Una funzione reale di variabile reale è continua se si può disegnare senza staccare la matita dal foglio.

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Gennara Stefani
5 anni fa
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1 FUNZIONI CONTINUE

2 Una funzione reale di variabile reale è continua se si può disegnare senza staccare la matita dal foglio.

3 f x = x È una funzione continua

4 Non è una funzione continua

5 diciamo che y = f(x) è continua in x 0 se: allora risulta

6 Consideriamo una funzione reale di variabile reale y = f(x) Prendiamo un punto x 0 appartenente al dominio di f(x) x 0 D

7 Diciamo che f(x) è continua in x 0 se 1. esistono, e sono finiti, i due limiti sinistro e destro 2. i due limiti sinistro e destro coincidono tra loro, e in particolare coincidono con la valutazione della funzione f nel punto x 0 : = f x 0 =

8 Un altro modo per dire che la funzione y = f(x) è continua: se poniamo x = x 0 +h, con h variabile, allora la condizione di continuità si può esprimere In questo modo

9 Deduzioni 1. Esiste il valore della funzione nel punto x 0 2. Esiste ed è finito il limite della funzione per x x 0 3. Il limite coincide con il valore assunto dalla funzione nel punto

10 Se una funzione f(x) è continua in un punto x 0 il calcolo del limite per x tendente a x 0 si ottiene ponendo nella funzione x = x 0

11 Esempi di funzioni continue 1. La funzione f(x) = k è continua in ogni suo punto; cioè qualunque sia x 0 lim f(x) = k x x o x x 0 K

12 Le funzioni di questo tipo, come ad esempio f(x)=3 Sono tutte rette parallele all asse delle ascisse

13 Altro esempio di funzione del tipo f(x)=k f x =

14 Esempi di funzioni continue 2. La funzione f(x) = x è continua in ogni suo punto; cioè qualunque sia x 0

15 Esempi di funzioni continue 3. La funzione f(x) = x n con n intero e positivo è continua in ogni suo punto; cioè qualunque sia x 0 Esempio: f(x)=x 3 con n=3

16 Esempi di funzioni continue 4. Se la funzione f(x) è continua in x 0 lo è pure la funzione y =k f(x), con k costante; x x o cioè lim k f x = k lim f x = k f(x o ) x x o Esempio: f x = x 2 3 e k =4 lim 4 x 2 3 = 4 lim x 2 3 = = 4 1 = 4 x 2 x 2

17 Esempi di funzioni continue Se le due funzioni f(x) e g(x) sono continue in x 0 lo sono pure: f(x) + g(x) f(x) g(x) f(x) g(x) f(x) g(x) con g x o 0

18 Esempi di funzioni continue 5. Qualunque funzione razionale fratta è continua per ogni valore di x che non annulla il denominatore Esempio: f x = x2 + 7 x 2 5 Questa è una funzione razionale fratta che ha come dominio D: x R; i valori x 5 x = 5 valori di x la funzione non è continua annullano il denominatore quindi, per questi x = 5 e x = funzione 5 si chiamano punti di discontinuità per la

19 6. la funzione n f x = x Esempi di funzioni continue è continua per ogni x appartenente al dominio l indice n è un numero naturale (n N)

20 esempi 3 f x = x

21 f x = x

22 Esempi di funzioni continue 7. la funzione esponenziale f x = a x è continua per ogni x appartenente al dominio l indice a è un numero reale positivo e a 1 a > 0; a 1

23 8. la funzione logaritmo f x Esempi di funzioni continue = log a x è continua per ogni x appartenente al dominio D: x > 0 l indice a è un numero reale positivo e a 1 a > 0; a 1

24 Esempi di funzioni continue 9. le funzioni goniometriche f x = senx f x = cosx sono continue per ogni x appartenente a R

25 Proprietà delle funzioni continue Funzione continua in un intervallo Una funzione è continua in un intervallo chiuso [a,b] se è continua in ogni punto dell intervallo.

26 Teorema di Weirstrass Se una funzione è continua e definita in un intervallo chiuso [a,b], avrà nell intervallo il massimo e il minimo assoluto.

27 Teorema di Bolzano Se una funzione è continua in un intervallo chiuso [a,b], essa assume nell intervallo ogni valore compreso tra il suo minimo e massimo assoluti.

28 Se una funzione è continua in un intervallo chiuso [a,b], e se agli estremi dell intervallo assume valori di segno opposto, essa si annulla in almeno un punto interno all intervallo.

29 Funzioni limitate Sia f(x) una funzione definita in un intervallo (a, b). Se esiste un numero reale h tale che per ogni x dell intervallo (a, b) è f(x) < h allora f(x) è limitata superiormente Se esiste un numero reale k tale che per ogni x dell intervallo (a,b) è f(x) > k allora f(x) è limitata inferiormente I valori h e k possono non appartenere al codominio.

30 Se h e k appartengono al codominio della funzione allora si chiamano minimo assoluto e massimo assoluto.

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