APPUNTI SU FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE E LORO LIMITI

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1 APPUNTI SU FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE E LORO LIMITI 1. preliminari sulle funzioni Definizione 1. Una funzione è una legge che ad ogni elemento di un insieme D (detto dominio) associa un unico elemento di un insieme C (detto codominio). In simboli una funzione f si indica f : D C. Dato un insieme I D (un sottoinsieme del dominio) Si dice immagine di I l insieme f(i) C definito da: f(i) := {y C tali che esiste x Iper cuiy = f(x)}. L insieme f(d) si chiama immagine di f. Una funzione si dice suriettiva se f(d) C. Dato un insieme J C (un sottoinsieme del codominio) si definisce f 1 (J) D controimmagine di J come: f 1 (J) := {x D tali che esiste y Jper cuiy = f(x)} In generale la controimmagine di un insieme composto da un solo punto y f(d) cioè f 1 ({y}) è un insieme non necessariamente composto da un solo punto. Una funzione si dice iniettiva in I D se la controimmagine di ciascun punto y f(i) è un unico punto. Si dice iniettiva se è iniettiva su tutto D. In tal caso è ben definita la funzione inversa: y f 1 (y) (a ciascun punto y associo il punto che costituisce l insieme f 1 ({y})) che ha come dominio f(d) e come immagine D. Data f : D C e g : C K si definisce la funzione composta g f : D K cha ad ogni x D associa g(f(x)) K. Nel seguito ci interesseremo unicamente di funzioni in cui D R e C R. In R ci interessano le seguenti definizioni: Definizione 2 (Maggiorante di un insieme). Sia I R un sottoinsieme di R. Un punto M R è un maggiorante di I se per ogni x I si ha M x. Un punto m R è un minorante di I se per ogni x I si ha m x. Un insieme I si dice limitato superiormente se ammette un maggiorante; si dice illimitato superiormente se non ammette nessun maggiorante. Un insieme I si dice limitato inferiormente se ammette un minorante; si dice illimitato inferiormente se non ammette nessun minorante. Definizione 3 (Estremo superiore ed inferiore). Sia I un insieme limitato superiormente. Si dice che L è l estremo superiore di I, L = sup(i) se L è un maggiorante di I e per ogni ε > 0 L ε non è un maggiorante di I. Se I è illimitato superiormente si pone sup(i) =. 1

2 2 APPUNTI SU FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE E LORO LIMITI Sia I un insieme limitato inferiormente. Si dice che L è l estremo inferiore di I, l = inf(i) se l è un minorante di I e per ogni ε > 0 L + ε non è un minorante di I.Se I è illimitato inferiormente si pone inf(i) =. Definizione 4. Sia D R. Una funzione f : D R si dice: monotona crescente in un insieme I D se per ogni coppia di punti x 1,x 2 tali che x 1 < x 2 si ha f(x 1 ) f(x 2 ). Se f(x 1 ) < f(x 2 ) si dice che f è strettamente cresente. monotona decrescente in un insieme I D se per ogni coppia di punti x 1,x 2 tali che x 1 < x 2 si ha f(x 1 ) f(x 2 ).Se f(x 1 ) < f(x 2 ) si dice che f è strettamente decresente. limitata superiormente se l insieme f(d) è limitato superiormente. limitata inferiormente se l insieme f(d) è limitato inferiormente. Definizione 5 (grafico di una funzione). Sia D R. Data una funzione f : D R, il grafico di f è il sottoinsieme di R 2 (il piano cartesiano)cosí definito gr(f) := {(x, y)tali chex D e y = f(x)}, è l insieme dei punti del piano cartesiano con ascissa x e ordinata f(x) al variare di x nel dominio. Tutte le proprietà delle funzioni definte sopra possono essere visualizzate graficamente. La funzione in Figura 1. per esempio è definita per ogni x R; è limitata f(i) J 1 f (J) 1 f (J) I (1,1) Figura 1 inferiormente ma non superiormente; è monotona crescente ed iniettiva in (1, ) è

3 APPUNTI SU FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE E LORO LIMITI 3 monotona decrescente ed iniettiva in (, 1); f(d) = [1, ). Ho indicato in rosso sull asse delle ascisse un insieme I, sempre in rosso sull asse delle ordinate il corrispondente insieme f(i). Allo stesso modo in verde sull asse delle ordinate ho indicato un insieme J e in verde sull asse delle ascisse la sua controimmagine. 2. limiti Definizione 6 ( Retta estesa). Si indica con R l insieme R { } { }. Definizione 7 ( Intorno simmetrico di x 0 R ). Dato un punto x 0 in R si dice che I x0 è un intorno (simmetrico) di x 0 se ha la seguente forma: Se x 0 R, dato δ > 0 I x0 (δ) := {x R tali chex 0 δ x x 0 + δ}. Se x 0 = dato m R I (m) := {x R tali chex m}; se x 0 = dato m R I (m) := {x R tali chex m}. Per brevità gli intorni verranno indicati con I x0 ingnorando quando possibile la dipendenza da δ o m. Per le definizioni date si hanno le seguenti proprietà: ] [ ] [ x 0 Figura 2. In verde un intorno di x 0 R, in blu un intorno di infinito ed in rosso un intorno di meno infinito (1) Dati comunque due intorni dello stesso punto I x0 e I x 0 essi non sono mai disgiunti(cioè I x0 I x 0 ) e sono uno contenuto nell altro. (2) Dati comunque due punti x 1,x 2 R distinti (x 1 x 2 ) esistono sempre due intorni I x1 ed I x2 disgiunti (cioè I x1 I x2 = ) Si considera ora un punto x 0 ed una funzione f : D R tali che per ogni intorno I x0 si abbia I x0 D. Per tali punti si può definire il limite di f(x) quando x tende ad x 0. Definizione 8 (Limite di una funzione ad x 0 ). Dati x 0 R ed l R si dice che il limite per x che tende ad x 0 di f(x) è l: lim f(x) = l x x 0 se per ogni intorno di l (denotato con I l ) esiste un intorno di x 0 (denotato con I x0 ) tale che per ogni x (I x0 D) \ {x 0 } sia vero che f(x) I l. Proposizione 1 (Unicità del limite). Il limite per x che tende ad x 0 di f(x) se esite è unico. Dimostriamo per assurdo: Supponiamo che sia vero che (1) lim x x0 f(x) = l 0 e contemporaneamente che sia vero(2) lim x x0 f(x) = l 1 con l 0 l 1..Per le proprietà degli intorni esistono I l0 ed I l1 disgiunti. Ora per la definizione di limite in (1) esiste un intorno I x0 tale che per ogni x (I x0 D) \ {x 0 } vale f(x) I l0. Allo stesso modo la definizione di limite in (2) dice che esiste un intorno I x 0 tale che per ogni x (I x 0 D)\ {x 0 } vale f(x) I l1. Ma per le proprietà degli intorni in (I x 0 I x0 D) \ {x 0 } è diverso

4 4 APPUNTI SU FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE E LORO LIMITI l x 0 Figura 3. Ho indicato in rosso sull asse y un intorno qualsiasi di l. Sull asse x sempre in rosso il corrispondente intorno di x 0 l Figura 4. In questo caso l R mentre x 0 = + dall insieme vuoto. quindi in (I x 0 I x0 D) \ {x 0 } deve essere contemporaneamente vero sia che f(x) I l0 sia che f(x) I l1. Dato che I l0 ed I l1 sono disgiunti questo è assurdo.

5 APPUNTI SU FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE E LORO LIMITI 5 Proposizione 2 (Teorema della permanenza del segno). Sia x 0 R, data una funzione f : D R se lim x x 0 f(x) = l > 0 allora esiste un c > 0 ed un intorno I x0 tale che per ogni x (I x0 D) {x 0 } f(x) > c. Per le proprietà degli intorni esistono un intorno di l (I l ) ed un intorno di zero (detto I 0 ) disgiunti. Supponiamo che l intorno di zero sia definito dalla condizione c y c in modo che per ogni y I l sia vero che y > c (nel caso in cui l R basta scegliere c = l/2, se l = si puó scegliere qualsiasi valore per c). Per definizione di limite esiste un intorno I x0 tale che per ogni x (I x0 D) {x 0 } vale f(x) I l e quindi f(x) > c. Vedere Figura 5 l l/2 Figura 5. I l è indicato in rosso sull asse y; I 0 è indicato in verde sull asse y; i due insiemi sono disgiunti e il grafico di f(x) è contenuto nel dominio in rosso per ogni x I (I è indicato in rosso sull asse x) Corollary 2.1. Data f : D R, se esiste un c > 0 ed un intorno I x0 tale che f(x) > c > 0 per ogni x (I x0 D) {x 0 } allora il limite lim x x0 f(x) se esiste è positivo. Corollary 2.2 (Confronto). Siano f(x) : D R e g(x) : D R (sto supponendo che abbiano lo stesso dominio) due funzioni, supponiamo che esista un punto x 0 ed un intorno I x0 tali che f(x) g(x) per ogni x (I x0 D) {x 0 }. Supponiamo inoltre che esistano i due limiti lim x x0 f(x) e lim x x0 g(x). Sotto queste ipotesi si ha che lim x x 0 f(x) lim x x0 g(x).

6 6 APPUNTI SU FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE E LORO LIMITI Proposizione 3 (Carabinieri). Date tre funzioni f(x) : D R, a(x) : D R b(x) : D R supponiamo che esista un punto x 0 ed un intorno I x0 in cui a(x) f(x) b(x), per ogni x (I x0 D) {x 0 }. Supponiamo inolre che esistano e coincidano i limiti lim x x0 a(x) = lim x x0 b(x). Sotto queste ipotesi si ha che: (1) Il limite lim x x0 f(x) esiste. (2) Vale lim x x0 f(x) = lim x x0 a(x) = lim x x0 b(x) operazioni coi limiti. Si costruisce una aritmetica sulla retta estesa R ponendo le seguenti regole: Se a,b R \ {0} valgono le solite regole. 0 0 = 0 a = 0 = 0 per ogni a R con a 0. a a + 0 = a 0 = 0 per ogni a R. + + = = +, + =. + a = + se a > 0 e + a = se a < 0. 1 = 1 = a = + e +a = per ogni a R. + + = + e =. (+ ) a = + se a > 0 mentre (+ ) a = 0 se a < 0. ( ) a è ben definito se a = p con q dispari. In tal caso q ( )a = + se p è pari e ( ) a = altrimenti. a 0 = 1, a + = + se a > 1 a + = 0 se a < 1. Le espressioni sono indeterminate. 0 0,,, a 0, 1±, ( ) 0, 0 Con questa aritmetica vale il seguente Teorema 1. Date f(x) e g(x) supponiamo che esistano i limiti lim x x0 f(x) e lim x x0 g(x). Allora vale: lim (f(x) + g(x)) = lim f(x) + lim g(x) x x 0 x x0 x x0 lim f(x) g(x) == lim f(x) lim g(x) x x 0 x x0 x x0 f(x) lim x x 0 g(x) = lim x x 0 f(x) lim x x0 g(x) lim (f(x)) g(x) = ( lim f(x)) limx x 0 g(x) x x 0 x x0 in tutti i casi in cui il secondo membro non è una forma indeterminata. Un altra formula molto importante è la formula di composizione (o equivalentemente di cambio di variabile)

7 APPUNTI SU FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE E LORO LIMITI 7 Proposizione 4. Siano f(x) e g(x) due funzioni. Supponiamo che per un qualche x 0 R esista il limite: lim x x0 f(x) = l R supponiamo inoltre che esista un intorno I x0 tale che f(x) l per ogni x (I x0 D) \ {x 0 }. Allora lim g(f(x)) = lim g(y) x x 0 y l ogni qual volta uno di questi due limiti esista.