2x 2. Soluzione: Il valore del limite l non puó che essere 1: infatti. Per determinare δ basta studiare la disuguaglianza. x 1. x 1 x 1.

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1 4.. Esercizio. Calcolare il ite { l = x x }, x e determinare δ tale che < δ implichi { x x } l < 0.5 ANALISI Soluzioni del Foglio 4 30 ottobre 009 Il valore del ite l non puó che essere : infatti { x x x x x = Per determinare δ basta studiare la disuguaglianza Essa corrisponde a (x x) ( ) < 0.5 () < 0.5 < 0.5 = δ 0.7 Il grafico di (x x) ( ) = () si vede in Figura 4.. Esercizio. Calcolare il ite x n x in corrispondenza ad n =, 3, 4. n = x n = 3 = ()(x + ) x = x + x = (x + ) = x x 3 = ()(x + x + ) n = 4 = x +x+ x x 3 = x (x +x+) = 3

2 Figura. (x x) ( ) < 0.5 x 4 = ()(x3 + x + x + ) 4.3. Esercizio. Assegnata la funzione f : E R R f(x) = calcolare i iti di f(x) per x da sinistra, per x da destra, per x +, per x. = x 3 +x +x+ x x 4 = 4 Il grafico della funzione f(x) = coincide con quello di x traslato a destra di, vedi Figura Guardando il grafico si riconosce che avvicinandosi ad da sinistra (valori x = 0.9, 0.95, 0.99,...) i valori della funzione sono... sempre piú negativi, ovvero x =

3 3 Figura. f(x) = avvicinandosi ad da destra (valori x =.,.05,.0,...) i valori della funzione sono... sempre piú positivi, ovvero x + = + prendendo valori x grandi in modulo (sia molto grandi positivi che molto grandi negativi) i valori della funzione sono... sempre piú piccoli x = = 0 La retta verticale x = tratteggiata in rosso in Figura prende il nome di asintoto verticale della funzione. L asse delle x, la retta orizzontale y = 0 prende il nome di asintoto orizzontale. Dimostriamo rigorosamente che x + = + Scelto M > 0, x >, la disuguaglianza > M < M x < + M

4 4 da cui δ = M Esercizio. Stabilire per quali valori del parametro a R le seguenti funzioni hanno ite in x = 0 { sin(ax) se x < 0 x + a se x < 0 f(x) = e x g(x) = se x 0 3e x se x 0 f(x) Perché esista f(x) é necessario e sufficiente che: x 0 esistano i due iti f(x) da sinistra e f(x) da destra, x 0 x 0 + tali due iti siano uguali. { f(x) = x 0 x 0 (x + a) = a a = f(x) = ex = x 0 + x 0 Il ite di f(x) esiste se e solo se a =, e vale. g(x) { g(x) = sin(a x) = 0 x 0 x 0 g(x) = 3 ex = 3 x 0 + x 0 Qualunque sia la scelta di a non esiste il ite di g(x) Esercizio. Verificare che non esistono i seguenti iti: sin (x), sin(x ), avendo indicato con [x] la funzione parte intera. sin (x) sin([x]) x 0 Per negare l esistenza di tale ite basta trovare due successioni {a n } e {b n } entrambe divergenti a + tali che n + sin (a n ) Tali due successioni sono, ad esempio, n + sin (b n ) a n = n π, b n = a n + π

5 Sulla prima riesce infatti sin (a n ) = 0 mentre sulla seconda riesce sin (b n ) =. sin(x ) Con lo stesso ragionamento di prima scegliendo le due successioni a n = n π, b n = n π + π Sulla prima riesce infatti sin(a n) = 0 mentre sulla seconda riesce sin(b n) = ±, con segni che variano secondo la paritá di n. sin([x]) x 0 Basta osservare che { x (, 0) [x] = x (0, ) [x] = 0 { sin([x]) = sin( ) x 0 sin([x]) = sin(0) + x 0 e quindi tenuto conto che sin(0) sin( ) si riconosce che il ite da sinistra é diverso dal ite da destra e, quindi, non esiste il ite in Esercizio. Calcolare i seguenti iti { x 6 x + } { x 6 x + }, (x + sin(x)) 5 x 6 x + = ( x 6 ())( x 6 + ()) x 6 + () = x 7 x 6 + () = 7 x 6 x + ( x ) Tenuto conto che al divergere di x numeratore e denominatore tendono a si riconosce che { x 6 x + } = (x + sin(x))

6 6 Tenuto conto che l addendo x diverge positivamente e che sin(x) si riconosce che (x + sin(x)) = + In altri termini, scelto M x > M + (x + sin(x)) M 4.7. Esercizio. Assegnata la funzione { se x = 0 f : R R f(x) = sin(x) x se x 0 verificare che é itata, ammette massimo M = é infinitesima sia per x + sia per x La nota disuguaglianza sin(x) x significa appunto sin(x) x donde la itatezza di f(x). Dire che la funzione ammette massimo vuol dire che l immagine f(r) lo ammette: tale massimo é M = infatti é un elemento di f(r), é, per definizione, il valore f(0) tutti gli altri valori, per via della disuguaglianza richiamata sopra sono minori o uguali ad. Il carattere infinitesimo per x ± dipende dalla ovvia disuguaglianza sin(x) x x 4.8. Esercizio. Assegnata la funzione verificare che f : R R f(x) = x + x é itata, ammette massimo e minimo, é infinitesima sia per x + sia per x

7 7 Figura 3. f(x) = x + x La nota disuguaglianza a b a + b applicata a a = x e b = implica x x x + + x da cui la itatezza [ f(r) 0, ] L immagine f(r), vedi Figura 3 ha minimo e massimo: tenuto conto che f(r) é formata da numeri non negativi e che f(0) = 0 si riconosce che tenuto conto che si riconosce che f(r) min f(r) = 0 [ 0, ], f() = max f(r) =

8 8 Il carattere infinitesimo dipende dalla ovvia disuguaglianza x + x = x + x Si osservi, vedi Figura 3, che la funzione f, come tutte le funzioni che dipendono solo da x é pari Esercizio. Assegnata la funzione f : R R x f(x) = e (x+) verificare che é itata, ammette massimo ma non minimo, é infinitesima sia per x + sia per x Tenuto presente che f(x) = e (x+) = e (x+) e che e (x+) e 0 = si riconosce che ovvero 0 f(x) f(r) [0, ] Visto che f(0) = ne deriva che M = é il massimo. Tenuto conto che x R : f(x) > 0 e che f(x) = 0 x ± si riconosce che inf f(r) = 0 e che non esiste il minimo Esercizio. Sia [ f : [0, ), 5 ] R, f(x) := x se x : [0, ) 6 x se x [, 5 ] dire se f è continua nel suo insieme di definizione, determinarne l insieme immagine, verificare che si tratta di una funzione invertibile e calcolarne esplicitamente l inversa, esaminare se tale inversa è continua.

9 9 Figura 4. La funzione dell Es. 0 La funzione assegnata é definita nei due intervalli [0, ) e [,.5] con polinomi diversi. Tenuto conto che i due intervalli [0, ) e [,.5] sono separati non esistono punti nei quali la f abbia definizioni diverse a sinistra e a destra. Quindi f é continua nel suo insieme di definizione. L immagine si riconosce guardando il grafico di Figura 4: si tratta di un intervallo f(i) = [0, ] Sempre dal grafico si riconosce che si tratta di una funzione invertibile e la sua inversa é definita nell intervallo [0, ]. y [0, ] l equazione f(x) = y nell incognita x ha una e una sola soluzione { y se y [0, ) x = f (y) = 3 y se y [, ] L inversa f non é continua nel punto y = : infatti y f (y) =, f () =.5, y + f (y) =.5

10 0 il ite da sinistra é diverso dal valore della f nel punto y =. Osservazione 4.. Osserviamo che in questo caso f é l inversa di una funzione continua definita sull unione di due intervalli e risulta non continua: questo non costituisce contraddizione in quanto il teorema sulla continuitá dell inversa si applica solo a funzioni continue definite su un intervallo.