Studio Qualitativo di Funzione

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Cosimo Gatto
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Studio Qualitativo di Funzione Reperire un certo numero di informazioni, per descrivere a livello qualitativo l andamento di una funzione y = f() : 1. campo di esistenza ( insieme di definizione ) 2.

1 Studio Qualitativo di Funzione Reperire un certo numero di informazioni, per descrivere a livello qualitativo l andamento di una funzione y = f() : 1. campo di esistenza ( insieme di definizione ) 2. segno: per quali risulta f() 0? 3. intersezioni con gli assi: (0,f(0)), per quali risulta f() = 0 4. comportamento agli estremi del campo di esistenza 5. continuità 6. monotonia 7. massimi e minimi 8. grafico qualitativo

2 Campo di Esistenza CAMPO DI ESISTENZA (insieme di definizione) è l insieme di tutti i punti nei quali la funzione è definita. Nel caso di una funzione composta si detemina, caso per caso, tenendo conto degli insiemi di definizioni delle funzioni base con le quali la funzione è stata costruita. ESEMPIO data la funzione y = 1 log(4 2 ) = f() il logaritmo è definito per 4 2 > 0 ( 2,+2) il denominatore deve essere diverso da zero log(4 2 ) ± 3 il campo di esistenza di y = f() è l unione dei tre intervalli ( 2, 3), ( 3,+ 3), (+ 3,+2) ( 2, 3) ( 3,+ 3) (+ 3,+2)

3 Comportamento agli Estremi Se il campo di esistenza D è costituito dall unione di più intervalli (itati o ilitati) occorre prendere in considerazione separatamente gli estremi di ognuno di questi intervalli. se gli estremi appartengono a D, si calcola semplicemente il valore della funzione in tali punti. ESEMPI f() =, D = [0,+ [, f(0) = 0 = 0 f() = (1 ), D = [0,1], f(0) = 0 = 0, f(1) = 0 se gli estremi non appartengono a D è si intoduce il concetto di ite ESEMPI log(4 2 )

4 Limite Destro a + quando la variabile assume valori vicini ad a (sempre maggiori di a ), i corrispondenti valori della f() si avvicinano sempre più al valore L. scelta di ε scelta di δε y y y = f () y = f () L + ε L + ε L L L - ε L - ε O a O a a + δε a + f() = L (ite destro finito) si dice che f() tende al ite L per che tende ad a da destra se, per ogni ε > 0, esiste un δ ε > 0 tale che f() L < ε per ogni (a, a+δ ε ). ESEMPI: (1) = 0, (2) + = +1.

5 Limite Sinistro b quando la variabile assume valori vicini a b (sempre minori di b), i corrispondenti valori della f() si avvicinano sempre più al valore L. scelta di ε scelta di δ ε y y y = f () y = f () L + ε L + ε L L L - ε L - ε O b O b - δ ε b b f() = L (ite sinistro finito) si dice che f() tende al ite L per che tende a b da sinistra se, per ogni ε > 0, esiste δ ε > 0 tale che f() L < ε per ogni (b δ ε, b). ESEMPI: (1) 1 1 = 0, (2) = 1.

6 Limiti per 0 se la funzione possiede sia il ite destro che il ite sinistro nel punto 0 e se entrambi sono uguali al valore L si dice che f() = L 0 (ite finito) quando la variabile assume valori vicini ad 0 (diversi da 0 ), i corrispondenti valori della f() sono vicini al valore L. si dice che f() tende al ite L per che tende ad 0 se, per ogni ε > 0, esiste un δ ε > 0 tale che f() L < ε per ogni ( 0 δ ε, 0 +δ ε ) con 0. ESEMPI: (1) 3 (5 9) = 6, (2) = 2

7 Limiti per + quando la variabile cresce arbitrariamente, i corrispondenti valori della f() sono vicini al valore L. y y = f () scelta di ε y y = f () scelta di ε L + ε L L + ε L L - ε L - ε O O ε f() = L + ESEMPI: (1) + +1 (ite finito) = 1, (2) + e = 0 [ ε = logε].

8 Ancora un ite quando la variabile assume valori vicini ad 0 (diversi da 0 ), i corrispondenti valori della f() crescono arbitrariamente. y scelta di M y scelta di δ M M M y = f () y = f () O δ M O + 0 δ M f() = + 0 ite infinito 1 ESEMPI: (1) 2 = + [δ M = 1 ]. M

9 0 f() il ite di una funzione può non esistere: f() =, 0. Non esiste il ite per 0. Infatti = +1 e = 1 +f() f() (ite destro e ite sinistro diversi). f() = 1, 0. Non esiste il ite per 0. Infatti = + e = +f() f() (iti destro e sinistro infiniti di segno opposto). funzione di Dirichlet. Non esiste il ite per 0.

10 Osservazioni - Limiti per 0 poichè nella definizione di ite 0, non ha alcuna importanza l eventuale valore assunto dalla funzione nel punto 0 f() = g() = { 2 per 0 1 per = per 0 0 per = 0 f(0) = 1 e f() = 0 f(0) = 0 e g() = +

11 Ampliamento di Ê Ci chiediamo ora cosa succede alle operazioni aritmetiche sui iti quando i iti non sono finiti, in altre parole ci chiediamo se possiamo dare un significato ad alcune operazioni in cui compaia l infinito. OPERAZIONI: per c Ê si possono definire le operazioni c = +, +c = (Questo significa che qualunque sia la funzione f(), che per 0 tende a +, e qualunque sia la funzione g(), che per 0 tende a c, allora f()+g() per 0 tende a + e analogamente per ) = +, = 3. (+ ) (+ ) = +, (+ ) ( ) =, ( ) ( ) = + c 4. ± = 0 (tutte le operazioni precedenti sono commutative). 5. se inoltre c 0 { + se c > 0 (+ ) c = ( ) c = se c < 0 { se c > 0 + se c < 0

12 Forme Indeterminate FORME INDETERMINATE: restano inderterminate le operazioni +, 0 (± ), ± ±, 0 0, ± 0 Cosa significa per esempio che 0 0 è una forma indeterminata? Significa che se per 0 f() e g() tendono a 0, da questa f() unica informazione non si può concludere il comportamento di g() al tendere di a 0. Esempio : 0 = 0 f() =, g() = 3, h() = 2 si ha che sia f() che g() per 0 tendono a 0 f() g() h() tende +, tende 0, tende 2, g() f() f()

13 Operazioni sui Limiti Il ite della somma, differenza, prodotto, quoziente di due funzioni risulta rispettivamente uguale alla somma, differenza, prodotto, quoziente (se il denominatore è diverso da zero) dei due iti, purchè non sia una delle forme indeterminate. Se f() = α Ê, g() = β Ê 0 0 SOMMA: PRODOTTO: QUOZIENTE: VALORE ASSOLUTO: [f()+g()] = α+β 0 f() g() = α β f() = 1 α f() = α 0 Tale risultato continua a valere anche se +, o + 0, 0. allora si ha:

14 Limite di Funzione Composta LIMITE DI FUNZIONE COMPOSTA: siano y = f(), z = g(y) due funzioni, per cui abbia senso z = g(f()), tali che: f() = y 0, 0 g(y) = L y y0 e f() y 0 in un intorno di ( 0 ρ, 0 +ρ), allora si ha che: g(f()) = L. 0 ESEMPI: + e5+3 = +, log(3+1) = 0, + 1 (e ) 2 = +.

15 Limiti Fondamentali dati i due polinomi, rispettivamente di grado p e q, P() = a p p +a p 1 p 1 + a 1 +a 0 Q() = b q q +b q 1 q 1 + b 1 +b 0 si ha: a p se p = q ESEMPI: + ESEMPI: = 4 7 P() + Q() = se p < q b q + se p > q e a p b q > 0 se p > q e a p b q < = 0 + e 3 +5e 2e 3 e 2 +4 lo risolvo ponendo t = e = +.

16 Limiti Fondamentali LIMITE 1: log(+1) = 1. LIMITE 4: p + a = 0, p, a > 1 Æ LIMITE 5: LIMITE 2: LIMITE 3: + a = e 1 = 1. { 0 se 0 < a < 1 1 se a = 1 + se a > 1. + p b = 0, p Æ, 0 < b < 1 LIMITE 6: log p = 0, p, α > 0. + α Æ LIMITE 7: α log p = 0, p Æ, α > 0. +

17 Funzioni Continue CONTINUITÀ IN UN PUNTO: la funzione y = f() si dice continua nel punto 0 se ovvero + 0 f() = f( 0 ) 0 f() = 0 f() = f( 0 ) CONTINUITÀ IN UN INTERVALLO: la funzione y = f() è continua in un intervallo [a, b] se: f() = f( 0 ), 0 (a, b), f() = f(a) e f() = f(b). 0 a + b GRAFICAMENTE: una funzione definita su un intervallo è continua se è possibile disegnarne il grafico con un tratto continuo, senza staccare la penna dal foglio.

18 Funzioni Continue - Operazioni SOMMA, PRODOTTO, QUOZIENTE Dalle proprietà delle operazioni sui iti segue che la somma, il prodotto e il quoziente di funzioni continue è una funzione continua. Dunque se y = f(), y = g() sono continue in 0, ovvero f() = f( 0 ) 0 e g() = g( 0 ), si ha: 0 1. y = f()+g() è continua in 0 ovvero (f()+g()) = f( 0 )+g( 0 ) y = f()g() è continua in 0 ovvero (f()g()) = f( 0 )g( 0 ) y = f() g() è continua in f() 0 ovvero 0 g() = f( 0) g( 0 ), ( i denominatori devono essere diversi da zero ). FUNZIONE INVERSA Se f è continua ed invertibile allora anche la funzione inversa f 1 risulta continua.

19 Funzioni Continue - Esempi risultano continue nei rispettivi campi di esistenza: 1. le funzioni potenza ad esponente reale y = b 2. i polinomi P() = a 0 +a 1 + +a n n 3. le funzioni razionali (quozienti di due polinomi) 4. le funzioni esponenziali y = a e le loro inverse (le funzioni logaritmiche y = log a ) 5. le funzioni sin, cos, tan,... e le loro inverse 6.

20 Continuità della Funzione Composta FUNZIONE COMPOSTA: supponiamo che: y = g() continua in 0, ovvero 0 g() = g( 0 ) y = f() continua in y 0 = g( 0 ), ovvero y y0 f(y) = f(y 0 ) allora f g è continua in 0, ovvero ESEMPI : f(g()) = f(g( 0 )). 0 y = 3 7+e, y = log 10 (9+e 1 ) sono continue ove sono definite

21 Limite di Funzioni Composte Cosa si può dire del ite della funzione composta e della continuità della funzione composta? e = 2, log 10 (9+e 1 ) = usando la continuità della funzione y = posso dire: + 3. dovendo calcolare il ite: = + e 3 +5e 2e 3 e 2 +4 faccio il seguente cambio di variabile: t = e, al calcolo del ite: t + t 3 +5t 2t 3 t = 2 t = + + e e mi riconduco

22 Esempi di Discontinuità ESEMPIO 1: f() f(0) { y = 2 se 0 1 se = 0 f() = 0, f(0) = 1. ESEMPIO 2: f() f() + { 1 se < 0 y = +1 se 0 f() = 1, f() = ESEMPIO 3: f() f() + { y = 2 se se > 0 f() = 0, f() = 1. + ESEMPIO 4: = + 1 se 0 y = 2 0 se = 0 ESEMPIO 5: ± f() = ± 1 se 0 y = 0 se = 0

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