Daniela Tondini

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1 Daniela Tondini Facoltà di Medicina veterinaria C.L. in Tutela e Benessere Animale Università degli Studi di Teramo 1

2 a 0 < a < 1 a > = 0 = 0 0

3 Esempio 1 1 e 1) Determinazione del campo di esistenza (C.E.) C.E. = R = R : < < + L esponenziale è definita su tutto R il suo campo di esistenza coincide con quello del suo esponente che, nel caso specifico, è un polinomio definito su tutto R 3

4 1 e ) Studio del segno della funzione 1 0 e 0 l esponenziale è sempre positiva > 0 4

5 1 e 3) Intersezioni con gli assi 0 1 e intersezione con l asse, ovvero con la retta = e intersezione con l asse, ovvero con la retta = 0 5

6 1 e , A e e e e intersezione con l asse e mai non esistono intersezioni con l asse 6

7 1 e 4) Limiti agli estremi del C.E. C.E. = R = R : < < + lim lim lim 1 lim e e e 1 lim 1 lim e e e 1 7

8 1 e 5) Calcolo della derivata prima f f D e e D f ' D e e D 1 e e

9 1 e 6) Studio del segno della derivata prima e 0 sempre ( è un' esponenziale) 1 ' 0 e < 0 > 0 m 9

10 1 e 0 è un minimo per la funzione 0 e e 1 1 m 1 0, e A è un punto di minimo per la funzione 10

11 1 e 7) Grafico della funzione ma 11

12 Esempio 3 1 e 1) Determinazione del campo di esistenza (C.E.) C.E. = R = R : < < + L esponenziale è definita su tutto R il suo campo di esistenza coincide con quello del suo esponente che, nel caso specifico, è un polinomio definito su tutto R 1

13 3 1 e ) Studio del segno della funzione e 0 l esponenziale è sempre positiva > 0 13

14 3 1 e 3) Intersezioni con gli assi A 1 1 e e e 0, e intersezione con l asse e mai non esistono intersezioni con l asse 14

15 3 1 e 4) Limiti agli estremi del C.E. C.E. = R = R : < < + lim lim 3 3 lim 1 lim e e e lim lim e e e e 0 = 0 A.O. sinistro 15

16 3 1 e 5) Calcolo della derivata prima ' D e e D 1 e 3 3 e

17 3 1 e 6) Studio del segno della derivata prima ' 0 3 e e 0 sempre ( è un' esponenziale) > 0 sempre ( è un quadrato) sempre la funzione è sempre crescente non ha né massimi né minimi 17

18 3 1 e 7) Grafico della funzione = 0 18

19 Esempio 3 1 e 1) Determinazione del campo di esistenza (C.E.) C. E. : 1 0 : 1 : 1, 1 = 1 A.V. L esponenziale è definita su tutto R: il suo campo di esistenza coincide con quello del suo esponente che, nel caso specifico, è una frazione per cui bisogna imporre il denominatore diverso da zero 19

20 1 e ) Studio del segno della funzione 0 1 e 0 l esponenziale è sempre positiva > 0 0

21 1 e 3) Intersezioni con gli assi A e e e 1 0,1 intersezione con l asse e 0 mai non esistono intersezioni con l asse 1

22 1 e 4) Limiti agli estremi del C.E. C. E. : 1 0 : 1 : 1, 1 lim lim e e e e lim lim e e e e lim lim = e A.O. destro = e A.O. sinistro

23 1 e 5) Calcolo della derivata prima ' D e e D e 1 1 e e 1 1 3

24 1 e 6) Studio del segno della derivata prima e ' > 0 e 0 sempre ( è un' esponenziale) sempre sempre ( è un quadrato) sempre ( è un' esponenziale) la funzione è sempre crescente non ha né massimi né minimi 4

25 1 e 7) Grafico della funzione = e = 1 5

26 Esempio 4 e 1 1) Determinazione del campo di esistenza (C.E.) C. E. : 0 : 0 : 0,0 = 0 non è detto che sia A.V. L esponenziale è definita su tutto R: il suo campo di esistenza coincide con quello del suo esponente che, nel caso specifico, è una frazione per cui bisogna imporre il denominatore diverso da zero 6

27 e 1 ) Studio del segno della funzione 1 0 e 0 l esponenziale è sempre positiva > 0 7

28 e 1 3) Intersezioni con gli assi In = 0 la funzione non è definita: non esistono, quindi, intersezioni con l asse 0 0 A 0 e e e e 0,0 ma tale punto non esiste: non ci sono, quindi, A.V. 0 0 e 1 0 mai non esistono intersezioni con l asse 8

29 e 1 4) Limiti agli estremi del C.E. C. E. : 0 : 0 : 0,0 lim lim 1 1 lim 0 lim e e e 1 1 lim 0 lim e e e 1 1 = 1 A.O. destro = 1 A.O. sinistro 9

30 e 1 verifichiamo se la funzione interseca l asintoto 1 1 e e e e I 1,1 30

31 e 1 5) Calcolo della derivata prima ' D e e D e 1 1 e e 31

32 e 1 6) Studio del segno della derivata prima ' 0 0 e 0 1 e 0 sempre ( è un' esponenziale) sempre ( è un quadrato) sempre sempre sempre ( è un' esponenziale) sempre sempre 3

33 < 0 > 0 < 0 m M in = 0 la funzione non è definita: il minimo, cioè, non esiste 33

34 e 1 = è un Massimo per la funzione e e 1,8 M, e 1 4 punto di Massimo 34

35 e 1 = 1 7) Grafico della funzione M I 35

36 Esempio 5 1 e 1) Determinazione del campo di esistenza (C.E.) C. E. : 1 0 : 1 : 1,1 1 1 e e e = 1 A.V. 36

37 1 e ) Studio del segno della funzione 0 1 e 0 l esponenziale è sempre positiva > 0 37

38 1 e 3) Intersezioni con gli assi A e e e 1 0,1 intersezione con l asse e 0 mai non esistono intersezioni con l asse 38

39 1 e 4) Limiti agli estremi del C.E. C. E. : 1 0 : 1 : 1,1 lim 1 lim lim 1 e e e lim lim lim e e e e 0 = 0 A.O. sinistro 39

40 1 e 5) Calcolo della derivata prima 1 1 ' D e e D e e e

41 1 e 6) Studio del segno della derivata prima ' e 1 1 sempre ( è un' esponenziale) e 0 0 0, sempre ( è un quadrato) sempre sempre ( è un' esponenziale) sempre 41

42 > 0 < 0 > 0 M m 4

43 1 e = 0 = è un Massimo per la funzione è un minimo per la funzione e e e ,6 M 0,1 A punto di Massimo m, e punto di minimo 4 43

44 1 e 7) Grafico della funzione m M 0 = 0 = 1 44

45 Esempio 6 e 1) Determinazione del campo di esistenza (C.E.) C. E. : Il polinomio è definito su tutta la retta reale L esponenziale è definita su tutta la retta reale La funzione data è definita su tutta la retta reale 45

46 e ) Studio del segno della funzione 0 e 0 e 0 sempre ( è un quadrato) 0 sempre ( è un' esponenziale) > 0 46

47 e 3) Intersezioni con gli assi 0 0 A 0,0 O e 0e 0 intersezione con l asse ,0 e 0 e 0 mai B A O intersezione con l asse 47

48 e 4) Limiti agli estremi del C.E. C. E. : lim lim lim e lim e lim lim lim e lim e 0 f. i. 48

49 Osservazione Per le esponenziali tendono a zero più velocemente di tutte le potenze che, a loro volta, tendono a zero più velocemente delle logaritmiche lim lim e 0 = 0 A.O. destro 49

50 e 5) Calcolo della derivata prima ' ' D f g f g f g regola di derivazione di un prodotto ' D e D e D e e e 1 e 50

51 e 6) Studio del segno della derivata prima 0 0 ' 0 e 0 e 0 sempre ( è un' esponenziale) 0 0 sempre sempre 51

52 < 0 > 0 < 0 m M 5

53 e = 0 = è un minimo per la funzione è un Massimo per la funzione 0 0 m 0,0 A O e e M,4 punto di Massimo m 0,0 O punto di minimo 53

54 e 7) Grafico della funzione 4 M Om = 0 54

55 Esempio 7 1 e 1) Determinazione del campo di esistenza (C.E.) C. E. : 0 : 0,0 L esponenziale è definita su tutta la retta reale = 0 A.V. 55

56 1 e ) Studio del segno della funzione e 0 0 e 0 sempre ( è un' esponenziale) > 0 < 0 > sempre 56

57 1 e 3) Intersezioni con gli assi Non esistono intersezioni con l asse : in = 0, infatti, la funzione non è definita!!! A 1,0 e 0 mai mai e 0 intersezione con l asse 57

58 1 e 4) Limiti agli estremi del C.E. C. E. : 0 : 0,0 1 1 lim 1 lim lim e lim e e lim 1 0 e lim lim e lim e e = 0 A.O. destro 58

59 1 e 5) Calcolo della derivata prima ' D e D e De e e 1 1 e e e 59

60 1 e 6) Studio del segno della derivata prima ' 0 e 0 e 0 mai sempre ( è un' esponenziale) sempre 60

61 < 0 61

62 1 e 7) Grafico della funzione A 0 = 0 = 0 6

63 Osservazioni! Le funzioni esponenziali sono definite su tutto R Le funzioni esponenziali sono sempre positive Le funzioni esponenziali non presentano intersezioni con l asse delle 0 < a < a >