Infiniti e infinitesimi col simbolo di Laudau

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1 E Infiniti e infinitesimi col simbolo di Laudau Nel capitolo dedicato ai iti abbiamo osservato che, quando esiste, il ite del rapporto di due successioni entrambe divergenti o entrambe infinitesime può essere sia 0 che ± che un numero finito diverso da zero. La stessa cosa succede ovviamente per le funzioni. Ad esempio = x converge a zero per x 0 al pari di x α con α > 0. Tuttavia se si considera il rapporto M(x) = x x α (che, per x 0, dà luogo ad una forma indeterminata di tipo 0/0) si vede subito che il ite esiste sempre ma con valore che dipende dalla scelta di α; in particolare 0, se 0 < α < 1 M(x) 1, se α = 1 + se α > 1 Un osservazione simile si può fare studiando il comportamento di M quando x +. Ciò induce a caratterizzare in qualche modo la diversità di velocità indotta dalla scelta dell esponente α sul comportamento ite del rapporto. D altra parte esistono funzioni infinitesime nell origine diverse dalla potenza x α e, più in generale, funzioni infinitesime (o infinite) per x x 0 dove x 0 può anche essere infinito. Allo scopo dunque di introdurre un criterio di confronto fra funzioni che hanno qualitativamente lo stesso ite (nullo o infinito) si pone la seguente Siano f e g due funzioni infinitesime per x x 0 (finito o infinito) e sia g(x) 0 in un intorno di x 0 (eventualmente privato del punto x 0 stesso). Si dice che f è infinitesima di ordine superiore a g per x x 0 se

2 Fabio Rosso: Lezioni di Matematica..., Capitolo E p. 464 x x 0 g(x) = 0; in tal caso si scrive = o(g(x); x 0 ) e si legge f è o piccolo di g per x x 0. In particolare la notazione = o(1; x 0 ) sta ad indicare che f è infinitesima per x x 0. La notazione = o(g(x); x 0 ) è dovuta al matematico russo Landau 1. L indicazione del punto x 0 nella notazione di Landau viene in genere omessa quando è chiaro dal contesto il punto in cui si esegue il ite. Naturalmente la definizione ha senso anche quando è possibile eseguire solo un ite destro oppure sinistro. Esempio E.1. Sappiamo che sin x è infinitesima nell origine e quindi si può scrivere sin x = o(1; 0). (E.1) Il ite notevole x 0 sinx/x = 1 consente di dire che sinx = x + o(x; 0). (E.2) dato che sin x x sin x/x = 1 = 0 x 0 x 0 x Si noti anche che se si fa un cambio di variabile che porta l origine in x 0 si ha sin(x x 0 ) = (x x 0 ) + o((x x 0 ); x 0 ). (E.3) Esempio E.2. La funzione cosx 1 è infinitesima nell origine e quindi cosx = 1 + o(1; 0) (E.4) Anche in questo caso se si fa un cambio di variabile che porta l origine in x 0 si ha cos(x x 0 ) = 1 + o((x x 0 ); x 0 ) (E.5) Il ite notevole (4.6) consente di migliorare la (E.4). Infatti si ha 1 Lev Davidovich Landau ( ).

3 p. 465 Fabio Rosso: Lezioni di Matematica..., Capitolo E cosx = x2 + o(x 2 ; 0); (E.6) dato che cosx x1 x 0 x 2 = cosx (1/2)x 2 x 0 x 2 = 0. Anche la (E.6) può essere riscritta in un punto x 0 diverso dall origine: cos(x x 0 ) = (x x 0) 2 + o((x x 0 ) 2 ; x 0 ). (E.7) Di grande importanza applicativa risulta il seguente Principio di sostituzione degli infinitesimi. Siano f 1 = o(g 1 ) e f 2 = o(g 2 ); allora le due funzioni g 1 + f 1 g 2 + f 2, hanno lo stesso comportamento per x x 0 nel senso che hanno lo stesso ite oppure nessuna delle due ammette ite. Esempio E.3. Consideriamo il rapporto e 1 cosx + x x + sin x ; per il principio di sostituzione degli infinitesimi, tale rapporto ha lo stesso comportamento del rapporto x/x per x 0, ovvero tende a 1. Infatti g 1 g 2 1 cosx + x x + o(x; 0) = x 0 x + sinx x 0 x + o(x; 0) = x x 0 x. Occorre essere molto cauti nell uso del principio di sostituzione degli infinitesimi: un errore molto comune è quello di estendere l uso del principio al di là di quanto consentito dall enunciato. Ad esempio non è lecito sopprimere l infinitesimo di ordine superiore solo al numeratore o solo al denominatore: due rapporti del tipo f 1 + f 2 + g 1 + g 2, e g g 1 + g 2 g

4 Fabio Rosso: Lezioni di Matematica..., Capitolo E p. 466 con f 1 = o(g 1 ) e f 2 = o(g 2 ) potrebbero non avere lo stesso comportamento: se f 1 (x) = f 2 (x) = x 2, g 1 (x) = g 2 (x) = x e g(x) = x 2, abbiamo senz altro f 1 = o(g 1 ; 0) e f 2 = o(g 2 ; 0) ma troviamo f 1 + f 2 + g 1 + g 2 g = x2 + x + x 2 + ( x) x 2, e g 1 + g 2 g = x + ( x) x 2 : per x 0 il primo rapporto tende a 2 mentre il secondo è costantemente nullo. È importante comprendere bene il significato del simbolo di Landau. Dire che f = o(g; x 0 ) e h = o(g; x 0 ) non significa che le funzioni f e h sono uguali, bensì che sono entrambe infinitesime di ordine superiore a g per x x 0 : x 2 e x 2 x 3 sono entrambe o(x; 0) ma non sono per nulla uguali. Il simbolo di Landau ha una serie di interessanti proprietà: le abbiamo elencate nella tabella E.1 lasciandone tuttavia la prova al lettore 2. Tabella E.1. Proprietà del simbolo di Landau: si suppone che f e g siano infinitesime per x x 0 (1) per ogni c IR e h = o(f) c h = o(f) (2) h 1 = o(f) e h 2 = o(f) h 1 + h 2 = o(f) (3) h = o(g) e g = o(f) h = o(f) (4) h = o(f + g) e g = o(f) h = o(f) (5) h 1 = fh 2 e h 2 = o(g) h 1 = o(f g) (6) h 1 = h 2 h 3, h 2 = o(f) e h 3 = o(g) h 1 = o(f g) Il simbolo di Landau si presta, entro certi iti, a manipolazioni algebriche come se fosse un numero o una funzione. Anche in questo caso tuttavia occorre essere molto cauti per evitare di commettere grossolani errori. Queste proprietà algebriche (mostrate nella tabella E.2) non sono altro che una rilettura della tabella E.1. Anche in questo caso non daremo nessuna dimostrazione esplicita anche perché tali operazioni sono in realtà solo un abuso di notazione, essendo la scrittura esatta e il significato matematico quelli mostrati nella tabella E.1 2 Si tratta di dimostrazioni banalissime tutte basate sulla definizione e sulle proprietà già acquisite dei iti.

5 p. 467 Fabio Rosso: Lezioni di Matematica..., Capitolo E Tabella E.2. Operazioni algebriche consentite sul simbolo di Landau in base alle proprietà della tabella E.1: si suppone che f e g siano infinitesime per x x 0 (1) c o(f) = o(f) (2) o(f) + o(f) = o(f) (3) o(o(f)) = o(f) (4) o(f + o(f)) = o(f) (5) f o(g) = o(f g) (6) o(f) o(g) = o(f g) I ragionamenti fatti per funzioni f e g infinitesime possono essere immediatamente estesi al caso di funzioni divergenti per x x 0. Siano f e g due funzioni infinite per x x 0 (finito o infinito) e sia g(x) 0 in un intorno di x 0 (eventualmente privato del punto x 0 stesso). Si dice che f è infinita di ordine inferiore a g per x x 0 se x x 0 g(x) = 0; in tal caso si scrive = o(g(x); x 0 ) e si legge f è o piccolo di g. Come si vede la notazione non cambia. Infatti in entrambi i casi, infinitesima o infinita, ciò che si vuol esprimere è, usando una terminologia grossolana ma espressiva, che la funzione al numeratore tende a zero più rapidamente (nel caso di funzioni infinitesime) oppure più lentamente (nel caso di funzioni divergenti) di quella al denominatore, determinando così il tendere a zero del loro rapporto. Questa interpretazione suggerisce allora la seguente altra definizione. Siano f e g due funzioni infinitesime (o divergenti a ± ) per x x 0 (finito o infinito) e sia g(x) 0 in un intorno di x 0 (eventualmente privato del punto x 0 stesso). Si dice che f è infinitesima dello stesso ordine rispetto a g per x x 0 se x x 0 g(x) = l 0; in tal caso si scrive g(x) e si dice che f e g sono fra loro asintotiche. Il principio di sostituzione vale ovviamente anche per funzioni divergenti: in questo caso la sostituzione

6 Fabio Rosso: Lezioni di Matematica..., Capitolo E p. 468 g 1 + f 1 g 2 + f 2, significa che il comportamento ite del rapporto a sinistra equivale a quello del rapporto a destra dato che il contributo di f 1 ed f 2 (che in questo caso sono infiniti di ordine inferiore a g 1 e g 2 rispettivamente) è trascurabile rispetto a quello di g 1 e g 2. e g 1 g 2 Esempio E.4. Il rapporto x + x 3 x + x ha lo stesso comportamento del rapporto x 3 x = x2 nel caso x ± mentre si comporta come x x = x nel caso x 0. Infatti se x tende a ± x è più lento di x 3 e similmente x rispetto a x e il loro contributo è trascurabile. Se invece x tende a 0, x3 è più veloce di x e similmente x rispetto a x e questa volta è il contributo dei termini più veloci ad essere trascurabile. Nel caso che le funzioni f e g siano delle potenze l uso del principio di sostituzione è banale. La questione è più complessa quando f e g, pur essendo entrambe infinitesime o infinite per x x 0, non sono potenze. Nel seguito mostreremo uno strumento molto potente (lo sviluppo polinomiale di Taylor) che consente, in molti casi, un uso agevole del principio di sostituzione e quindi la determinazione del comportamento del rapporto f/g. Per ora ci accontenteremo di proporre un ulteriore definizione e un paio di esempi. Abbiamo capito che ciò che giuoca un ruolo nel rapporto di funzioni entrambe infinite o infinitesime al tendere di x ad un determinato punto è la velocità relativa. Ci chiediamo allora se esiste la possibilità di quantificare in qualche modo la velocità associata a ciascuna funzione. Per fare ciò occorre una funzione semplice che faccia da riferimento. Poiché in questo ragionamento il segno della funzione è irrilevante, la funzione infinitesima più semplice per x x 0 (con x 0 finito) è senza dubbio x x 0. A questa funzione daremo

7 p. 469 Fabio Rosso: Lezioni di Matematica..., Capitolo E il nome di infinitesimo campione. In modo del tutto analogo x x 0 1 definisce invece l infinito campione per x x 0. Se invece x 0 è infinito, definiremo infinitesimo campione la funzione 1/ x e infinito campione la funzione x. Una funzione f si dice infinitesima (infinita) di ordine α rispetto all infinitesimo campione x x 0 (all infinito campione 1/ x x 0 ) per x x 0 se esiste una coppia di numeri reali αl entrambi non nulli tali che x x 0 x x 0 α = l ( ) x x 0 α (x) = l x x 0 In tal caso la funzione l x x 0 α (l x x 0 α ) si dice parte principale di f Dalla definizione si deduce subito che se esiste la parte principale di f vale la formula = l x x 0 α +o( x x 0 α ( ; x 0 ) = l x x0 α + o( x x 0 α ; x 0 ) ) Per un polinomio di grado n l ordine di infinito è chiaramente n stesso e la parte principale è ovviamente il monomio di grado più elevato. È quindi facile trarre le seguenti conclusioni: Se f 1 e f 2 sono due funzioni infinite con parte principale l 1 x x 0 α1 e l 2 x x 0 α2, allora i) f 1 f 2 ha ordine α 1 + α 2 e parte principale l 1 l 2 g α1+α2 ; ii) Se α 1 α 2, f 1 +f 2 ha ordine l x x 0 α, dove l è il coefficiente della parte principale con la potenza maggiore. Se invece α 1 = α 2 si può dire a priori solo che l ordine di f 1 + f 2 è minore o uguale all ordine comune delle due funzioni. Per le funzioni infinitesime vale un risultato analogo con la sola differenza che nel caso ii) il max va sostituito col min e se α 1 = α 2 si può dire a priori solo che l ordine di f 1 + f 2 è maggiore o uguale all ordine comune delle due funzioni.

8 Fabio Rosso: Lezioni di Matematica..., Capitolo E p. 470 Esempio E.5. La funzione = 2 sin 2 x. è chiaramente infinita per x 0. Proviamo a calcolare l ordine e la parte principale rispetto all infinito campione 1/x. Dato che ( 2 ) x 0 sin 2 x xα = 2 se e solo se α = 2; possiamo concludere che 2 sin 2 x = 2 1 ( ) 1 x 2 + o x 2 Esempio E.6. La funzione = exp( 1 cosx) 1; è chiaramente infinitesima per x 0. Ricordando che sussiste il ite notevole (2.16), abbiamo x 0 + x α = exp( 1 cosx) 1 1 cos x x cosx x α Osserviamo ora che = x cosx x α. 1 cosx (1 cosx)(1 + cosx) x 0 x 2 = x 0 x 2 (1 + cosx) sin 2 x 1 = x 0 x cosx = 1 2 (E.8) Dai teoremi sui iti ed, in particolare, il ite notevole (2.17), segue allora che 1 cosx 1 cosx x x 0 x α = x 0 x 2 x α = 1 x 1 α 2 x 0 Pertanto, se α = 1 troviamo un ite finito e diverso da zero. Si può concludere che, per x 0,

9 p. 471 Fabio Rosso: Lezioni di Matematica..., Capitolo E = 1 2 x + o(x) rispetto all infinitesimo campione x. Dalla (E.8) segue, in particolare la seguente notevole relazione cosx = x2 + o(x 2 ; 0). (E.9) o, più in generale, cos(x x 0 ) = (x x 0) 2 + o [ (x x 0 ) 2 ; x 0 ]. (E.10) Nella definizione E è ben evidenziata la richiesta di esistenza dell esponente α. Tale esponente può infatti non esistere: in questo caso la funzione non ha un ordine determinato. L esempio che segue mostra uno di questi casi. Esempio E.7. Consideriamo = sin x x ; questa funzione è infinitesima se x +. Come infinitesimo campione scegliamo 1/x e osserviamo che, per α IR +, x + (1/x α ) = (sin x + x)xα 1. Se 0 < α < 1 il ite è 0 e quindi f è infinitesima di ordine superiore ad ogni α (0, 1); se invece α 1 il ite (com è immediato verificare) (vedere anche la figura E.1) non esiste e quindi f non è, in questo caso, di alcun ordine. La formula di Taylor risulta il miglior strumento disponibile per determinare la parte principale di una funzione infinitesima e per applicare quindi il Principio di sostituzione degli infinitesimi (infiniti) al calcolo di iti particolarmente complicati; vediamo qui di seguito un paio di esempi sull uso di questa tecnica. Esempio E.8. Supponiamo di voler determinare il seguente ite: x2 + 1 cosx x 0 x 4.

10 Fabio Rosso: Lezioni di Matematica..., Capitolo E p γ = γ = Figura E.1. Andamento della funzione = x γ sin x per x + e γ 0: il grafico della funzione oscilla fra le curve iti x γ e x γ. Sia la funzione a numeratore che quella a denominatore sono infinitesime per x 0. Osserviamo allora che, calcolando lo sviluppo di Maclaurin di x 2 + 1, si ha x2 + 1 = 1 + x2 2 + o(x3 ), e ricordando che cosx = 1 x2 2 + o(x3 ) si deduce, in base al principio di sostituzione, che il ite proposto equivale al ite, il quale vale +. 4x2 x

11 p. 473 Fabio Rosso: Lezioni di Matematica..., Capitolo E Esempio E.9. Supponiamo di voler calcolare il ite x π/3 1 2 cosx sin(x π/3) ; trattandosi di un rapporto di funzioni infinitesime si potrebbe senz altro utilizzare la regola di de L Höpital ma si può, in alternativa, procedere col principio di sostituzione. Sviluppiamo sia il numeratore che il denominatore in serie di Taylor nell intorno di x = π/3: si vede con facili calcoli che e che sin(x π/3) = (x π/3) + o[(x π/3) 2 ] 1 2 cosx = 3(x π/3) (x π/3)2 + o[(x π/3) 2 ]. Pertanto, per il principio di sostituzione degli infinitesimi, 1 2 cosx 3(x π/3) + (1/2)(x π/3) 2 x π/3 sin(x π/3) = = 3. x π/3 x π/3