed x 2 = 3 x 2 (5 + ε)x + 6 = 0 soluzioni: x 1,2 (ε) = (5 + ε ± (ε))/2 x 2 5x + 6 = 0: equazione non perturbata εx: perturbazione Perturbazione regolare, perchè il termine di perturbazione non altera il grado dell equazione non perturbata

25 Fisica-Matematica p. 25/48 SVILUPPO PERT. DIRETTO Ricordando che 1 + ε = 1 + ε 2 ε2 8 + o(ε2 ) x 1 (ε) = 2 2ε + 6ε 2 + o(ε 2 ) x 2 (ε) = 3 + 3ε 6ε 2 + o(ε 2 ), Sono le soluzioni dell equazione perturbata corrette al second ordine in ε. Come ricavare queste espressioni senza conoscere la soluzione? Sviluppo perturbativo diretto: x(ε) = x 0 + εx 1 + ε 2 x 2 + o(ε 2 )

26 Fisica-Matematica p. 26/48 SOL. PERTURBATIVA Sostituendo nell equazione otteniamo x 2 0 5x (2x 0 x 1 5x 1 x 0 )ε +(x x 0 x 2 5x 2 x 1 )ε = 0 Uguagliando separatamente a zero i coefficienti delle potenze successive di ε otteniamo la gerarchia di equazioni x 2 0 5x = 0 2x 0 x 1 5x 1 x 0 = 0 x x 0 x 2 5x 2 x 1 = 0

27 Fisica-Matematica p. 27/48 Soluzione perturbativa La prima di queste equazioni fornisce due valori per x 0, x (1) 0 = 2 ed x (2) 0 = 3. In corrispondenza a ciascuno di questi due valori, la seconda equazione ci dà la soluzione per x 1, vale a dire x (1) 1 = 2 e x (2) 1 = 3. Procedendo, otteniamo x (1) 2 = 6 e x (2) 2 = 6. Dunque: x (1) (ε) = 2 2ε + 6ε 2 + o(ε 2 ) x (2) (ε) = 3 + 3ε 6ε 2 + o(ε 2 ), Otteniamo così le espressioni già determinate per altra via. Questa metodologia di soluzione è detta metodo perturbativo per risolvere tale equazione e le soluzioni così ottenute sono dette soluzioni perturbative dell equazione.

28 Fisica-Matematica p. 28/48 ESEMPIO DI 3. GRADO x 3 3x 2 + 2x + ε = 0 Procediamo come prima con lo sviluppo perturbativo diretto ed otteniamo la gerarchia 2x 0 3x x 3 0 = (2 6x 0 + 3x 2 0)x 1 = 0 3 (x 0 1)x (2 6x 0 + 3x 2 0)x 2 = 0

29 Fisica-Matematica p. 29/48 ESEMPIO DI 3. GRADO Soluzioni della gerarchia: x (1) 0 = 0 x (1) 1 = 1 2 x (1) 2 = 3 8 Soluzione perturbativa x (2) 0 = 1 x (2) 1 = 1 x (2) 2 = 0 x (3) 0 = 2 x (3) 1 = 1 2 x 1 (ε) = 1 2 ε ε2 + o(ε 3 ) x 2 (ε) = 1 + ε + o(ε 3 ) x (3) 2 = 3 8, x 3 (ε) = ε 3 8 ε2 + o(ε 3 )

30 Fisica-Matematica p. 30/48 QUALCHE GRAFICO x x ε ε x ε

31 Fisica-Matematica p. 31/48 ESPONENTE FRAZIONARIO x 2 (4 + ε)x + 4 = 0 Introduciamo lo sviluppo diretto x(ε) = x 0 + εx 1 + ε 2 x 2 + o(ε 2 ) Ottenendo così la gerarchia x 2 0 4x = 0 2x 1 x 0 x 0 4x 1 = 0 Ma: x 0 = 2 dalla prima equazione, da cui segue x 0 = 0 dalla seconda: una contraddizione!! Significato: Lo sviluppo perturbativo non vale!! Achtung: L equazione non perturbata è un quadrato perfetto

32 Fisica-Matematica p. 32/48 Bilancio dei termini dominanti Nuovo sviluppo: x(ε) = x 0 + ε ν x 1 + ε 2 ν x 2 + o(ε 2 ν ) con 0 < ν < 1. Sostituendo otteniamo x 2 0 4x ε x 0 + ε ν ( 4x 1 + 2x 0 x 1 ) + ε 1+ν x 1 + ε 2ν (x 2 1 4x 2 + 2x 0 x 2 ) ε 1+2 ν x 2 + ε 3ν (2x 1 x 2 4x 3 + 2x 0 x 3 ) ε 1+3 ν x = 0 Come determinare la gerarchia? Intanto, x 2 0 4x = 0 con soluzione x 0 = 2.

33 Fisica-Matematica p. 33/48 Bilancio dei termini dominanti Sostituendo otteniamo 2ε + ε 1+ν x 1 + ε 2ν x 2 1 ε 1+2 ν x 2 + 2ε 3ν x 1 x 2 ε 1+3 ν x = 0. Abbiamo inoltre, nel limite ε 0, ε 1+ν << ε, ε 1+2 ν << ε, ε 1+3 ν << ε, ε 3 ν << ε 2 ν. Dunque, i termini ( 2ε) ed (ε 2ν x 2 1) dominano su tutti gli altri ed otteniamo la relazione asintotica 2ε + ε 2ν x 2 1 0

34 Fisica-Matematica p. 34/48 Bilancio dei termini dominanti Affinchè questi due termini si bilancino, deve essere ν = 1/2, cioè lo sviluppo corretto è x(ε) = x 0 + ε 1/2 x 1 + εx 2 + o(ε 3/2 ) ed in tal caso x 2 1 = 2 ottenendo 4 4x 0 + x ε 1/2 ( 4x 1 + 2x 0 x 1 ) + ε ( x 0 + x 2 1 4x 2 + 2x 0 x 2 ) +ε 3/2 ( x 1 + 2x 1 x 2 4x 3 + 2x 0 x 3 ) + o(ε 2 ) = 0 da cui la gerarchia x 2 0 4x = 0 4x 1 + 2x 0 x 1 = 0 2x 0 x 2 4x 2 + x 2 1 x 0 = 0

35 Fisica-Matematica p. 35/48 Bilancio dei termini dominanti x 2 0 4x = 0 4x 1 + 2x 0 x 1 = 0 2x 0 x 2 4x 2 + x 2 1 x 0 = 0 La prima equazione offre x 0 = 2, la seconda è identicamente soddisfatta. La terza dà x (1) 1 = 2 e x (2) 1 = 2. Pertanto x 1 (ε) = ε 1/2 + o(ε 1/2 ) x 2 (ε) = 2 2 ε 1/2 + o(ε 1/2 )

36 Fisica-Matematica p. 36/48 ESEMPIO DI 3. GRADO Equazione non perturbata: x 3 (4 + ε)x 2 + (5 2ε)x 2 + ε 2 = 0 x 3 0 4x x 0 2 = 0 Soluzione semplice x = 2, soluzione doppia x = 1 Sviluppo perturbativo diretto soluzione perturbata vicina alla radice semplice x 1 (ε) = 2 + 8ε 81ε 2 + o(ε 2 ) Con la radice doppia perveniamo ad una contraddizione

37 Fisica-Matematica p. 37/48 Bilancio dei termini dominanti Abbiamo ν = 1/2 e x 1 = ±i 3. Equazione successiva nella gerarchia 4x 1 + x 3 1 2x 1 x 2 = 0 che dà x 2 = 7/2 in corrispondenza ad entrambe le soluzioni trovate per x 1 In conclusione x 2 (ε) = 1 + i 3ε 7 2 ε + o(ε) x 3 (ε) = 1 i 3ε 7 2 ε + o(ε)

38 Fisica-Matematica p. 38/48 PERT. SINGOLARI εx 2 + x + 1 = 0 Equazione non perturbata: x + 1 = 0 di primo grado, sol. x = 1 Equazione perturbata di secondo grado: perturbazione singolare Uno sviluppo perturbativo semplice (anche con esponente frazionario) non funziona, o al massimo potrà darci una sola delle soluzioni Via d uscita: riscalare l incognita: y = ε α x Inoltre, moltiplichiamo l equazione per ε µ

39 Fisica-Matematica p. 39/48 Pert. singolari ε 1 2α+µ y 2 + ε µ α y + ε µ = 0 1 2α + µ = 0 µ α 0 µ 0 La soluzione è data da µ = 2α 1, con α 1. Possiamo quindi scegliere α = µ = 1. L equazione diventa y 2 + y + ε = 0

40 Fisica-Matematica p. 40/48 Pert. singolari y 2 + y + ε = 0 Soluzione perturbativa: y 1 (ε) = ε ε 2 + o(ε 2 ) y 2 (ε) = 1 + ε + ε 2 + o(ε 2 ) E quindi: x 1 (ε) = 1 ε + o(ε) x 2 (ε) = 1 ε ε + o(ε) Da notare che x 2 (ε) per ε 0.

41 Fisica-Matematica p. 41/48 ESEMPIO DI 3. GRADO ε x 3 + x 2 5x + 6 = 0 Eq. non pert. x 2 5x + 6 = 0 sol. x = 2 e x = 3 Anche qui y = ε α x e moltiplichiamo per ε µ Otteniamo α = 1, µ = 2 y 3 + y 2 5εy + 6ε 2 = 0 x 1 (ε) = 2 + 8ε + o(ε) x 2 (ε) = 3 27ε + o(ε) x 3 (ε) = 1 ε ε + o(ε)

42 Fisica-Matematica p. 42/48 EQ. TRASCENDENTI sinx ε x = 0, 0 x π x

43 Fisica-Matematica p. 43/48 Equazioni trascendenti Sviluppo perturbativo diretto: x(ε) = x 0 + εx 1 + ε 2 x 2 + o(ε 2 ) Sostituendo: sin ( x 0 + εx 1 + ε 2 x 2 + o(ε 2 ) ) ε ( x 0 + εx 1 + ε 2 x 2 + o(ε 2 ) ) = 0. Serie di Taylor sinx 0 +(x 1 cosx 0 x 0 )ε+ (x 2 cosx 0 12 ) x21 sin x 0 x 1 ε 2 +o(ε 2 ) = 0 Gerarchia sin x 0 = 0 x 1 cos x 0 x 0 = 0 x 2 cos x 0 (1/2)x 2 1 sin x 0 x 1 = 0

44 Fisica-Matematica p. 44/48 Equazioni trascendenti Soluzioni della gerarchia: x (1) 0 = 0 x (1) 1 = 0 x (1) 2 = 0 x (2) 0 = π x (2) 1 = π x (2) 2 = π Soluzione perturbativa vicino ad x = π: x(ε) = π π ε π ε 2 + o(ε 2 ) = π (1 ε ε 2 ) + o(ε 2 )

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46 Fisica-Matematica p. 46/48 Ulteriore esempio xe x = ε x Equazione non perturbata: xe x = 0 soluzione x = 0.

47 Fisica-Matematica p. 47/48 Ulteriore esempio Con lo sviluppo perturbativo diretto Serie di Taylor: e x 0 Gerarchia (x 0 + εx 1 + ε 2 x 2 + o(ε 2 ))e x 0+εx 1 +ε 2 x 2 +o(ε 2) = ε; x 0 (e x 0 x 1 + x 0 x 1 ) ε + 1 «2 ( 2 x2 1 + x 0 x x 2 2 x 0 x 2 ) ε x 0 = 0 e x 0 x 1 + x 0 x 1 = 0 2 x x 0 x x 2 2 x 0 x 2 = 0 Soluzione perturbativa: x 0 = 0, x 1 = x 2 = 1 x(ε) = ε+ε 2 +o(ε 2 ) = 0

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