Matematica con elementi di Informatica

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1 Matematica con elementi Contare e Misurare di Informatica Anno Accademico 2018/19 1 Tiziano / 12 V Contare e Misurare Matematica con elementi di Informatica Tiziano Vargiolu Dipartimento di Matematica vargiolu@math.unipd.it Corso di Laurea Magistrale in Chimica e Tecnologie Farmaceutiche Anno Accademico 2018/19

2 Insiemi A dna = {Adenina, Citosina, Guanina, Timina} = {A, C, G, T } A rna = {Adenina, Citosina, Guanina, Uracile} = {A, C, G, U} Cardinalità di A rna = A rna = 4 A rna A dna = {Adenina, Citosina, Guanina} A rna A dna = {Adenina, Citosina, Guanina, Timina, Uracile} {Adenina, Citosina, Guanina} A dna, Adenina, Citosina, Guanina A dna A rna A dna T A dna, T / A rna, Matematica con elementi Contare e Misurare di Informatica Anno Accademico 2018/19 2 Tiziano / 12 V

3 Matematica con elementi Contare e Misurare di Informatica Anno Accademico 2018/19 3 Tiziano / 12 V Insiemi Prodotto Cartesiano: Coppie ordinate di elementi A x B = {(a, b) : a A, b B} S x S = S 2 = {(s 1, s 2 ) : s 1, s 2 S} S x S x S = S 3 = {(s 1, s 2, s 3 ) : s 1, s 2, s 3 S} S n = {(s 1, s 2,..., s n ) : s j, S, j = 1, 2,..., n} R x R = R 2 = {(x, y) : x, y R}

4 Matematica con elementi Contare e Misurare di Informatica Anno Accademico 2018/19 4 Tiziano / 12 V Insiemi numerici N Z Q R N = {0, 1, 2,... }, N + = N\{0} = {1, 2,... } Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2,... } Q = { n m : n, m Z, m = 0}!!! operazioni tra numeri razionali denominatore comune R π = 3, e =

5 Matematica con elementi Contare e Misurare di Informatica Anno Accademico 2018/19 5 Tiziano / 12 V Relazione di equivalenza In Q, 4 4 e 2 2 sono lo stesso numero?... NO! Bisogna introdurre la relazione di equivalenza a b c d K Q t.c. a = Kc, b = Kd Su R la relazione di equivalenza è del tipo = e simili Relazione di equivalenza su un insieme A: gode delle tre proprietà: riflessiva: a a a A simmetrica: transitiva: a b b a se x y e y z, allora x z

6 Numeri reali In R si definisce la relazione di ordine (e analogamente ), ovvero che gode delle tre proprietà: riflessiva: antisimmetrica: transitiva: x x, x R se x y e y x allora x = y se x y e y z, allora x z R è un insieme totalmente ordinato rispetto a, i.e. è un ordine totale: per ogni x, y R: o x y o y x Da qui si può definire < (che NON è una relazione di ordine: perchè?): x < y x y, x = y Ripasso proprietà delle disequazioni Matematica con elementi Contare e Misurare di Informatica Anno Accademico 2018/19 6 Tiziano / 12 V

7 Insiemi numerici maggiorante (minorante) di un insieme A R s R tale che s a, (s a) per ogni a A massimo (minimo) di un insieme s A tale che s a, (s a) per ogni a A estremo superiore (inferiore): s = sup A (i = inf A) se e solo se è il più piccolo (grande) dei maggioranti (minoranti), ovvero (solo per sup, analogo per inf): s a per ogni a A per ogni ε > 0 esiste a ε A tale che s ε < a ε s (la 2 a è superflua) A R, è superiormente (inferiormente) limitato se ammette almeno un maggiorante (minorante) A R, se A = è superiormente limitato allora ammette estremo superiore Matematica con elementi Contare e Misurare di Informatica Anno Accademico 2018/19 7 Tiziano / 12 V

8 Numeri reali R Rappresentazione geometrica lungo una retta orientata Esempi di sottoinsiemi di R discreti finiti { π, 1, 0, 3 21} discreti infiniti N, A = { 1 n : n N+} intervalli I = {x R : 2 < x 4} = ( 2, 4] continui (infiniti) [ 1, 2π] [9, 11], R + Matematica con elementi Contare e Misurare di Informatica Anno Accademico 2018/19 8 Tiziano / 12 V

9 Matematica con elementi Contare e Misurare di Informatica Anno Accademico 2018/19 9 Tiziano / 12 V Il piano cartesiano R 2 R 2 = {(x, y) : x R, y R} y x

10 Matematica con elementi Contare e Misurare di Informatica Anno Accademico 2018/19 10 Tiziano / 12 V R 3... R n R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} z y R n = {(x 1, x 2,..., x n ) : x j R i = 1, 2,..., n} x

11 Matematica con elementi Contare e Misurare di Informatica Anno Accademico 2018/19 11 Tiziano / 12 V Percentuali 3% + 3% = 6% aumento del 30% poi diminuzione del 30% = valore iniziale (non è +3% 3% ma ) se ho pagato 15 e e mi ha fatto uno sconto del 30%, quale era il prezzo iniziale?

12 Matematica con elementi Contare e Misurare di Informatica Anno Accademico 2018/19 12 Tiziano / 12 V Ordini di grandezza 10 5 = = = tera (T) giga (G) mega (M) chilo (K) milli (m) micro (µ) nano (n) pico (p)