1 - CONFRONTO LOCALE: I SIMBOLI DI LANDAU

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1 - CONFRONTO LOCALE: I SIMBOLI DI LANDAU Nello studio del comportamento di una funzione vicino ad un punto x 0, dopo aver visto se la funzione ammette ite (finito, nullo o infinito), per x x 0, può interessare come la funzione tende a tale valore. Inoltre, se si studiano due funzioni f e g, entrambe definite in un intorno di x 0 escluso al più il punto x 0 stesso, ha interesse studiare se c è relazione tra i loro iti (ammesso che esistano), per x x 0. Le definizioni che seguono precisano proprio questa indagine. Le funzioni f, g, h... che consideriamo sono tutte definite e non nulle in un intorno I del punto x 0, escluso al più il punto x 0 stesso. DEFINIZIONE Si dice che è equivalente a g(x) per x x 0, e si scrive f g (x x 0 ) se : x x 0 g(x) = a) 3x + 5x 5x, per x 0 b) 3x + 5x 3x, per x ± c) sin x tan x x log ( + x), per x 0 d) 3x + x x, per x 0 e) x 3 + sin x x 3, per x ± f) log x (x ), per x DEFINIZIONE Si dice che è equigrande a g(x) (o anche è dello stesso ordine di grandezza di g(x)) per x x 0, e si scrive f g (x x 0 ) se : x x 0 g(x) = l 0 l R a) cos x x per x 0 b) sin x x per x 0 c) 3x 3 5x + x 5x 3 + 7x x 3 per x ± d) x + x x per x ± e) log x x per x Si osservi che se f e g sono entrambe infinitesime oppure infinite (cioè tendono a zero oppure a infinito) per x x 0, non è detto che siano equivalenti, né dello stesso ordine di grandezza. Si considerino, ad esempio, le due funzioni = x, g(x) = x per x 0 oppure per x + Le relazioni e forniscono quindi risultati nuovi se applicate alle funzioni infinitesime o infinite.

2 ALCUNE PROPRIETA DELLE RELAZIONI, (x x 0 ) a) f f (pr. riflessiva) a ) f f b) f g g f (pr. simmetrica) b ) f g g f c) f g g h f h (pr. transitiva) c ) f g g h f h d) f l 0 g l 0 f g d ) f l 0 g m 0 f g e) f l g f g l e ) f 0 (o f + ) g f g 0 (o g + ) f) f g f g f f g g f ) f g f g f f g g g) f g f g f f g g g ) f g f g f f g g OSSERVAZIONI h) f g f g a) L implicazione h) non è invertibile. Ad esempio, se = sin(3x) e g(x) = x, si ha g(x) ma non g(x), per x 0. b) Non vale la proprietà additiva, né per la relazione né per, cioè se f g f g non è detto che f + f g + g. La stessa cautela vale per la relazione. Ad esempio si considerino le funzioni f (x) = x, g (x) = x, f (x) = x x, g (x) = x 3 x, per x 0. DEFINIZIONE 3 Si dice che è o-piccolo di g(x) per x x 0, e si scrive = o(g(x)) x x 0 g(x) = 0 (Si dice anche che f è trascurabile rispetto a g per x x 0.) x x 0, se OSSERVAZIONE: f = o() x x 0 = 0, cioè f = o() f è INFINITESIMA per x x 0. a) x = o(x) per x 0. In generale b) x = o(x ) per x ± In generale c) cos x = o(x) per x 0 d) sin x = o (x) per x x n = o(x m ), per x 0 n > m x n = o(x m ), per x ± n < m ALCUNE PROPRIETA DELLA RELAZIONE o-piccolo (x x 0 ) Ad esempio: a) f = o(g) g = o(h) f = o(h) (pr. transitiva) b) f = o(g ) f = o(g ) f f = o(g g ) c) f g f = o(g ) f f = o(g g ) d) f g f g = o(g) per x 0 cos x = o(x), x = o( x) ; quindi cos x = o( x); per x 0 x 3 + x 4 = o(x ), sin(x ) = o(x) ; quindi (x 3 + x 4 ) sin(x ) = o(x 3 ); per x 0 cos x = o(x) e quindi x( cos x) = o(x ); per x 0 sin x x e, equivalentemente, sin x = x + o(x)

3 L introduzione dei concetti di funzione trascurabile e di funzione equivalente a un altra consente di semplificare il calcolo dei iti. Valgono infatti le due proprietà seguenti: PRINCIPIO DI ELIMINAZIONE DEI TERMINI TRASCURABILI. Supponiamo che f (x) = o(), g (x) = o(g(x)) per x x 0. Allora + f (x) x x 0 g(x) + g (x) = x x 0 g(x) L applicazione del principio di einazione dei termini trascurabili, nel calcolo di un ite, consiste appunto nel trascurare in una somma, sia a numeratore che a denominatore, i termini trascurabili (ad esempio gli infinitesimi di ordine superiore, se f, g, f, g sono infinitesimi per x x 0, ovvero gli infiniti di ordine inferiore, se f, g, f, g sono infiniti per x x 0 ). Così, ad esempio, si ha: x + x x x 3 = x x = ; 7 x + 5x 3 x 5 x 3 x 3 x 3 = x + x x x = +. PRINCIPIO DI SOSTITUZIONE CON FUNZIONI EQUIVALENTI Supponiamo che f (x), g (x) g(x) per x x 0. Allora; g(x) = f (x)g (x) x x 0 x x 0 Inoltre, supponendo come al solito che g, g non siano identicamente nulle in un intorno di x 0 : x x 0 g(x) = f (x) x x 0 g (x) Cioè: nel calcolo del ite del prodotto (o quoziente) di funzioni si possono sostituire le funzioni con altre ad esse equivalenti. Ad esempio: sin x cos x = x x = tan 4x log( + 6x) ( e x ) sin 3x = 4x 6x x 3x = 4 ATTENZIONE: non si può usare nelle somme il principio di sostituzione con funzioni equivalenti. Ad esempio: ( tan x sin x tan x x 3 = x 3 Si ha invece: sin x ) ( x x 3 x 3 x ) x 3 = 0 tan x sin x tan x( cos x) x x x 3 = x 3 = x 3 =

4 - CONFRONTO DI INFINITESIMI E DI INFINITI Consideriamo due funzioni e g(x) infinitesime oppure due funzioni e g(x) infinite (per x x 0 ) ; ha interesse stabilire un confronto fra di esse per conoscere se una delle due funzioni tende a zero (o a infinito) più rapidamente dell altra o entrambe tendono a zero (o a infinito) nello stesso modo. Si parla di ordine di infinitesimo (oppure di ordine di infinito) delle due funzioni, per x x 0, e lo si denota con ord(f) e ord(g), nel caso degli infinitesimi, oppure con Ord(f), Ord(g) nel caso degli infiniti. Più precisamente, se e g(x) sono due funzioni entrambe infinitesime (per x x 0 ) e se g(x) 0 in un intorno I(x 0 ), diamo le seguenti : DEFINIZIONI ) f è un INFINITESIMO DI ORDINE SUPERIORE a g (e scriviamo ord(f) >ord(g)) se f = o(g), cioè se x x 0 g(x) = 0. ) f e g sono INFINITESIMI DELLO STESSO ORDINE (e scriviamo ord(f) =ord(g)) se f g, cioè se x x 0 g(x) = l 0 3) f è un INFINITESIMO DI ORDINE INFERIORE a g (e scriviamo ord(f) <ord(g)) se g = o(f), g(x) cioè se x x 0 = 0 4) Se non si verifica nessuna delle precedenti relazioni, diciamo che f e g sono INFINITESIMI NON CONFRONTABILI tra loro, per x x 0. a) Siano = x 3 x e g(x) = x 7 x. Si vede subito che ord(f) > ord (g) (per x 0); infatti: x 3 x x 7 x = x(x x) x(x 6 ) = 0 b) Le due funzioni = cos x e g(x) = x sono infinitesime dello stesso ordine per x 0, poiché cos x x = log x c) ord (log x) = ord (x ), per x. Infatti: x x = log( + t) = t 0 t d) Le funzioni = x sin x e g(x) = x sono entrambe infinitesime per x 0, ma non sono confrontabili tra loro. Infatti non esiste g(x) = sin x In modo analogo, se e g(x) sono due funzioni entrambe infinite (per x x 0 ) diamo le seguenti: DEFINIZIONI ) f è INFINITO DI ORDINE INFERIORE a g (e scriviamo Ord(f) <Ord(g)) se f = o(g), cioè se x x 0 g(x) = 0 ) f e g sono INFINITI DELLO STESSO ORDINE (e scriviamo Ord(f) = Ord(g)) se f g, cioè se x x 0 g(x) = l 0 3) f è INFINITO DI ORDINE SUPERIORE a g (e scriviamo Ord(f) > Ord(g)) se g = o(f), cioè se g(x) x x 0 = 0 4) Se non si verifica nessuna delle precedenti relazioni, diciamo che f e g sono INFINITI NON CON- FRONTABILI tra loro, per x x 0.

5 a) Siano = x 5 x 7 e g(x) = x 4 x 3 + x. Si vede subito che Ord(f) > Ord (g) (per x ). In generale, se p n (x) e q m (x) sono due polinomi qualunque di grado, rispettivamente, n ed m, si ha: Ord (p n ) > Ord (q m ) n > m e Ord (p n ) = Ord (q m ) n = m b) Ord( x) < Ord( 3 x ) < Ord(x) < Ord( x 3 ) <... per x + ( ) c) Ord(tan x) = Ord x π, per x π. Infatti, operando la sostituzione x π = t, si ha: tan x tan(t + π x π = ) ( ) t t 0 = (t cot t) = cos t = t 0 t 0 sin t x π t d) Le funzioni = xe sin x e g(x) = x sono entrambe infinite per x +, ma non sono confrontabili tra loro. Infatti non esiste g(x) = esin x Comportamento di Esponenziali e Logaritmi Le funzioni esponenziali e logaritmo si comportano in modo particolare rispetto alle funzioni polinomiali. Fissiamo l attenzione sulle funzioni esponenziale e logaritmo con base a >. Si può provare che: - l esponenziale ha ordine di infinito superiore a qualunque potenza di x, per x + - l esponenziale ha ordine di infinitesimo superiore a qualunque potenza di x, per x - il logaritmo ha ordine di infinito inferiore a qualunque potenza di x, per x + - il logaritmo ha ordine di infinito inferiore a qualunque potenza di x, per x 0+ In simboli, a >, k > 0: a) Ord ( ) > Ord (x k ) per x +, ovvero ( ) b) ord ( ) > ord per x, ovvero x k x c) Ord (log ) < Ord (x k ) per x +, ovvero d) Ord (log ) < Ord ( x k ) x k = + per x 0 + log, ovvero + == x x k = 0 x k log x k = 0 E facile dedurre che, se consideriamo basi 0 < a <, abbiamo, k > 0: a) Ord ( ) > Ord ( x k ) per x, ovvero x b) ord ( ) > ord ( x k ) x k x k = + = + xk log = 0 per x +, ovvero = x k xk = 0 Per il logaritmo valgono le stesse relazioni c) e d), anche per basi a : 0 < a <. OSSERVAZIONI a) Esistono infiniti di ordine ancora maggiore di e x (ad esempio e ex ) oppure di ordine inferiore a log x, come log (log x). ( a b) Se a > b > si ha che Ord ( ) > Ord (b x ), se x + ; infatti a b > b x = b c) Le funzioni logaritmo invece hanno sempre lo stesso ordine di infinito, qualunque sia la base; infatti: log log b x = log log log a b = log a b ) x = +

6 3 - ORDINE E PARTE PRINCIPALE RISPETTO AD UN CAMPIONE Quando si renda utile non solo avere una misura relativa di infinitesimo o di infinito (confrontando cioè tra loro due funzioni f e g entrambe infinitesime o infinite in un punto x 0 ), ma anche poter misurare la velocità con cui una singola funzione f tende a zero - o a infinito - per x x 0, si introduce una unità di misura degli infinitesimi o degli infiniti, dette infinitesimo campione e infinito campione. Gli infinitesimi campione standard sono: per x x 0 u(x) = x x 0 per x u(x) = x Gli infiniti campione standard sono: per x x 0 U(x) = x x 0 per x U(x) = x Diamo adesso la seguente : Definizione. Si dice che f è un infinitesimo di ordine α > 0 rispetto all infinitesimo campione u(x), (per x x 0 ), se [u(x)] α per x x 0, ovvero se = l, l 0, l R. x x 0 [u(x))] α Sotto tale ipotesi risulta pertanto l(u α (x)) o anche = l(u α (x)) + o(u α (x)) La funzione p(x) = l(u α (x)) si dice parte principale di per x x 0, mentre il termine o(u α (x)) indica un infinitesimo di ordine superiore ad α rispetto all infinitesimo campione u(x). ) = x per x 0 + è un infinitesimo di ordine α = x (x α ) =, se α =. In questo caso coincide con la sua parte principale. + rispetto all infinitesimo campione x poiché ) Un polinomio di grado n, p n (x) = a n x n + a n x n +... a m x m, a m 0, m > 0 è infinitesimo di ordine m per x 0 (rispetto all infinitesimo campione u(x) = x ) e la funzione p(x) = a m x m è la sua parte principale. 3) = sin x per x 0 ha ordine di infinitesimo α = rispetto all infinitesimo campione x ; infatti sin x =. La funzione p(x) = x è la parte principale di per x 0. x 4) La funzione = x ha ordine di infinitesimo per x, rispetto all infinitesimo campione x x ; infatti: x + (x ) α = se α = ; anche in questo caso coincide con la sua parte principale. Invece, la funzione g(x) = x ha ordine di infinitesimo per x, rispetto all infinitesimo campione x x ; infatti: x (x ) α = ( x )( x + ) x (x ) α ( x + ) = x x x + x (x ) α = (x x ) α = se α =. Dunque la parte principale di g(x) è la funzione p(x) = (x ). 3x 5 5) = 8x 3 x + 7 infatti: x 3x 5 8x 3 x +7 x α = 3 8 per x è infinitesima di ordine, rispetto all infinitesimo campione u(x) = x ; 3 se α =. La funzione p(x) = è la parte principale di. 8x

7 In modo analogo, riguardo agli infiniti: Definizione. Si dice che f è un infinito di ordine α > 0 rispetto all infinito campione U(x) (per x x 0 ), se [U(x)] α per x x 0, cioè se = l, l 0, l R. x x 0 [U(x)] α Sotto tale ipotesi risulta pertanto l(u α (x)) o anche = l (U α (x)) + o (U α (x)) La funzione P (x) = l (U α (x)) si dice parte principale di per x x 0, mentre il termine o(u α (x)) indica un infinito di ordine inferiore ad α rispetto all infinito campione U(x). ) = x per x + è un infinito di ordine α = rispetto all infinito campione U(x) = x poiché x (x α ) =, se α =. In questo caso coincide con la sua parte principale. ) Un polinomio p n (x) = a n x n + a n x n +... a x + a 0, a n 0, n > 0, è un infinito di ordine n per x (rispetto all infinito campione U(x) = x ) e la funzione P (x) = a n x n è la sua parte principale. 3) = 3x + arctan(3x) per x + è un infinito di ordine rispetto all infinito campione x poiché: 3x ( + arctan(3x) 3x x = x + arctan(3x) ) x = 3 La funzione P (x) = 3x è la parte principale di per x +. 4) = 3x6 5x 8x 4 x 3 per x 0 è un infinito di ordine (rispetto all infinito campione U(x) = x ; infatti: 3x 6 5x 8x 4 x ( 3 α = 5 se α =. La sua parte principale è dunque P (x) = x) 5 x. 5) = tan x per x ( ) π è un infinito di ordine, rispetto all infinito campione U(x) = x π, come risulta dall esempio c) del. La sua parte principale è P (x) = U(x) = x π. OSSERVAZIONI a) Ripensando a quanto detto nel sul comportamento particolare delle funzioni esponenziale e logaritmo, possiamo affermare che, rispetto agli infinitesimi e agli infiniti campione standard: a R, a >, k > 0 ord( ) > k per x ; Ord( ) > k per x + a R, 0 < a <, k > 0 Ord( ) > k per x ; ord( ) > k per x + a R, a > 0, k > 0 Ord(log ) < k per x 0 + ; Ord(log ) < k per x +. b) Esistono funzioni inclassificabili ripetto ai campioni standard. Consideriamo ad esempio = x log x: x log x rispetto al campione U(x) = x l ordine di infinito di ( per x + ) è >, poiché = + ; x eppure l ordine di è minore di ogni numero > ; infatti x log x x +ɛ = log x x ɛ = 0, ɛ > 0.