Il sistema massa-molla

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1 Esperimento 2 Il stema massa-molla idoro.sciarratta@alice.it!

2 in sintesi 1.Verifica della legge dell allungamento della molla; determinare, quindi, k mediante la retta di regressione! 2.Scegliere una massa e calcolare il periodo T 1 mediante la formula! T = 2π m k 3.Con la massa del punto 2 procedere alla mura diretta di T 2 tramite un campione di almeno 30 dati del tipo t=5t! 4.Eseguire una curva oraria - on-line - con la stessa massa che ai punti 2 e 3 e attraverso di essa calcolare il periodo T3 con relativo intervallo di confidenza! 5.Confrontare T 1, T 2 e T 3 contestualmente ai propri intervalli di confidenza Ing. uniud - lab Fica

3 Stema massa-molla Ing. uniud - lab Fica 3

4 stema massa molla F e = k(x x 0 ) P = mg all equilibrio k(x eq x 0 ) = mg x eq = x 0 + mg k x 0 = x eq mg k dinamicamente P F e = ma mg k(x x 0 ) = m d 2 x dt 2 d 2 x dt 2 = g k m (x x 0 ) d 2 x dt = g k ( 2 m x " x eq mg % + * # $ k & ' - ), d 2 x dt 2 = k ( m x x eq ) Ing. uniud - lab Fica 4

5 stema massa molla da cui con una semplice sostituzione di variabile dove d 2 ζ dt 2 ω = 2π T = k m ζ = ω 2 ζ e la cui soluzione rulta del tipo ζ(t) = C 1 cosωt + C 2 sinωt mentre ritornando alla variabile x e scegliendo le seguenti condizioni iniziali x(t) = x eq + C 1 cosωt + C 2 sinωt x(0) = x eq + A dx dt ( 0) = 0 x(t) = x eq + Acosωt in conclusione la massa oscillerà di moto armonico semplice attorno alla posizione di equilibrio x eq con un ampiezza A ed un periodo T dato da: T = 2π m k Ing. uniud - lab Fica 5

6 Energia totale del stema massa-molla E = K + U gr + U el K = 1 2 mv2 = 1 2 ma2 ω 2 sin 2 ωt U gr = mgx = mg(acosωt + x eq ) U el = 1 2 k(x x 0 )2 = 1 2 k(acosωt + m k g)2 e poiché l energia potenziale è definita a meno di una costante arbitraria e quindi U tot = 1 2 k(x x 0 )2 mgx C = 1 2 k(x x eq )2 C = mgx eq m2 g 2 2k E = 1 2 A2 (mω 2 sin 2 ωt + k cos 2 ωt) mω 2 = k E = 1 2 A2 mω 2 Ing. uniud - lab Fica 6

7 approfondimenti sulla teoria degli errori, assoluto e relativo, di una grandezza murata indirettamente Ing. uniud - lab Fica 7

8 Sia z=f(x,y) una grandezza funzione di altre grandezze x, y,..., applicando lo sviluppo di Taylor fino al primo ordine e scegliendo come punto base dello sviluppo quello dei valori murati delle variabili indipendenti x 0, y 0,..., si ha: per l errore! assoluto ε(z) ε m (z) = $ δf % & δ x ' ( ) ( x 0,y 0 ) ( ) + δf x x 0 $ % & δ y ' ( ) ( x 0,y 0 ) ( y y 0 ) = $ = δf % & δ x ' ( ) ( x 0,y 0 ) ε(x) + $ % & δf ' δ y ( ) ( x 0,y 0 ) ε(y) per l errore! relativo ε(z) z 1 z $ $ δf % & % & δ x ' ( ) ( x 0,y 0 ) ε(x) + $ δf ' % & δ y ( ) ( x 0,y 0 ) ' ε(y) ( ) Ing. uniud - lab Fica 8

9 Se z=f(x,y) rulta del tipo z=f(x,y)=cx a y b dove C è una costante, per l errore relativo si ha: ε(z) z 0 a ε(x) x 0 + b ε(y) y inoltre non è conveniente fare una mura diretta in senso stretto. Ad esempio, nel caso della mura del periodo del pendolo non conviene cronometrare la singola oscillazione, bensì un certo numero N. Infatti da t = N T T = t N Ing. uniud - lab Fica ε(t ) = δt δt ε(t) = 1 N ε(t) così facendo l errore rulta diluito di un fattore N 9

10 Esperimento Ing. uniud - lab Fica 10

11 mura del periodo del pendolo 1. diretta;!! 2. indiretta, tramite le mure di massa pendolare e la costante elastica della molla!! 3. attraverso la curva oraria raccolta con data studio Ing. uniud - lab Fica 11

12 mura della costante elastica Un primo modo può essere il seguente in cui si confrontano gli allungamenti prodotti da due masse diverse sottraendo m. a m. k(l 1 l 0 ) = m 1 g k(l 2 l 0 ) = m 2 g k(l 2 l 1 ) = (m 2 m 1 )g k = (m 2 m 1 ) (l 2 l 1 ) g Ing. uniud - lab Fica 12

13 l 0 = 6,0 cm l 1 = 11,5 cm m 1 = 41, 3gr l 2 = 17, 4 cm m 2 = 85,8gr Ing. uniud - lab Fica 13

14 L esempio torna utile anche per parlare di mure dirette, indirette e propagazione dell errore mura errore rel (%) m (0,041±0,001) kg 3 m (0,086±0,001) kg 2 l (0,115±0,002) m 2 l (0,174±0,002) m 1 m (0,045±0,002) kg 5 l (0,059±0,004) m 7 k (7,5±0,9) N/m 12 Ing. uniud - lab Fica 14

15 Pesi ed allungamento di una molla Sospendendo pesi diversi ad una molla, si ricavano dati come quelli riportati in tabella F (N) l (m) l (m) l (regressione lin) 0,0 0,075 0,3 0,116 0,041 0,4 0,130 0,055 0,5 0,141 0,066 0,6 0,157 0,082 0,7 0,170 0,095 0,8 0,182 0,107 0,9 0,198 0,123 1,0 0,209 0,134 1,1 0,223 0,148 1,2 0,238 0,163 Ing. uniud - lab Fica 15

16 la dipendenza dell allungamento dalla forza applicata è lineare 0,18 elongazione molla 0,16 0,14 y = 0,1348x + 0,0003 0,12 l (cm) 0,10 0,08 0,06 0,04 0,02 0,00 0,000 0,150 0,300 0,450 0,600 0,750 0,900 1,050 1,200 Ing. uniud - lab Fica 16 m (g)

17 La costante elastica della molla corrponde al reciproco del coefficiente angolare della retta di regressione Δ l = 0,135 F k = 1 0,135 = ( 7,4 ± 0,5) N m T = 2π m k Ing. uniud - lab Fica 17

18 procedendo con due masse note, attraverso la relazione precedentemente trovata, si ricavano i due corrpondenti periodi m 1 = (41±1) g T 1 = 2π m 1 k = 2π 0,041 7,4 = ( 0, 47 ± 0,03 ) s m 2 = (86±1) g T 2 = 2π m 2 k = 2π 0,086 7,4 = ( 0,68 ± 0,04 ) s Ing. uniud - lab Fica 18

19 mura diretta del periodo Ing. uniud - lab Fica 19

20 procedendo, invece, sperimentalmente, dopo avere individuato un campione di 100 mure per ogni massa, si ottiene m 1 = (41±1) g {0.426, 0.571, 0.529, 0.448, 0.489, 0.459, 0.530, 0.466, 0.502, 0.493, 0.470, 0.396, 0.479, 0.464, 0.406, 0.532, 0.508, 0.457, 0.477, 0.515, 0.441, 0.461, 0.431, 0.442, 0.444, 0.447, 0.415, 0.448, 0.449, 0.422, 0.451, 0.423, 0.436, 0.469, 0.463, 0.521, 0.372, 0.506, 0.498, 0.506, 0.463, 0.467, 0.504, 0.440, 0.495, 0.473, 0.439, 0.458, 0.461, 0.433, 0.450, 0.467, 0.523, 0.492, 0.455, 0.443, 0.449, 0.423, 0.441, 0.483, 0.513, 0.443, 0.491, 0.401, 0.478, 0.552, 0.509, 0.498, 0.446, 0.520, 0.453, 0.500, 0.488, 0.482, 0.542, 0.500, 0.484, 0.514, 0.508, 0.487, 0.426, 0.503, 0.422, 0.439, 0.407, 0.519, 0.493, 0.433, 0.497, 0.425, 0.525, 0.469, 0.508, 0.485, 0.507, 0.454, 0.465, 0.442, 0.479, 0.511} Ing. uniud - lab Fica 20

21 da cui si deduce che T 1 = ( 0,47 ± 0,04) s Ing. uniud - lab Fica 21

22 mentre per la seconda massa m 2 = (86±1) g {0.680, 0.643, 0.688, 0.636, 0.585, 0.688, 0.659, 0.652, 0.589, 0.769, 0.654, 0.727, 0.628, 0.676, 0.600, 0.585, 0.698, 0.707, 0.751, 0.684, 0.655, 0.755, 0.721, 0.704, 0.605, 0.706, 0.695, 0.762, 0.723, 0.689, 0.701, 0.745, 0.752, 0.680, 0.614, 0.720, 0.668, 0.605, 0.670, 0.642, 0.728, 0.670, 0.698, 0.651, 0.673, 0.642, 0.747, 0.634, 0.740, 0.581, 0.713, 0.670, 0.644, 0.637, 0.630, 0.587, 0.682, 0.622, 0.752, 0.642, 0.667, 0.643, 0.700, 0.649, 0.783, 0.666, 0.726, 0.716, 0.650, 0.700, 0.703, 0.705, 0.652, 0.695, 0.690, 0.660, 0.714, 0.692, 0.767, 0.735, 0.620, 0.706, 0.761, 0.667, 0.640, 0.677, 0.651, 0.624, 0.637, 0.759, 0.774, 0.606, 0.663, 0.640, 0.693, 0.700, 0.603, 0.680, 0.692, 0.630} Ing. uniud - lab Fica 22

23 si ottiene T 2 = ( 0,68 ± 0,05) s Ing. uniud - lab Fica 23

24 procedimento on-line Ing. uniud - lab Fica 24

25 interfaccia Pasco Specifications Range: 0.15 to 8m Resolution: 1.0 mm Maximum sample rate: 50 Hz Transducer Rotation Range: 360 Ing. uniud - lab Fica 25

26 collegamento tipico dell interfaccia tra esperimento ed elaboratore dei dati Ing. uniud - lab Fica 26

27 data Studio software completo per l elaborazione dei dati Ing. uniud - lab Fica prelevabile in versione lite, pienamente funzionante, direttamente da! 27

28 truzioni preliminari per collegare data studio all interfaccia aprire Data Studio Ing. uniud - lab Fica 28

29 frequenza di campionamento di default Ing. uniud - lab Fica 29

30 si osserva dal grafico che la frequenza di default non rulta idonea per questo esperimento Ing. uniud - lab Fica 30

31 aumentando, in questo caso, la frequenza di campionamento... Ing. uniud - lab Fica 31

32 l andamento migliora sensibilmente e si può procedere alla mura del periodo del pendolo come pure della sua ampiezza di oscillazione Ing. uniud - lab Fica 32

33 3T = ( ) s 2A =... Ing. uniud - lab Fica 33

34 altre opzioni per il campionamento dal menù Esperimento selezionare la voce e procedere alle scelte del caso... Ing. uniud - lab Fica 34

35 lettura ed elaborazione dei dati Ing. uniud - lab Fica 35

36 Ulteriori approfondimenti sulle forze elastiche e sul stema massa-molla Ing. uniud - lab Fica 36

37 collegamento tipico per l esperimento sull allungamento della molla Ing. uniud - lab Fica 37

38 Forze elastiche F (u.a.) Scala (m) l (m) l (m) l(regres) 0,0 0,147 0,000 0,000 0,000 1,0 0,161 0,014 0,014 0,015 2,0 0,176 0,029 0,015 0,029 3,0 0,191 0,044 0,015 0,044 4,0 0,206 0,059 0,015 0,058 0,225 0,200 0,175 0,150 allungamento di una molla 5,0 0,220 0,073 0,014 0,072 6,0 0,234 0,087 0,014 0,087 7,0 0,248 0,101 0,014 0,101 8,0 0,263 0,116 0,015 0,116 9,0 0,277 0,130 0,014 0,130 10,0 0,291 0,144 0,014 0,144 11,0 0,306 0,159 0,015 0,159 12,0 0,320 0,173 0,014 0,173 13,0 0,334 0,187 0,014 0,188 14,0 0,349 0,202 0,015 0,202 Ing. uniud - lab Fica l (m) 38 0,125 0,100 0,075 0,050 0,025 0,000 0,00 3,50 7,00 10,50 14,00 F (u.a.)

39 equazione oraria di un ulteriore massa oscillante Ing. uniud - lab Fica 39

40 Ing. uniud - lab Fica 40

41 alla lunga le oscillazioni rultano sempre più o meno smorzate, ma pur sempre smorzate Ing. uniud - lab Fica 41

42 ora la massa incontra più attrito Ing. uniud - lab Fica 42

43 ... e qui ancora di più. Ciò dipende dalla forma del corpo che oscilla, dalla densità del mezzo e dalla più o meno elasticità della molla Ing. uniud - lab Fica 43

44 via la spezzata, non ha alcun significato fico Ing. uniud - lab Fica

45 manca un accordo fra mura ed errore assoluto Ing. uniud - lab Fica

46 ??? Ing. uniud - lab Fica

47 mancano i requiti per un confronto Ing. uniud - lab Fica

48 Bibliografia 1. Caporaloni, Ambrosini - La mura e la valutazione della sua incertezza nella fica sperimentale - Zanichelli! 2. John R. Taylor - Introduzione all anali degli errori - Zanichelli ING UNIUD - LabFica 48