Topologia della retta reale. Concetto intuitivo di limite. Definizioni di limite. Teoremi sui limiti. Applicazioni. Angela Donatiello 1

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Rosa Napolitano
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1 Topologia della retta reale. Concetto intuitivo di ite. Definizioni di ite. Teoremi sui iti. Applicazioni. Angela Donatiello

2 TOPOLOGIA DELLA RETTA REALE Esiste una corrispondenza biunivoca tra l insieme R dei numeri reali e i punti de una retta orientata r, detta retta reale. Possiamo cioè identificare ogni sottoinsieme di R con un sottoinsieme di punti della retta. Un intervallo è un sottoinsieme di punti che corrisponde ad una semiretta (intervallo ilitato) o ad un segmento (intervallo itato) della retta. [ [ a, ] [ a, ] ],b { R { R { R > a} a} b} ],b[ { R < b} [a,b] { R a [ [ a,b ] ] a,b { R a { R a < b} ] a,b[ { R a < < b} < b} b} b a raggio dell intervallo b a ampiezza dell intervallo b a centro dell intervallo Angela Donatiello

3 INSIEMI LIMITATI E ILLIMITATI M R : A, Un insieme A è itato superiormente Il numero M è detto un maggiorante dell insieme A M Un insieme A è itato inferiormente Il numero m è detto un minorante dell insieme A m R : A, m Un insieme si dice itato se è itato sia inferiormente che superiormente, ossia se esiste un intervallo itato che lo contiene. n A,n N n ,,,,,, Esempio. A tutti gli elementi sono maggiori di 0 e minori di, pertanto l insieme è itato. 0 è un minorante e è un maggiorante dell insieme. Angela Donatiello 3

4 Un insieme A si dice ilitato superiormente M R, A, > M Un insieme si dice ilitato inferiormente m R, A, < m Un insieme si dice ilitato se è ilitato sia superiormente che inferiormente Una funzione si dice ilitata/itata se lo è il suo codominio. Angela Donatiello 4

5 ESTREMI DI UN INSIEME DEF. Dato un insieme A superiormente itato, si dice estremo superiore di A, quel numero reale M, se esiste, tale che: ) M, A ) ε > 0, A : > M ε M sup (A) è un maggiorante di A ed è il più piccolo dei maggioranti Se sup( A) A sup(a) ma(a) DEF. Dato un insieme A inferiormente itato, si dice estremo inferiore di A, quel numero reale m, se esiste, tale che: ) m, A ) ε > 0, A : < m ε m inf (A) è un minorante di A ed è il più grande dei minoranti Se inf( A) A inf(a) min(a) Angela Donatiello 5

6 OSS. L estremo superiore(inferiore) o il massimo(minimo) di una funzione sono l estremo superiore(inferiore) o il massimo(minimo) del suo codominio. PROPRIETA : Se l insieme A è totalmente ordinato, allora l estremo superiore e l estremo inferiore, se esistono, sono unici. INTORNO DI UN PUNTO Def. Dato un numero reale 0, si chiama intorno completo di 0 un qualunque intervallo aperto I contenente 0. I ] δ, δ [ con δ δ R 0 0, Nel caso in cui δ δ δ allora si parla di intorno circolare di centro 0 e raggio δ δ δ ] δ, δ[ δ < < δ δ < < δ < δ Angela Donatiello 6

7 Oss. L intersezione e l unione di due o più intorni di 0 è ancora un intorno di 0. INTORNO DESTRO E INTORNO SINISTRO ] 0, 0 δ[ ] δ, [ I (0) intorno destro di 0 I (0) 0 0 intorno sinistro di 0 INTORNI DI INFINITO Intorno di meno infinito: un qualunque intervallo aperto ilitato inferiormente: I ( ) ] ;a[ { R < a} Intorno di più infinito: un qualunque intervallo aperto ilitato superiormente: I ( ) ] a; [ { R > a} Angela Donatiello 7

8 PUNTO DI ACCUMULAZIONE E PUNTO ISOLATO Il punto 0 è detto punto di accumulazione per l insieme A, se ogni intorno completo di 0 contiene infiniti punti di A è di accumulazione per A I I( ),I A \{ } Esempio. A,n N n Per questo insieme l unico punto di accumulazione è 0 0, anche se lo zero non appartiene all insieme stesso. Tutti gli altri punti dell insieme A vengono invece detti punti isolati. Angela Donatiello 8

9 Def. Insieme Derivato l insieme dei punti di accumulazione di un insieme A è detto insieme derivato di A e viene indicato con A Def. Un punto 0 è detto punto isolato per l insieme A se esiste almeno un intorno di 0 che non contiene elementi di A diversi da 0. 0 è punto isolato per A I I( I I( 0 ),I A { 0 } 0 ),I A \{ 0 } Def. Punto Interno Un punto a si dice interno per l insieme A se esiste un intorno sferico (circolare) di a tutto contenuto in A Def. Insieme Aperto Un insieme si dice aperto se tutti i suoi punti sono punti interni Def. Insieme Chiuso Un insieme si dice chiuso se il suo complementare è un insieme aperto Angela Donatiello 9

10 Def. Punto Esterno Un punto 0 si dice esterno per l insieme A se esiste un intorno sferico di 0 tutto contenuto nel complementare di A ( 0 è un punto interno del complementare di A) Def. Punto di Frontiera Un punto a si dice di frontiera per l insieme A se ogni intorno sferico di a ha intersezione non nulla sia con A che con il complementare di A Nota: è un punto che non è né esterno né interno Def. Frontiera La frontiera di un insieme A è l insieme costituito da tutti i punti di frontiera di A. Si indica con A. Nota. A unita con A è il più piccolo insieme chiuso che contiene A e prende il nome di chiusura di A. Angela Donatiello 0

11 0 f () l Approccio intuitivo al concetto di ite Man mano che tende al punto 0, la funzione tende al valore l. 3 f() 3-f() 0,967778, , ,976555, , ,985666, , ,986777, ,067 0,994567, , ,99999,99998 E-05 f() f()-3, , ,04746, ,0364 0,0364, ,0036 0,0036, ,0004 0,0004,0000 3, ,4E-05, ,00000 E-06 Angela Donatiello

12 Angela Donatiello y 3 3

13 Angela Donatiello 3 y

14 y log( ) ± log( ) 0 ± log( ) Angela Donatiello 4

15 Definizione di ite finito in un punto ( 0 finito, l finito) f () l I' I( l), I I(0) : I D \{0} f () I' 0 ε > 0, δε > 0 :, 0 < δε f () l < ε f () l < ε ε < f () l < ε l ε < f () < l ε Cioè f() cade in un intorno circolare di l Angela Donatiello 5

16 Definizione di ite finito all infinito ( 0, l finito) f () l I' I( l), I I ( ) : I D f () I' ε > 0, N > 0 : : > N f () l < ε y l è detto ASINTOTO ORIZZONTALE Angela Donatiello 6

17 Definizione di ite finito all infinito ( 0, l finito) f () l I' I( l), I I( ) : I D f () I' ε > 0, N > 0 : : < N f () l < ε y l è detto ASINTOTO ORIZZONTALE y Angela Donatiello 7

18 Limite infinito in un punto ( 0 finito, l ) f () I' I ( ), I I(0) : I D \{0} 0 f () I' M > 0, δ > 0 :, 0 < δ f () > ε ε M 0 è ASINTOTO VERTICALE Angela Donatiello 8

19 Limite infinito in un punto ( 0 finito, l ) f () I' I( ), I I(0) : I D \{0} 0 f () I' M > 0, δ > 0 :, 0 < δ f () < M ε ε 0 è ASINTOTO VERTICALE Angela Donatiello 9

20 Limite infinito all infinito ( 0 ±, l ± ) f () f () f () I' I ( ), I I ( ) : I D f () I' M > 0, N > 0 :, > N f () > M I' I( ), I I ( ) : I D f () I' M > 0, N > 0 :, > N f () < M I' I ( ), I I( ) : I D f () I' M > 0, N > 0 :, < N f () > M f () I' I( ), I I( ) : I M > 0, N > 0 :, < N D f () I' f () < M Angela Donatiello 0

21 Limite destro e ite sinistro f () l I' I( l), I I (0) : I 0 ε > 0, δε > 0 :,0 δε < < 0 f () l D f () I' Va scelto un intorno sinistro del punto I ( ) ] δ, [ f () l I' I( l), I I (0) : I 0 ε > 0, δε > 0 :,0 < < 0 δε f () l Va scelto un intorno destro del punto I ( ) ], δ[ D f () I' < ε < ε Angela Donatiello

22 f () I' I( ), I I (0) : I D f () I' 0 M > 0, δε > 0 :,0 δε < < 0 f () < M f () I' I ( ), I I (0) : I D f () I' 0 M > 0, δε > 0 :,0 < < 0 δε f () > M Angela Donatiello

23 Limite per eccesso e per difetto I' I ( l), I I(0) : I f () l D \{0} f () I' 0 ε > 0, δε > 0 :, 0 < δ ε l < f () < l ε Esempio y (-) ( ) 0 f () l I' I ( l), I I(0) : I D \{0} f () I' 0 ε > 0 0, δε > 0 :, < δε l ε < f () <l Esempio y (- ) ( ) 0 0 Angela Donatiello 3

24 Esistenza del ite 0 f () l 0 0 f () f () l l Non sempre il ite di una funzione esiste non esiste!!! Esistono il ite 0 destro e sinistro, ma sono diversi!!!! 0 0 Angela Donatiello 4

25 OSS. Non è necessario che la funzione sia definita nel punto a cui tende la. La cosa importante è che questo valore sia un punto di accumulazione del dominio della funzione. OSS. Se una funzione è pari ed 0 0 basta dimostrare l esistenza del ite destro affinché esista il ite. y f ()pari f ( ) f () f () f ( ) f () Esempio: ± sen() non esiste ± cos() non esiste In quanto y sin e y cos sono funzioni oscillanti Angela Donatiello 5

26 TEOREMI SUI LIMITI Teorema di unicità del ite (dim. svolta in aula) Hp: f () 0 l Th: l è unico Teorema del confronto (dim. svolta in aula) g() l Hp: ) 0 ) h() l 0 3) I I(0) : g() f () h() Th: f () 0 l Angela Donatiello 6

27 Applicazioni ± cos tale ite non posso calcolarlo in maniera immediata, in quanto y cos è una funzione oscillante, pertanto non ammette ite all infinito Per poterlo calcolare bisogna ricorrere al teorema del confronto: Inoltre 0 ± confronto 0 ± cos cos 0 ± cos per il teorema del Angela Donatiello 7

28 Esempio sin 0 0 La funzione è pari, per cui dimostriamo il ite destro con il teorema del confronto Angela Donatiello 8

29 Teorema della permanenza del segno (dim. svolta in aula) Hp: ) ) l > 0 ( < 0 f () l 0 Th: I I(0) : I f () > 0 l ) ( f () < 0) Teorema inverso (dim. svolta in aula) D f () l Hp: ) 0 ) I I(0) f () 0 Th: l 0 Angela Donatiello 9

30 LIMITE NOTEVOLE T sen 0 Per dimostrare questo ite bisogna ricorrere al teorema del confronto P La funzione è pari, quindi dimostro il ite destro, mi pongo cioè in un intorno destro di 0 Considero come intorno destro di 0 l intervallo aperto 0, π. In tale intervallo sicuramente sin > 0 sen sen < < tg < < cos < < sen cos sen cos 0 0 Essendo la funzione pari 0 0 sen 0 Angela Donatiello 30 O H sen A

31 sen ~ (passaggio all asintotico) Angela Donatiello 3

32 Continuiamo a studiare la funzione ± sen 0 sen y D], 0[ ] 0, [ sen y funzione pari sen se allora è una quantità positiva, per cui sen 0 e 0 per il teorema del confronto ± sen 0 Angela Donatiello 3

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