Matematica con elementi di Informatica

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1 Limiti e Funzioni Continue Matematica con elementi di Informatica Tiziano Vargiolu Dipartimento di Matematica vargiolu@math.unipd.it Corso di Laurea Magistrale in Chimica e Tecnologia Farmaceutiche Anno Accademico 2018/19 Limiti e Funzioni Continue Anno Accademico 2018/19 1 / 34

2 Punti di accumulazione Dato un insieme A R, un punto p (non necessariamente contenuto in A) si dice punto di accumulazione per A se, per ogni r > 0, si ha o se, equivalentemente, B(p, r) A ha infiniti elementi (B(p, r) A) \ {p} = Esempi: { 2; 1; 0; 1}; [ 2, 5); { 1 n n N} Limiti e Funzioni Continue Anno Accademico 2018/19 2 / 34

3 Limite di una funzione Data una funzione f : A R, A R e dato un punto p di accumulazione per A, diciamo che L è il limite di f per x che tende a p L = lim f (x) se per ogni intorno V di L esiste un intorno U di p tale che x (U A) \ {p} f (x) V o, equivalentemente, se per ogni ɛ > 0 esiste δ > 0 tale che x A, x = p, x p < δ f (x) L < ɛ Limiti e Funzioni Continue Anno Accademico 2018/19 3 / 34

4 Limiti e funzioni continue Data una funzione f : A R, e dato un punto p A A R o p non è di accumulazione per A e allora f è continua in p o p è di accumulazione per A e allora: f è continua in p se e solo se esiste limite di f in p e lim f (x) = f (p) Limiti e Funzioni Continue Anno Accademico 2018/19 4 / 34

5 Unicità del limite Teorema. Data una funzione f : A R, con A R e dato un punto p di accumulazione per A, se allora tale L è unico. L = lim f (x) Limiti e Funzioni Continue Anno Accademico 2018/19 5 / 34

6 Restrizione di una funzione Data una funzione f : A R, con A R, allora per ogni C A, C =, chiamiamo restrizione di f a C la funzione f C : C R tale che f C (x) := f (x) x C Teorema. Dati una funzione f : A R, con A R, e un punto p di accumulazione per A, se C A è tale che p è un punto di accumulazione anche per C, allora: se lim f (x) =: L, allora lim f C (x) = L Limiti e Funzioni Continue Anno Accademico 2018/19 6 / 34

7 Limite destro e limite sinistro Tra le restrizioni di una funzione, due tipi sono particolarmente importanti. Siano dati una funzione f : A R, con A R, e un punto p di accumulazione per A: se scegliamo C := (, p) A, poniamo lim f (x) := lim f C (x) (limite sinistro di f, o limite di f per x che tende a p da sinistra) se scegliamo C := (p, + ) A, poniamo lim f (x) := lim f C (x) + (limite destro di f, o limite di f per x che tende a p da destra) Limiti e Funzioni Continue Anno Accademico 2018/19 7 / 34

8 Limiti destro e sinistro e continuità Abbiamo il seguente risultato: Siano dati una funzione f : A R, con A R, e un punto p di accumulazione per A: sono equivalenti: L = lim f (x) L = lim f (x) = lim f (x) + se invece abbiamo che allora lim f (x). lim f (x) = lim f (x) + Limiti e Funzioni Continue Anno Accademico 2018/19 8 / 34

9 Retta reale estesa In parecchie applicazioni abbiamo bisogno di parlare di infinito. Definiamo la retta reale estesa come l insieme R := { } R {+ } ordinato estendendo la relazione d ordine in modo che x + x R Intorni dei punti x R: se x R si definiscono come al solito; se x =, gli intorni sono della forma [, a); se x = +, gli intorni sono della forma (a, + ]. Limiti e Funzioni Continue Anno Accademico 2018/19 9 / 34

10 Limiti per ± Allora, dato un insieme A R e un punto p R: se p =, abbiamo che p è di accumulazione per A se A è illimitato inferiormente, i.e., inf A = ; se p = +, abbiamo che p è di accumulazione per A se A è illimitato superiormente, i.e., sup A = +. Data una funzione f : A R, con A R e dato un punto p di accumulazione per A, la definizione topologica di limite di f per x che tende a p è invariata! L = lim f (x) se per ogni intorno V di L esiste un intorno U di p tale che x (U A) \ {p} f (x) V Limiti e Funzioni Continue Anno Accademico 2018/19 10 / 34

11 Limiti per ± - definizione basata sulla distanza In questo caso si deve andare caso per caso. Data una funzione f : A R, con A R e dato un punto p R di accumulazione per A, diciamo che f diverge a + ( ) lim f (x) = + ( ) se per ogni M > 0 esiste un δ > 0 tale che x A e x p < δ f (x) > M (f (x) < M) Nota: si possono enunciare anche le varianti limite destro / sinistro. Esempi: f (x) = 1 ; f (x) = 1 (x 1) 2 x ; f (x) = log x. Limiti e Funzioni Continue Anno Accademico 2018/19 11 / 34

12 Interpretazione geometrica: asintoti verticali Si consideri una retta r passante per il punto (p, 0) del piano cartesiano e parallela all asse delle y. Allora la distanza del punto (x, f (x)) dalla retta r è uguale a p x, mentre la distanza di (x, f (x)) dall asse delle x è f (x). Allora lim f (x) = ± significa che per ogni M > 0 esiste δ > 0 tale che p x < δ implica f (x) > M o f (x) < M, a seconda del segno di ±, ma in entrambi i casi f (x) > M: se vogliamo che la distanza p x di un punto del grafico sia vicina alla retta r, la sua distanza f (x) dall asse delle x aumenta sempre più (asintoto verticale) Limiti e Funzioni Continue Anno Accademico 2018/19 12 / 34

13 Limiti a ± - definizione basata sulla distanza Data una funzione f : A R, con A R tale che (+ ) di accumulazione per A, diciamo che f tende a L R per x (+ ), i.e. ( ) lim f (x) = L x se per ogni ɛ > 0 esiste un M > 0 tale che lim f (x) = L x + x A e x < M (x > M) f (x) L < ɛ Nota: si può enunciare analogamente anche lim x ± f (x) = ±. Esempi: f (x) = 1 ; f (x) = 1 (x 1) 2 x ; f (x) = log x. Limiti e Funzioni Continue Anno Accademico 2018/19 13 / 34

14 Interpretazione geometrica: asintoti orizzontali Si consideri una retta r passante per il punto (0, L) del piano cartesiano e parallela all asse delle x. Allora la distanza del punto (x, f (x)) dalla retta r è uguale a f (x) L, mentre la distanza di (x, f (x)) dall asse delle y è x. Allora lim x ± f (x) = L significa che per ogni ɛ > 0 esiste M > 0 tale che x < M o x > M (a seconda del segno di ± ) implica f (x) L < ɛ: se vogliamo che la distanza f (x) L di un punto del grafico sia vicina alla retta r, la sua distanza x dall asse delle y aumenta sempre più (asintoto orizzontale) Limiti e Funzioni Continue Anno Accademico 2018/19 14 / 34

15 Teorema della permanenza del segno f : A R, A R e dato il punto p di accumulazione per A se lim f (x) = L > 0 allora esiste intorno U di p tale che x (A U) \ {p} f (x) > 0 e simmetricamente per L < 0. Limiti e Funzioni Continue Anno Accademico 2018/19 15 / 34

16 Operazioni e limiti f, g : A R, A R p punto di accumulazione per A f, g abbiano limiti reali in p allora (somma) lim f (x) = F R lim g(x) = G R lim (f + g)(x) = lim [f (x) + g(x)] = F + G Limiti e Funzioni Continue Anno Accademico 2018/19 16 / 34

17 Operazioni e limiti f, g : A R, A R p punto di accumulazione per A f, g abbiano limiti reali in p allora (prodotto) lim f (x) = F R lim g(x) = G R lim (fg)(x) = (prodotto per uno scalare) per ogni α R lim [f (x)g(x)] = FG lim αf (x) = αf Limiti e Funzioni Continue Anno Accademico 2018/19 17 / 34

18 lim f (x) = F R lim g(x) = G R (rapporto) se G = 0 lim (f /g)(x) = lim f (x) g(x) = F G Limiti e Funzioni Continue Anno Accademico 2018/19 18 / 34

19 (rapporto) lim f (x) = F > 0 lim g(x) = 0+ (0 ) lim (f /g)(x) = lim f (x) g(x) = + ( ) Limiti e Funzioni Continue Anno Accademico 2018/19 19 / 34

20 (rapporto) lim f (x) = lim (f /g)(x) = lim forma indeterminata [ ] 0 0 lim g(x) = 0 f (x) g(x) =? Limiti e Funzioni Continue Anno Accademico 2018/19 20 / 34

21 dominio R \ {0} x lim x 0 x = lim 1 = 1 x 0 x 2 lim x 0 x = lim x 0 x = 0 lim x 0 x 1 x 2 = lim x 0 x non esiste! Limiti e Funzioni Continue Anno Accademico 2018/19 21 / 34

22 Limiti sinistro e destro esempi lim x 0 1/x = e lim 1/x = + + x 0 1 lim x 1 1 x = + e lim x x = Limiti e Funzioni Continue Anno Accademico 2018/19 22 / 34

23 Operazioni e limiti (con infiniti) allora (somma) (prodotto) lim f (x) = F = + lim g(x) = G R lim (f + g)(x) = + lim (fg)(x) = forma indeterminata [+ 0] + se G > 0 se G < 0? se G = 0 Limiti e Funzioni Continue Anno Accademico 2018/19 23 / 34

24 Rapporto e limiti (con infiniti) lim f (x) = F = + lim g(x) = G R (rapporto) lim (f /g)(x) = + se G > 0 o G = 0 + se G < 0 o G = 0 non esiste altrimenti (G = 0 ma...) Limiti e Funzioni Continue Anno Accademico 2018/19 24 / 34

25 Operazioni e limiti, due infiniti (somma) lim f (x) = F = + lim g(x) = G = + (prodotto) lim (f + g)(x) = + lim (fg)(x) = + (rapporto) lim (f /g)(x) =? forma indeterminata [ ] + + Limiti e Funzioni Continue Anno Accademico 2018/19 25 / 34

26 Operazioni e limiti, due infiniti di segno opposto (somma) lim f (x) = F = + lim g(x) = G = forma indeterminata [+ ] (prodotto) lim (f + g)(x) =? lim (fg)(x) = (rapporto) lim (f /g)(x) =? forma indeterminata [ ] + Limiti e Funzioni Continue Anno Accademico 2018/19 26 / 34

27 Applicazione: asintoti obliqui Ci sono casi in cui succede che la distanza di un punto del grafico (x, f (x)) da una retta diminuisce sempre di più man mano che x ±, ma la retta NON è orizzontale: si parla allora di asintoto obliquo. Si consideri la retta di equazione y = mx + q. La distanza (non euclidea!) del punto (x, f (x)) da questa retta è uguale a f (x) mx q. Diciamo che y = mx + q è asintoto obliquo se lim f (x) mx q = 0 x ± anche qui, come negli asintoti orizzontali, può essere che il limite sia definito solo per x + o per x, o che entrambi siano definiti ma diversi. Limiti e Funzioni Continue Anno Accademico 2018/19 27 / 34

28 Come trovare asintoti obliqui Come trovare m e q? Se lim x ± f (x) mx q = 0, a maggior ragione f (x) mx q lim x ± x = 0: ma f (x) mx q lim x ± x Una volta trovato m, abbiamo Attenzione: f (x) f (x) = lim m m = lim x ± x x ± x q = lim (f (x) mx) x ± q = lim f (x) m x ± lim x!!! x ± Attenzione: abbiamo un asintoto orizzontale se e solo se se m = 0 e q R è finito. Esempi: f (x) = log x, f (x) = u2 u 1 Limiti e Funzioni Continue Anno Accademico 2018/19 28 / 34

29 Limite di funzioni composte - 1 Teorema. Siano g : A B, f : B R, p 0 punto di accumulazione per A tali che lim 0 g(x) = y 0 e f continua in y 0 allora ( ) lim (f g)(x) = f (y 0 ) = f lim g(x) 0 0 Limiti e Funzioni Continue Anno Accademico 2018/19 29 / 34

30 Limite di funzioni composte - 2 Teorema (cambio di variabile nel limite). Siano g : A B, f : B R, p 0 punto di accumulazione per A tale che lim 0 g(x) = y 0, g(x) = y 0 allora y 0 punto di accumulazione per B e lim f g(x) = L = 0 lim f (y) y y 0 lim f (y) = L y y 0 Limiti e Funzioni Continue Anno Accademico 2018/19 30 / 34

31 Esempi perché lim x + e1/x = lim e y = e 0 = 1 y 0 1 lim x + x = 0 perché lim ln 1 x + x = lim ln y = y 0 1 lim x + x = 0+ Limiti e Funzioni Continue Anno Accademico 2018/19 31 / 34

32 Legge di raffreddamento di Newton T (t) = T E + (T 0 T E )e at a > 0 lim t + T (t) = T E Esempio: a = 1, T E = 5 C, T 0 = 20.5 C, T (t) = e t < 6 t > ln Limiti e Funzioni Continue Anno Accademico 2018/19 32 / 34

33 Neurone artificiale Funzione Heaviside { 0, x 0 H(x) = 1, x > 0 lim f (x) = 1 x + Funzione Sigmoide f (x) = lim f (x) = 0 x e αx Funzioni limitate: per quanto grande sia lo stimolo eccitatorio, il neurone emette sempre un segnale limitato (finito) Limiti e Funzioni Continue Anno Accademico 2018/19 33 / 34

34 Curva di crescita limitata, funzione Logistica N(t) = KN 0 N 0 + (K N 0 )e αt N(0) = N 0 lim N(x) = K x + K massimo numero di individui della popolazione che le risorse ambientali possono sostenere Limiti e Funzioni Continue Anno Accademico 2018/19 34 / 34