Confronto asintotico.

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1 AMA Ing.Edile - Prof. Colombo 1 Esercitazioni: Francesco Di Plinio - francesco.diplinio@libero.it Le soluzioni (complete) delle esercitazioni 5 e 6 saranno disponibili online a partire da lunedì. Confronto asintotico. 6.1 Limiti notevoli. I seguenti iti sono da considerare iti notevoli. La maggior parte è stata dimostrata ad esercitazione a partire da (i), (ii), (iii). sin (i) 0 ( (iii) + (v) 0 log(1 + ) e 1 = 1; (ii) ) = e; (iv) ± = 1; ( 1 + ) a = e a ; log = 1; (vi) = 0, α > 0. 0 α 6.2 Infinitesimi ed infiniti. Siano f e g due funzioni definite in un intorno di 0 (tranne che al più in 0 stesso): f è un infinitesimo per 0 se f() 0 per 0 ; f è uninfinito per 0 se f() + o per 0. Se f e g sono entrambe infinitesimi per 0, e g è diversa da zero in un intorno di 0 (tranne che al più in 0 ), consideriamo il ite per 0 di f/g. Esistono quattro possibilità: f() 0 g() = a. 0, b. L R, L 0, c. d. non esiste. In corrispondenza dei quattro casi sopra descritti si ha: a. f è infinitesimo di ordine superiore a g (per 0 ); b. f e g sono infinitesimi dello stesso ordine; c. f è infinitesimo di ordine inferiore a g (per 0 ); d. f e g non sono confrontabili. Se f e g sono entrambe infiniti per 0, e g è diversa da zero in un intorno di 0 (tranne che al più in 0 ), consideriamo il ite per 0 di f/g. In questo caso, in corrispondenza dei quattro casi di cui sopra, abbiamo invece che

2 2 Esercitazione 3 a. f è infinito di ordine inferiore a g (per 0 ); b. f e g sono infiniti dello stesso ordine; c. f è infinito di ordine superiore a g (per 0 ); d. f e g non sono confrontabili. Risulta comodo, allo scopo del calcolo dei iti, confrontare un infinitesimo (o un infinito) per 0 con un infinitesimo o infinito campione, scelto dalla tabella seguente. 0 infinitesimo campione infinito campione a R a ( a) 1 a = ± 1. A questo punto, se f è un infinito o un infinitesimo per 0, si definisce ordine di f() rispetto al corrispondente infinitesimo (o infinito) campione c() il numero α > 0, se esiste, tale per cui 0 f() = L R, L 0, (c()) α ossia per cui f e c risultano infinitesimi (o infiniti) dello stesso ordine. La parte principale di f per 0 è allora definita come L(c()) α. Si scrive, alternativamente, che f 0 L(c()) α, e si legge f è asintotica a L(c()) α. 6.3 Esempio. Dai iti notevoli segue che: per 0, sin e log(1 + ) sono infinitesimi di prim ordine (rispetto all infinitesimo campione ), e la loro parte principale è ; per 0, 1 cos() è un infinitesimo del second ordine, e la sua parte principale è 2 /2; dato che log = 0, α > 0, α log è infinito di ordine inferiore rispetto ad α, per ogni α > 0. Nota. Se, per 0 f 1, f, g 1, g sono infinitesimi, f 1 di ordine superiore a f, e g 1 di ordine superiore a g, risulta f 1 () + f() 0 g 1 () + g() = f() 0 g() ; nel calcolo del ite si possono quindi omettere, a numeratore e denominatore, gli infinitesimi di ordine superiore.

3 AMA Ing.Edile - Prof. Colombo Esempio. Calcoliamo il seguente ite: 2 + (sin ) 5 + log(1 + 3 ) cos + (tanh ) 3 Dato che (sin ) 5 = /2 (ite notevole), (sin 2 ) 5 è infinitesimo di ordine 5/2; log(1 + 3 ) = (sempre ite notevole), log(1 + 3 ) è infinitesimo di ordine 3, quindi entrambi sono infinitesimi di ordine superiore a 2, e possono essere trascurati. Per il denominatore, ricordiamo che osserviamo poi che 1 cos = ; + (tanh )3 0 = 1 3 (ite fatto in classe), log(1 + 3 ) è infinitesimo di ordine 3, e quindi di ordine inferiore a 1 cos, che ha ordine 2. Pertanto 2 + (sin ) 5 + log(1 + 3 ) 2 = cos + (tanh ) cos = 2. Nota. Se, per 0 f 1, f, g 1, g sono infiniti, f 1 di ordine inferiore a f, e g 1 di ordine inferiore a g, risulta f 1 () + f() 0 g 1 () + g() = f() 0 g() ; nel calcolo del ite si possono quindi omettere, a numeratore e denominatore, gli infiniti di ordine inferiore. 6.5 Esempio. Calcoliamo il ite (log ) sin arctan 2

4 4 Esercitazione 3 A tale ite corrisponde la forma indeterminata /. Se osserviamo che (log ) 10 (log ) 10 = ( = + ) 10 log = 0, 1/10 (l ultimo passaggio è un ite notevole), scopriamo che (log ) 10 è infinito di ordine inferiore a 2, possiamo quindi trascurarlo; 5 sin non è infinito per +, e possiamo pertanto trascurarlo senza problemi. Per il denominatore, è chiaro che arctan 2 arctan 2 = = 0, per il teorema sul prodotto di una funzione itata (arctan 2 ) per una funzione che tende a 0 (1/6), e quindi arctan è trascurabile rispetto a 6 2. Riassumendo, (log ) sin 2 = arctan = Esercizio. Calcolare l ordine (rispetto a ) dei seguenti infinitesimi per 0 + e scriverne la parte principale: (i) 3 + sin, (ii) ( 2 + ), (iii) tan + sin (iv) (sin(3 3 )), (v) 1 3 (1 cos ) (vi) 2 (sin ) 1/3 sin Esercizio. Calcolare l ordine (rispetto a ) dei seguenti infiniti per + : ( (i) 2 + 3, (ii) , (iii) sin ) (iv) 2 + 1, (v) 2 arctan, (vi) Esercizio. Mettere in ordine di rapidità decrescente i seguenti infinitesimi per + log, log log log, e, 1/3.

5 AMA Ing.Edile - Prof. Colombo o-piccoli. Siano f, g due funzioni definite in un intorno di 0, con g diversa da zero in tale intorno (tranne al più in 0 ). Si dice che f è o-piccolo di g per 0, e si scrive f() = o(g()), se f() 0 g() = 0. In particolare, se g è un infinitesimo, ciò equivale a dire che f è un infinitesimo di ordine superiore. Se g è invece un infinito, ciò equivale a dire che f è un infinito di ordine inferiore (o che è itata in un intorno di 0 ). Solitamente, la funzione g è un infinitesimo o un infinito campione. Utilizzando tale notazione è possibile semplificare il calcolo dei iti: a tale scopo, si sfruttano le seguenti proprietà di semplice dimostrazione (chi fosse interessato a vederne una, mi contatti: altrimenti, provate per esercizio). Nel seguito, m, n sono numeri reali e C è una costante diversa da zero 1. Se f() = o( m ), allora Cf() = o( m ); 2. Se 0, f() = o( m ) e g() = o( n ), allora f() + g() = o( α ), α = min{m, n}; 3. Se, f() = o( m ) e g() = o( n ), allora f() + g() = o( α ), α = ma{m, n}; 4. Come caso particolare di 2. e 3. ricaviamo che o( n ) + o( n ) = o( n ). 5. Se f() = o( m ), allora (f()) n = o( mn ); 6. Se f() = o( m ), g() = o( n ), allora f()g() = o( mn ); 7. o( m + o( m )) = o( m ) Esempio. Dimostriamo con la definizione che, per 0, Dato che = o() = 0 ( ) = 1 0 ( ) = 1 2, si ottiene /2 = 0,

6 6 Esercitazione 3 cioè da cui il risultato = o(), 6.11 Esempio. Usando le regole, dimostriamo che cosh() = o(2 ). Ricordiamo preinarmente (fatto in classe) che sinh 0 = 1. Quindi, come nell esempio precedente, si ricava sinh = + o(). A questo punto, ricordiamo che cosh = 1 + (sinh ) 2 : utilizzando il risultato dell esempio precedente, Ma dalla regola 5 segue cosh = 1 + (sinh )2 2 + o((sinh ) 2 ). (sinh ) 2 = ( + o()) 2 = 2 + 2o() + o() 2 = 2 + o( 2 ), ove nell ultimo passaggio si usano le regole 1. (per togliere il 2), 6. (o() = o( 2 )) e 4. Quindi, sostituendo e utilizzando infine la regola 7. come desiderato. cosh = o(2 + o( 2 )) = o(2 ) 6.12 Esercizio. Mostrare la validità dei seguenti sviluppi asintotici per 0: (i) tan = + o(); (ii) e sin2 = o( 2 ); ( ) tan 1 (iii) 1 = log + o( log ). (iv) log(1 + (sin ) 2 ) = 2 + o( 2 ) Esercizio. Calcolare il ite log(1 + + e2 ) λ,

7 AMA Ing.Edile - Prof. Colombo 7 al variare di λ R. ( 6.14 Esercizio. Determinare λ affinché λ ) + valga 2.