Limiti di funzioni. Hynek Kovarik. Università di Brescia. Analisi Matematica 1

Transcript

1 Limiti di funzioni Hynek Kovarik Università di Brescia Analisi Matematica 1 Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi Matematica 1 1 / 38

2 Cenni di topologia La nozione di intorno Sia x 0 R e r > 0. Consideriamo I r (x 0 ) = {x R : x x 0 < r} l intorno sferico aperto di centro x 0. = {x R : x 0 r < x < x 0 + r}, Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi Matematica 1 2 / 38

3 Definizione Sia A R. 1 Diciamo che p R è interno a A se: esiste r > 0 tale che I r (p) A. 2 Diciamo che p R è d accumulazione per A se per ogni r > 0 si ha (A \ {p}) I r (p) ; 3 Diciamo che p R è punto isolato di A se esiste r > 0 tale che A I r (p) = {p}. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi Matematica 1 3 / 38

4 Esempio Sia A =] 1, 1] {2} Allora Ogni punto p di [ 1, 1] è di accumulazione per A: in ogni intorno di p ci sono punti di A, diversi da p stesso. 2 è un punto isolato di A. Infatti, non è vero che in ogni suo intorno ci sono punti dell insieme diversi da 2: si prenda, per esempio, come intorno ] 3 2, 5 2[. 1 A, ma è punto di accumulazione. A = [ 1, 1] {2} è l insieme dei punti aderenti di A. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi Matematica 1 4 / 38

5 Esempio Sia Allora A = { 1 n + 1 : } n N 0 A è l unico punto di accumulazione per A. A è costituito solo di punti isolati. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi Matematica 1 5 / 38

6 Definizione di ite Definizione Sia A R e sia f : A R una funzione reale definita in A. Sia x 0 un punto di accumulazione di A. Diremo che la funzione f tende al numero L R per x x 0 se ε > 0 δ > 0 : x A, 0 < x x 0 < δ f (x) L < ε. Il numero L si dice il ite di f per x x 0, e si scrive f (x) = L. x x 0 Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi Matematica 1 6 / 38

7 Osservazione: Non si richiede che la disuguaglianza f (x) L < ε sia soddisfatta per x = x 0. Infatti, il valore di f in x 0 non influenza il valore del ite: Esempio Sia f : R R definita da f (x) = { x 2 se x 0 α R se x = 0. Allora indipendentemente da α!. f (x) = 0 x 0 Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi Matematica 1 7 / 38

8 Perché si deve richiedere che x 0 sia un punto di accumulazione? Nella definizione di x x0 f (x) = L ε > 0 δ > 0 : x A, 0 < x x 0 < δ f (x) L < ε. è essenziale potersi avvicinare indefinitamente al punto x 0 rimanendo sempre in A. Esempio Sia NON ha senso calcolare f (x) = x 0 x = 0, rimanendo nel domf. x 2 (x 2) x 2 (x 2), poichè non ci si può avvicinare a Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi Matematica 1 8 / 38

9 Teorema di unicità Sia x 0 di accumulazione per dom f. Se f (x) L e f (x) L per x x 0, allora L = L. Dimostrazione: Consideriamo per semplicità il caso x 0, L, L R. Per assurdo sia L L. Allora per ogni ε > 0 δ > 0 : x 0 x dom f, x x 0 < δ f (x) L < ε, δ > 0 : x 0 x dom f x x 0 < δ f (x) L < ε. Quindi ponendo ε = L L /4 per x x 0 e x 0 x < min{δ, δ } si ha Assurdo. 0 < L L L f (x) + f (x) L < 2ε = L L 2 Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi Matematica 1 9 / 38

10 Estensioni della definizione di ite Abbiamo visto la definizione di x x0 f (x) = L nel caso x 0, L R. Vogliamo estendere questa definizione ai seguenti casi: Caso 1 : x 0 reale, L infinito Caso 2 : x 0 infinito, L reale Caso 3 : x 0 infinito, L infinito Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi Matematica 1 10 / 38

11 Caso 1(a): x 0 R & L = + Definizione f (x) = + x x 0 M R δ > 0 : x A, 0 < x x 0 < δ f (x) M. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi Matematica 1 11 / 38

12 Caso 1(b): x 0 R & L = Definizione f (x) = x x 0 M R δ > 0 x A, 0 < x x 0 < δ f (x) M Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi Matematica 1 12 / 38

13 Caso 2(a): x 0 = + & L R Definizione f (x) = L x + ε > 0 ρ R : x A, x ρ f (x) L < ε. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi Matematica 1 13 / 38

14 Caso 2(b): x 0 = & L R Definizione f (x) = L x ε > 0 ρ R : x A, x ρ f (x) L < ε. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi Matematica 1 14 / 38

15 Caso 3(a): x 0 = + & L = + Definizione f (x) = + x + M R ρ R : x A, x ρ f (x) M. Caso 3(b): x 0 = + & L = Definizione f (x) = x + M R ρ R : x A, x ρ f (x) M Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi Matematica 1 15 / 38

16 Caso 3(c): x 0 = & L = + Definizione f (x) = + x M R ρ R : x A, x ρ f (x) M. Caso 3(d): x 0 = & L = Definizione f (x) = x M R ρ R : x A, x ρ f (x) M. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi Matematica 1 16 / 38

17 Algebra dei iti Sia A R e sia x 0 R un punto di accumulazione per A. Siano f, g : A R due funzioni e supponiamo che f (x) = L R, x x 0 g(x) = M R. x x0 Allora le seguenti identità x x0 (f (x) + g(x)) = L + M, x x0 f (x) g(x) = L M, x x0 f (x) g(x) = L M (M 0) valgono in assenza di forme indeterminate, 0,. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi Matematica 1 17 / 38

18 Algebra dei iti: caso M = 0 Nel caso x x0 f (x) = L 0 e x x0 g(x) = 0 vale: 1 Se esiste r > 0 tale che g(x) > 0 per ogni x I r (x 0 ) \ {x 0 }, allora { f (x) x x 0 g(x) = + se L > 0 se L < 0. 2 Se esiste r > 0 tale che g(x) < 0 per ogni x I r (x 0 ) \ {x 0 }, allora { f (x) x x 0 g(x) = se L > 0 + se L < 0. 3 Se la funzione g cambia segno in ogni intorno di x 0, allora f (x) x x 0 g(x) Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi Matematica 1 18 / 38

19 Esempi SIa A = R, x 0 = 0 e f (x) = 2 x. Allora 2 x x 0 x 2 = + x 0 2 x x 2 x = 2 x x 0 x Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi Matematica 1 19 / 38

20 Teorema di permanenza del segno Sia A R, f : A R e sia x 0 R un punto di accumulazione di A. Se x x0 f (x) = L 0, allora esiste U intorno di x 0 tale che la restrizione di f a U \ {x 0 } A ha lo stesso segno di L Dimostrazione: supponiamo che x 0 R e che L > 0. Ponendo ε = L/2 si trova un δ > 0 tale che x I δ (x 0 ) (A \ {x 0 }) : L 2 < f (x) < 3L 2 Da cui la tesi con U = I δ (x 0 ). La dimostrazione nel caso x 0 = ± è analoga. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi Matematica 1 20 / 38

21 Teorema del confronto Sia A R e siano f, g : A R e sia x 0 R un punto di accumulazione di A. Supponiamo che f e g ammettano ite per x x 0 e che f (x) g(x) per ogni x A. Allora f (x) = L M = g(x). x x 0 x x0 Dimostrazione: Supponiamo per assurdo che L > M. Allora (f (x) g(x)) = L M > 0. x x 0 Allora per il Teorema di permanenza del segno esiste un intorno U di x 0 tale che x U (A \ {x 0 }) : f (x) > g(x). Questo è in contraddizione con l ipotesi del Teorema. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi Matematica 1 21 / 38

22 Teorema dei due carabinieri Sia A R e siano f, g, h : A R e sia x 0 R un punto di accumulazione di A. Supponiamo che per ogni x A si abbia g(x) f (x) h(x). Se x x0 h(x) = x x0 g(x) = L, allora anche f ammette ite per x x 0 e si ha x x0 f (x) = L. Dimostrazione: Sia ε > 0. Allora esiste δ > 0 tale che x I δ (x 0 ) (A \ {x 0 }) : g(x) L < ε h(x) L < ε. Dunque per ogni x I δ (x 0 ) (A \ {x 0 }) si ha f (x) L h(x) L < ε f (x) L g(x) L g(x) L > ε, da cui f (x) L < ε. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi Matematica 1 22 / 38

23 Definizione Sia A R e sia f : A R una funzione. Diciamo che f è itata in A se M > 0 : f (x) M x A. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi Matematica 1 23 / 38

24 Teorema Sia f, g : A R e Sia x 0 R un punto di accumulazione per A. Supponiamo che x x 0 g(x) = 0 e che f sia itata in A. Allora f (x)g(x) = 0. x x 0 Dimostrazione: Sia M > 0 tale che per ogni x A vale f (x) M. Allora x A 0 f (x)g(x) M g(x), e il teorema dei due carabinieri implica da cui la tesi. f (x)g(x) = 0 x x 0 Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi Matematica 1 24 / 38

25 Esempio Sia f : R \ {0} R data da f (x) = x 1 + sin 2 (1/x) 1 + sin 2 (1/x) 2 per ogni x R \ {0}, il teorema Siccome precedente implica f (x) = 0. x x 0 Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi Matematica 1 25 / 38

26 Teorema di itatezza locale Sia f : a R e Sia x 0 R un punto di accumulazione per A. Supponiamo che x x0 f (x) = L R. Allora esiste un intorno U di x 0 tale che f è itata in U A. Dimostrazione: Dimostriamo il teorema nel caso x 0 R. Poniamo ε = 1 nella definizione del ite. Quindi esiste δ > 0 tale che x A : 0 < x x 0 < δ : f (x) L + 1. Sia U = I δ (x 0 ). Se x 0 A, allora la tesi è dimostrata. Se x 0 A, allora f (x 0 ) R, e si ha x U A : f (x) L f (x 0 ) Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi Matematica 1 26 / 38

27 Limiti destro e sinistro Definizione Sia f : A R e x 0 R. Si supponga che x 0 sia di accumulazione per l insieme A (x 0, + ). Allora diciamo che f ammette in x 0 il ite destro L R e scriviamo x x + 0 se vale la seguente affermazione: f (x) = L, ε > 0 δ > 0 : x (x 0, x 0 + δ) A : f (x) L < ε. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi Matematica 1 27 / 38

28 Limiti destro e sinistro Definizione Sia f : A R e x 0 R. Si supponga che x 0 sia di accumulazione per l insieme A (, x 0 ). Allora diciamo che f ammette in x 0 il ite sinistro L R e scriviamo x x 0 se vale la seguente affermazione: f (x) = L, ε > 0 δ > 0 : x (x 0 δ, x 0 ) A : f (x) L < ε. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi Matematica 1 28 / 38

29 Limiti destro e sinistro: caso L = ± Definizione Sia f : A R e sia x 0 R un punto di accumulazione per l insieme A (x 0, ). Allora se x x + 0 f (x) = +, M R δ > 0 : x (x 0, x 0 + δ) A : f (x) M. Analogamente, se x x + 0 f (x) =, M R δ > 0 : x (x 0, x 0 + δ) A : f (x) M. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi Matematica 1 29 / 38

30 Limiti destro e sinistro: caso L = ± Definizione Sia f : A R e sia x 0 R un punto di accumulazione per l insieme A (, x 0 ). Allora se x x 0 f (x) = +, M R δ > 0 : x (x 0 δ, x 0 ) A : f (x) M. Analogamente, se x x 0 f (x) =, M R δ > 0 : x (x 0 δ, x 0 ) A : f (x) M. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi Matematica 1 30 / 38

31 Legame fra il ite e iti destro e sinistro Proposizione Sia f : A R e sia x 0 R un punto di accumulazione per A (x 0, + ) e per (, x 0 ) A. Si ha (I ) x x0 f (x) = L (II ) x x + 0 f (x) = L e x x 0 f (x) = L. In particolare, se almeno uno fra x x + 0 f (x) o x x 0 x x + 0 f (x) e x x 0 allora il ite x x0 f (x) NON esiste. f (x) non esiste, o f (x) esistono, ma sono diversi Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi Matematica 1 31 / 38

32 Esempio Sia f : R \ {0} R data da f (x) = x 2 + x 4 x + x 2 Allora x 2 (1 + x 2 ) f (x) = = x 0+ x 0+ x(1 + x) x = 0, x 0+ x 2 (1 + x 2 ) f (x) = x 0 x 0 x(1 x) = ( x) = 0. x 0 Quindi f (x) = 0. x 0 Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi Matematica 1 32 / 38

33 Esempio Sia f : R \ {0} R data da f (x) = x x 2 + x 4 Allora x f (x) = x 0+ x 0+ x 1 + x = x 2 x 0+ x = 1, f (x) = x 0 x 0 x x 1 + x 2 = x 0 x x = 1. Quindi f (x) x 0 Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi Matematica 1 33 / 38

34 Funzioni monotone Definizione Una funzione f : A R si dice (i) crescente se (ii) decrescente se (iii) strettamente crescente se (iv) strettamente decrescente se x, y A : x y f (x) f (y); x, y A : x y f (x) f (y); x, y A : x < y f (x) < f (y); x, y A : x < y f (x) > f (y); Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi Matematica 1 34 / 38

35 Teorema (iti di funzioni crescenti) Sia f : A R una funzione crescente e sia x 0 R un punto di accumulazione per A (x 0, + ) e per (, x 0 ) A. Allora x x + 0 f (x), x x 0 f (x) e si ha x x 0 x x + 0 f (x) = sup{f (x) : x A, x < x 0 } (1) f (x) = inf{f (x) : x A, x > x 0 }. (2) Dimostrazione: Per dimostrare (3) poniamo L = sup{f (x) : x A, x < x 0 }. Quindi f (x) L per ogni x A, x < x 0. Inoltre, per ogni ε > 0 esiste x ε A, x ε < x 0 tale che f (x ε ) > L ε. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi Matematica 1 35 / 38

36 Siccome f è crescente, si ha Da cui (3). Definiamo adesso x A (x ε, x 0 ) : L ε < f (x ε ) f (x) L. L + = inf{f (x) : x A, x > x 0 }. Quindi f (x) L + per ogni x A, x > x 0. Inoltre, per ogni ε > 0 esiste x ε A, x ε > x 0 tale che f (x ε ) < L + + ε. Siccome f è crescente, si ha Da cui (4) x A (x 0, x ε ) : L + < f (x) f (x ε ) L + + ε. N.B. Il teorema NON garantisce l esistenza di f (x)! x x 0 Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi Matematica 1 36 / 38

37 Nel modo del tutto analogo si dimostra Teorema (iti di funzioni descrescenti) Sia f : A R una funzione decrescente e sia x 0 R un punto di accumulazione per A (x 0, + ) e per (, x 0 ) A. Allora x x + 0 f (x), x x 0 f (x) e si ha x x 0 x x + 0 f (x) = inf{f (x) : x A, x < x 0 } (3) f (x) = sup{f (x) : x A, x > x 0 }. (4) Dimostrazione: esercizio. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi Matematica 1 37 / 38

38 Alcuni iti notevoli sin(ax) = a a R x 0 x e ax 1 = a a R x 0 x log(1 + ax) = a a R x 0 x (1 + x) a 1 = a a R x 0 x ( 1 + a ) x = e a x + x a R Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi Matematica 1 38 / 38