Prefazione LUCIANO ROMANO

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2 3 Prefazione Il testo, rivolto agli studenti universitari che si apprestano ad affrontare l esame di Analisi Matematica, propone un iniziale parte teorica e suggerimenti sulla risoluzione della vasta gamma di argomenti trattati: iti, continuità e calcolo differenziale di funzioni esplicite ed implicite di una variabile reale. Particolare attenzione è posta alle derivate, da alcuni considerate (a torto) uno degli argomenti più semplici dell Analisi Matematica, ma le cui applicazioni anche ad altre discipline ad essa strettamente correlate sono notevoli. Per questo motivo, il volume, oltre a fornire esercizi sulle tecniche di risoluzione delle derivate, dedica un ultimo capitolo ad una serie di problemi in cui i concetti di calcolo differenziale sono applicati alla geometria e alla fisica. Con l augurio che l utilizzo di questo testo possa risultare proficuo a coloro che ne faranno uso, e con l invito ai lettori tutti di voler fornire utili e preziosi suggerimenti, ringrazio vivamente l Editore che ha curato la veste tipografica e la pubblicazione del testo. LUCIANO ROMANO Prefazione

3 Indice dei simboli > maggiore < minore maggiore o uguale minore o uguale diverso da circa uguale a ± più o meno infinito tende a per ogni appartiene non appartiene unione tra insiemi intersezione tra insiemi sottoinsieme proprio sottoinsieme non è sottoinsieme implicazione doppia implicazione N insieme dei numeri naturali R insieme dei numeri reali n! n fattoriale log a ( ) logaritmo in base a ln( ) logaritmo neperiano e numero di Nepero sgn funzione segno ite f'( ) Df [ ( ) ] dy d f (,y) f y (,y) derivata prima della funzione derivata parziale della funzione rispetto a derivata parziale della funzione rispetto a y sommatoria

4 Limiti di funzioni reali di una variabile reale 5. Definizione di ite Sia data la funzione f() definita nell insieme X e sia 0 un punto di accumulazione per X; si dice che il ite di f() per che tende a 0 è l e si scrive: f ( ) = l 0 se, fissato ad arbitrio un numero ε > 0 esiste un numero δ ε > 0 tale che se 0 < 0 < δ ε, cioè 0 δε < < 0+ δ, allora: ε f ( ) l<ε cioè: l ε < f() < l ε In altri termini: fissato ad arbitrio un intorno J di l, esiste un intorno I di 0 tale che I { 0 }, f() J. La definizione si generalizza facilmente ai casi di 0 e di l infiniti; ad esempio si consideri il ite finito per tendente ad infinito: f ( ) = l ε> 0 K > 0 > K, f ( ) l< ε + ε ε. Teoremi sui iti Nel calcolo dei iti di funzioni, è utile tener presente i seguenti teoremi: TEOREMA I (UNICITÀ DEL LIMITE) Se, al tendere di ad 0 R, la funzione y = f() tende al ite l R, questo ite è unico. TEOREMA II (PERMANENZA DEL SEGNO) Se, al tendere di ad 0 R, la funzione y = f() tende al ite l 0, esiste un intorno di 0 in cui (escluso al più 0 ) la funzione assume lo stesso segno del suo ite. Viceversa, se al tendere di ad 0, la funzione y = f() tende al ite l e se esiste un intorno di 0 (escluso 0 ) in cui la funzione assume segno costante, il ite sarà o dello stesso segno della funzione o nullo. TEOREMA III (CONFRONTO O «DEI DUE CARABINIERI») Date le tre funzioni y = f (), y = f (), y = f 3 () definite, rispettivamente, negli insiemi F, F, F 3, se è: F = F F F 3 se, inoltre, risulta, per F: f () < f () < f 3 () e se, infine, indicato con 0 un punto di accumulazione di F, risulta: f( ) = f ( ) = l Limiti di funzioni reali di una variabile reale

5 6 sarà anche: f ( ) = l 0 TEOREMA IV (FUNZIONE OPPOSTA) Se, al tendere di ad 0 R, la funzione y = f() tende al ite l, avremo anche: [ f ( )]= l 0 TEOREMA V (VALORE ASSOLUTO) Se, al tendere di ad 0 R, la funzione y = f() tende al ite l, il valore assoluto della funzione tenderà al valore assoluto del ite, cioè: f ( ) = l 0.3 Operazioni sui iti e forme indeterminate ) LIMITE DELLA SOMMA Date le due funzioni y = f() e y = g() definite rispettivamente negli insiemi A e B, con A B, se, indicato con 0 un punto di accumulazione per A B, risulta: Limiti, continuità, calcolo differenziale per funzioni di una variabile reale allora è anche: f ( ) = l e g ( ) = l 0 0 [ f ( ) + g ( )]= f ( ) + g ( ) = l + l In altri termini: il ite della somma di due funzioni è uguale alla somma dei iti di ciascuna funzione. ) LIMITE DELLA DIFFERENZA Date le due funzioni y = f() e y = g() definite rispettivamente negli insiemi A e B, con A B, se, indicato con 0 un punto di accumulazione per A B, risulta: allora è anche: f ( ) = l e g ( ) = l 0 0 [ f ( ) g ( )]= f ( ) g ( ) = l l In altri termini: il ite della differenza di due funzioni è uguale alla differenza dei iti di ciascuna funzione. 3) LIMITE DEL PRODOTTO Date le due funzioni y = f() e y = g() definite rispettivamente negli insiemi A e B, con A B, se, indicato con 0 un punto di accumulazione per A B, risulta: f ( ) = l e g ( ) = l 0 0

6 allora è anche: [ f ( ) g ( )]= f ( ) g ( ) = l l 7 In altri termini: il ite del prodotto di due funzioni è uguale al prodotto dei iti di ciascuna funzione. 4) LIMITE DELLA FUNZIONE RECIPROCA Data la funzione y = f() definita nell insieme A, se, indicato con 0 un punto di accumulazione per A, risulta: f ( ) = l 0 0 allora è anche: = 0 f ( ) l In altri termini: il ite del reciproco di una funzione è uguale al reciproco del ite della funzione. 5) LIMITE DEL QUOZIENTE Date le due funzioni y = f() e y = g() definite rispettivamente negli insiemi A e B, con A B, se, indicato con 0 un punto di accumulazione per A B, risulta: f ( ) = l e g ( ) = l 0 0 con l e l numeri finiti e l 0, allora è anche: f ( ) f ( ) 0 l = = 0 g ( ) g ( ) l 0 In altri termini: il ite del quoziente di due funzioni è uguale al quoziente dei iti di ciascuna funzione. 6) LIMITE DELLA POTENZA Data la funzione y = f() definita nell insieme A, se, indicato con 0 un punto di accumulazione per A, risulta: allora è anche n N: f ( ) = l 0 [ n n f ( ) ] = l 0 In altri termini: il ite della potenza di una funzione è uguale alla potenza del ite della funzione. 7) LIMITE DELLA RADICE Data la funzione y = f() definita nell insieme A, se, indicato con 0 un punto di accumulazione per A, risulta: f ( ) = l 0. Limiti di funzioni reali di una variabile reale

7 8 se 0 è di accumulazione anche per l insieme di definizione della funzione n f ( ), con n N, n > 0 allora è anche: n n f ( ) = n f ( ) = l 0 0 In altri termini: il ite della radice di una funzione è uguale alla radice del ite della funzione. 8) LIMITE DELLE FUNZIONI COMPOSTE Date le due funzioni y = f() e z = g(y) definite rispettivamente negli insiemi X e Y, con f(x) Y ; sia, inoltre, z = g f( ) ( ) la funzione composta dalle funzioni f e g definita nell insieme A = f(x) Y; se, indicato con 0 un punto di accumulazione per A, risulta: a) f ( ) = y 0 b) gy ( ) = l y y 0 0 c) f() y 0 intorno a 0 (f non assume il valore y 0 costantemente intorno a 0 ) allora è anche: gf ( ( )) = gy ( ) = l 0 y y0 Limiti, continuità, calcolo differenziale per funzioni di una variabile reale In particolare, l ipotesi c) è senz altro verificata se la funzione f è monotòna in senso stretto a sinistra e a destra di 0, ipotesi sempre verificata se f è elementare. Tale teorema costituisce una generalizzazione dei precedenti. Nelle ipotesi del teorema, dunque, l operatore può entrare all interno delle funzioni composte, rendendone più agevole il calcolo del ite. Indicate con f() e g() due funzioni che soddisfino le ipotesi del teorema 8), vediamo i seguenti notevoli esempi: I) se A, log f ( ) = log f ( ) a a 0 0 II) sen f ( ) sen f ( ) [ ]= 0 0 g III) f ( ) = f ( ) 0 se f() e g() convergono entrambe in 0 0 0, non sono ivi entrambe infinitesime e ( ) > 0. ( ) ( ) g f 0 I teoremi ) e ) si possono estendere, in generale, anche ai casi in cui l e l non siano entrambi finiti; l unica eccezione è costituita dal caso in cui il ite risultante si presenti come differenza di due infiniti, cioè nella forma, la quale può assumere qualsiasi valore (o, anche, non tendere ad alcun valore) e che, per questo, possiamo definire come prima forma indeterminata. Allo stesso modo, il teorema 3) sul prodotto dei iti è valido in generale anche nei casi in cui i due iti l e l siano infiniti o nulli; l unica eccezione è costituita dal caso in cui il ite risultante si presenti nella forma 0, sulla quale, come per la precedente, nulla si può dire; definiamo tale espressione come seconda forma indeterminata. Se dal teorema 5) si rimuovono le ipotesi di l e l finiti e l 0, la tesi, con le ovvie estensioni, continua in generale a sussistere, fatta eccezione per il caso in cui il ite risultante si presenti

8 9 nella forma 0 0, detta terza forma indeterminata, oppure, detta quarta forma indeterminata, sulle quali nulla si può dire. Anche l esempio III) si può generalizzare ai casi di iti infiniti, fatta eccezione per i casi in cui il ite risultante si presenti in una delle seguenti forme, sulle quali nulla si può dire: 0 0, detta quinta forma indeterminata, 0, detta sesta forma indeterminata,, detta settima forma indeterminata. Anche se abbiamo individuato sette forme indeterminate, con opportune semplici manipolazioni algebriche, tali forme possono tutte ricondursi alle due forme indeterminate fondamentali 0 0 e, utili per l applicazione del teorema di L Hospital, che verrà presentato a valle dello studio delle derivate nel capitolo terzo. Ad esempio, se le funzioni f() e g() sono entrambe infinite in 0, si effettua la trasformazione: g ( ) f ( ) f ( ) g ( ) = f ( ) g ( ) e, se f() è infinita e g() infinitesima: g ( ) f ( ) g ( ) = f ( ) sicché anche la terza forma indeterminata si riconduce alla seconda. Si riportano di seguito alcuni iti fondamentali che si presentano in forma indeterminata, ai quali è possibile spesso ricondursi anche nello studio delle funzioni, e che sono tutti dimostrabili per via elementare, cioè, senza adoperare il calcolo differenziale, ad esempio, il teorema di L Hospital. A tale teorema, infatti, è opportuno ricorrere solo quando necessario, cioè quando il calcolo del ite indeterminato non è, in qualche modo, semplificabile o riconducibile a quello di uno dei seguenti. LIMITI FONDAMENTALI sen = cos = cos = 0 y + e = + e = log ( ) a + = 0 ln a ( ) = ln + 0 a = lna 0 e + = 0 0 ( ) α = α y α R. Limiti di funzioni reali di una variabile reale

9 0.4 Esercizi sui iti Esercizio n Tale ite si presenta nella forma indeterminata, per einarla effettuiamo la sostituzione: 6 6 = t = t tenendo presente che t + per +, si ottiene: t + t = + t + t = in quanto il numeratore è un polinomio di 3 grado, mentre il denominatore è un polinomio di 6 grado. Esercizio n..4. Limiti, continuità, calcolo differenziale per funzioni di una variabile reale Con la sostituzione: = t tenendo presente che t + per +, si ottiene: 3 + t + = = t + t Esercizio n = = dove si è utilizzato il ite fondamentale: + + = e + = = e

10 Esercizio n..4.4 ln + + Si utilizza ancora il ite fondamentale dell esercizio precedente: ln + ln l + = + + = n + lne + = = Esercizio n Dividendo per numeratore e denominatore della frazione in parentesi, si ottiene: + + = = + + Il ite al denominatore è ben noto e vale e; per quanto concerne il ite al numeratore, con la sostituzione: = t tenendo presente che t per +, si ottiene: donde il risultato: e + + = e = e t + = + t t = + t t Esercizio n..4.6 ln La forma indeterminata 0 si può risolvere con la sostituzione: 0 = t = t + infatti, tenendo presente che t 0 per, si ottiene: ln ln( t ) = + = t 0 t dove l ultimo ite è un ite fondamentale. t = e. Limiti di funzioni reali di una variabile reale

11 Esercizio n..4.7 e + t e e e + = = = + t 0 t dove si è effettuata la sostituzione: =t tenendo presente che t 0 per +. Esercizio n..4.8 ln( + ) ln + { [ ]} Limiti, continuità, calcolo differenziale per funzioni di una variabile reale { [ ln( + ) ln] }= ln = + ln = ln = lne = dove si è fatto ricorso ancora una volta al ite fondamentale: Esercizio n e + = 0 0 e Dividendo per numeratore e denominatore si ottiene: 0 0 ln ln e = e = 0 = dove si è tenuto conto del ite fondamentale: a = lna a > 0 0

12 Indice Generale Prefazione... Pag. 3 Limiti di funzioni reali di una variabile reale. Definizione di ite...» 5. Teoremi sui iti...» 5.3 Operazioni sui iti e forme indeterminate...» 6.4 Esercizi sui iti...» 0 Continuità di funzioni reali di una variabile reale. Funzioni continue...» 7. Punti di discontinuità...» 7.3 Esercizi...» 9 3 Derivate di funzioni reali di una variabile reale. Applicazioni 3. Definizione di derivata...» 4 3. Regole di derivazione...» Crescenza e decrescenza in un punto. Massimi e minimi relativi ed assoluti...» Teoremi sulle derivate. I teoremi di L Hospital...» Determinazione dei massimi e minimi di una funzione in un intervallo...» Derivate di funzioni implicite...» Derivate di funzioni in coordinate parametriche...» Esercizi sulle derivate...» Esercizi su iti calcolabili con l ausilio della regola di L Hospital...» Esercizi su massimi e minimi relativi ed assoluti...» Esercizi sulle derivate di funzioni implicite...» 9 4 Problemi di calcolo differenziale in geometria e fisica 4. Problemi di massimo e minimo applicati alla geometria...» Problemi di massimo e minimo applicati alla fisica...» 07

13 Cosa contiene il CD ROM Introduzione a Matlab di Robert Bucher (della Scuola Universitaria Professionale della Svizzera Italiana) Matlab è uno dei programmi scientifici di maggior diffusione, grazie alle sue numerose applicazioni in campi quali l elettronica, la controllistica, l analisi dei segnali, l elaborazione di immagini, la chimica, la statistica e numerosi altri. Viene utilizzato in molti corsi universitari e di ingegneria, e sono ormai numerose le pubblicazioni scientifiche che utilizzano l ambiente di Matlab quale sostegno matematico della teoria. Software free per il calcolo scientifico Programmi (completamente gratuiti) alternativi a Matlab Guida alle risorse Internet per gli studenti delle facoltà tecniche e scientifiche Una esaustiva raccolta di link alle risorse gratuite disponibili online Aggiornamenti, risorse, esercizi svolti sono disponibili al seguente indirizzo internet: