L insieme dei numeri reali

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1 L insieme dei numeri reali Paolo Sarti 28 settembre Insiemi numerici fondamentali I numeri naturali sono gli interi positivi e lo zero 1. Sono così chiamati per il loro naturale utilizzo nell azione del contare. Def. 1 Un insieme è chiuso rispetto a un operazione se il risultato di questa, eseguita su tutti i possibili elementi dell insieme, è un elemento dell insieme stesso. L insieme N = {0, 1, 2, 3,...} è chiuso rispetto alle operazioni di addizione e moltiplicazione, mentre non lo è rispetto a quelle di sottrazione e di divisione; per chiudere N rispetto alla sottrazione è necessario aggiungere gli interi negativi, costruendo così l insieme degli interi: Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...}. Per ottenere un insieme chiuso anche rispetto alla divisione è necessario un ulteriore ampliamento, che conduce all insieme Q = {m/n m, n Z, n 0} dei numeri razionali, cioè i numeri decimali illimitati periodici. Esso contiene N e Z come sottoinsiemi propri ed è chiuso rispetto alle quattro operazioni fondamentali. Lo sviluppo della Geometria e l introduzione delle operazioni trascendenti hanno tuttavia evidenziato l esistenza di grandezze incommensurabili (come la diagonale del quadrato con il suo lato, o la circonferenza rettificata con il suo diametro), le cui misure non possono essere espresse da numeri razionali. È necessario quindi introdurre altri numeri, gli irrazionali, così chiamati perché non possono essere scritti in forma frazionaria; sono decimali illimitati aperiodici. Alcuni di essi sono: 2, π, e, ln 3, cos π 6. Se indichiamo con I l insieme dei numeri irrazionali, osserviamo che esso non ha alcun elemento in comune con l insieme Q, sicché tali insiemi sono disgiunti. La loro unione genera l insieme dei numeri reali, chiuso rispetto alle quattro operazioni fondamentali e all elevamento a potenza con base reale positiva ed esponente reale. Valgono le seguenti relazioni strutturali: N Z Q R, I R, Q I =, Q I = R 1 Leopold Kronecker ( ), matematico tedesco, disse: Dio creò i numeri naturali: il resto è opera dell uomo. 1

2 L insieme dei numeri reali - P. Sarti 2 Figura 1: L insieme dei numeri reali e i suoi sottoinsiemi che possono essere compendiate nel diagramma di Eulero-Venn in figura. Un ampliamento ulteriore porta alla costruzione dell insieme C dei numeri complessi, che vanta, rispetto ad R, proprietà di chiusura ancora maggiori. Il suo studio, tuttavia, va oltre lo scopo di questa trattazione. 2 Insiemi finiti e infiniti. Cardinalità Def. 2 Un insieme A è finito se tale è il numero dei suoi elementi, cioè se esiste un intero positivo n tale che gli elementi di A siano in corrispondenza biunivoca con quelli dell insieme {1, 2,..., n}; in caso contrario, A è infinito. Def. 3 Dati due insiemi A e B, si dice che essi hanno la stessa cardinalità (o potenza, o che sono equipotenti) e si scrive: A B se gli elementi del primo sono in corrispondenza biunivoca con quelli del secondo. Osservazione. La cardinalità di un insieme finito coincide col numero dei suoi elementi; se un insieme è vuoto, risulta: #( ) = 0. Def. 4 Un insieme A è infinito se e solo se è equipotente ad un suo sottoinsieme proprio. Esempio. Sia P l insieme dei numeri pari. P ed N sono infiniti ed equipotenti, pur essendo P N. Basta infatti osservare che, per un generico numero pari p, è: p = 2n, n N. Quindi il tutto (N) è numeroso come una sua parte (P ). È uno dei paradossi dell infinito. Il matematico tedesco Georg Cantor ( ) ha classificato gli insiemi infiniti in base alla numerosità dei propri elementi, chiamando numerabili gli insiemi equipotenti ad N. La cardinalità di tali insiemi è indicata con ℵ 0, dove ℵ (alèph) è la prima lettera dell alfabeto ebraico; ℵ 0 è il primo numero cardinale transfinito, che rappresenta il livello più basso di infinito. Risulta: #(N) = #(Z) = ℵ 0.

3 L insieme dei numeri reali - P. Sarti 3 Cantor ha poi dimostrato che Q è numerabile, cioè: #(Q) = ℵ 0 e che esistono insiemi più che numerabili, aventi cioè cardinalità ℵ 1, ℵ 2,... superiore ad ℵ 0. In particolare, R è più che numerabile. Riferendosi a questa caratteristica, si dice che R ha la potenza del continuo e si pone #(R) = c. L esistenza di insiemi infiniti aventi cardinalità diverse pone immediatamente un altra questione, conosciuta come problema del continuo: esistono insiemi con cardinalità intermedia tra quella del numerabile (ℵ 0 ) e quella del continuo? In altre parole: c = ℵ 1? Il matematico tedesco David Hilbert ha formulato, nel 1900, la seguente Congettura (ipotesi del continuo) Non esiste alcun insieme con cardinalità intermedia tra quella del numerabile e quella del continuo. Il logico cecoslovacco Kurt Gödel ha dimostrato che la congettura di Hilbert è indecidibile e, nel 1940, che è costruibile una matematica (cantoriana) fondata sull accettazione dell ipotesi del continuo. È però altrettanto legittimo ipotizzare l esistenza di una matematica non cantoriana, in cui l ipotesi del continuo non vale. La costruibilità di tale teoria è stata dimostrata dal matematico americano Paul Cohen nel Insiemi limitati Def. 5 Sia E un sottoinsieme non vuoto di R. E è superiormente limitato se M R : x E, x M. Analogamente, E è inferiormente limitato se m R : x E, x m. Osservazione. I numeri M e m nella precedente definizione sono, rispettivamente, un maggiorante ed un minorante dell insieme. Un insieme limitato superiormente (inferiormente) possiede infiniti maggioranti (minoranti). Un insieme limitato è sia superiormente che inferiormente limitato. Esempio. L insieme N è inferiormente limitato: 4, π o 0 sono alcuni dei suoi minoranti; non è invece limitato superiormente, pertanto N non è un insieme limitato. Osservazione. Gli aggettivi: finito e limitato non sono sinonimi. Ogni insieme finito di numeri reali è necessariamente limitato. Non è in generale vero il viceversa. Infatti l insieme E = {x R 0 < x < 1}, pur essendo limitato, possiede infiniti elementi. Def. 6 Sia E un insieme superiormente limitato. Il più piccolo dei suoi maggioranti si chiama estremo superiore (sup E). Se sup E E, allora è il massimo dell insieme (max E). Analogamente: sia E un insieme inferiormente limitato. Il più grande dei suoi minoranti si chiama estremo inferiore (inf E). Se inf E E, allora è il minimo dell insieme (min E). Esempio. Zero è l estremo superiore di R, ma non è il massimo. Per l insieme N, zero è estremo inferiore e minimo.

4 L insieme dei numeri reali - P. Sarti 4 4 Intervalli ed intorni Def. 7 Sia a, b R, a < b. Si chiama intervallo ogni insieme di numeri reali individuato da una delle condizioni seguenti: 1) a < x < b, 2) a x < b, 3) a < x b, 4) a x b, 5) x < a, 6) x a, 7) x > b, 8) x b. Gli intervalli individuati dalle condizioni 1)... 4) sono limitati, quelli individuati dalle condizioni 5)... 8) sono illimitati. La nomenclatura e la simbologia comunemente adottate sono le seguenti: {x R a < x < b} = (a, b) intervallo limitato aperto; {x R a x < b} = [a, b) i. limitato chiuso a sinistra e aperto a destra; {x R a < x b} = (a, b] i. limitato aperto a sinistra e chiuso a destra; {x R a x b} = [a, b] i. limitato chiuso; {x R x < a} = (, a) i. illimitato sinistro aperto; {x R x a} = (, a] i. illimitato sinistro chiuso; {x R x > b} = (b, + ) i. illimitato destro aperto; {x R x b} = [b, + ) i. illimitato destro chiuso. Osservazione. Le immagini geometriche degli intervalli illimitati sono semirette, quelle degli intervalli limitati sono segmenti. Gli estremi sono inclusi o meno a seconda della condizione che li definisce. Un intervallo è per definizione un sottoinsieme di R. Il viceversa è falso, infatti: {x Q 0 < x < 1} è un sottoinsieme di R, ma non è un intervallo. Def. 8 Sia x 0 R. Si chiama intorno completo di x 0 ogni intervallo limitato aperto contenente x 0. In particolare, gli intervalli aperti di centro x 0 si dicono intorni circolari (o simmetrici) di x 0. Si dice intorno sinistro (destro) di x 0 ogni intervallo aperto a sinistra (destra) che abbia x 0 come estremo destro (sinistro). Def. 9 Si chiama intorno di più (meno) infinito ogni intervallo illimitato destro (sinistro) aperto di estremo a, dove a è un opportuno numero reale. Osservazione. Se δ è un numero reale positivo, la scrittura: x x 0 < δ identifica un intorno circolare di centro x 0 e semiampiezza δ. Se E è un numero reale positivo, x > E identifica un intorno di infinito. La condizione precedente equivale infatti a: x < E x > E, quindi risulta: I( ) = I( ) I(+ ).

5 L insieme dei numeri reali - P. Sarti 5 5 Insiemi discreti, densi, continui Def. 10 Sia E un sottoinsieme non vuoto di numeri reali, e sia x 0 R. Si dice che x 0 è un punto di accumulazione di E se ogni intorno di x 0 contiene almeno un elemento di E distinto da x 0. Viceversa, se esiste un intorno di x 0 che non contenga oltre x 0, altri elementi di E, si dice che x 0 è un punto isolato. Un insieme interamente costituito da punti di accumulazione è denso, se tutti i suoi elementi sono isolati, allora è discreto. Osservazione. Se x 0 è punto di accumulazione di un insieme E, in ogni intorno di x 0 cadono infiniti punti di E. Teorema (Bolzano-Weierstrass) Ogni insieme di numeri reali infinito e limitato possiede almeno un punto di accumulazione. Osservazione. Un punto di accumulazione di un insieme può appartenere all insieme stesso, oppure non appartenervi; viceversa, un punto isolato è necessariamente un elemento dell insieme. Un numero reale può essere punto di accumulazione di un insieme solo sinistro (destro). L insieme di tutti i punti di accumulazione di un insieme E si chiama derivato di E. Esempio. Tutti i numeri reali sono punti di accumulazione di R; viceversa, N non ne possiede alcuno: tutti i suoi elementi sono isolati; 2 è punto di accumulazione sia di R che di Q: nel primo caso appartiene all insieme, nel secondo non vi appartiene. Esempio. L insieme: E = (1, π] { 7 2 }, ammette almeno un punto di accumulazione in virtù del teorema di Bolzano-Weierstrass. Tutti gli elementi di (1, π] sono punti di accumulazione; in particolare, π è punto di accumulazione sinistro. Infatti è possibile determinare un intorno destro di π nel quale non cada alcun elemento di E distinto da π. Si scelga ad esempio: I(π) = (π, π ). Il numero x = 7/2 è l unico punto isolato di E. È facile costruire un intorno di tale punto che non contenga altri elementi dell insieme: ad esempio: I(7/2) = (7/2 10 1, 7/ ). Esempio. 4 è un punto isolato per l insieme Z. Si consideri, ad esempio, l intorno U = (4 δ, 4 + δ) con δ = 1/2 e si osservi che non contiene alcun intero distinto da 4. Potendo ripetere analogo ragionamento per qualunque altro elemento dell insieme, ne deduciamo che Z è discreto. Def. 11 Siano A, B due insiemi totalmente ordinati. Si dice che A è denso in B se: a, b B, a < b, x A a < x < b. Se A B, si dice che A è denso in sé o, più semplicemente, che A è denso. Osservazione. In base alla definizione precedente, possiamo affermare che Q è denso in N, in sé ed in R. Viceversa, N e Z sono discreti. Il concetto di insieme denso non va confuso con quello, più restrittivo, di insieme continuo. La continuità è una proprietà geometrica (propria di ciò

6 L insieme dei numeri reali - P. Sarti 6 che non presenta interruzioni) introdotta in modo formale con i postulati di Dedekind 2, di Archimede e di Cantor, oppure in modo più intuitivo con il seguente Postulato (continuità della retta) L insieme dei punti di una retta è in corrispondenza biunivoca con l insieme R. L insieme dei numeri razionali non gode di questa proprietà. Infatti, pur riuscendo ad addensare sulla retta infiniti numeri razionali, non ve n è alcuno che colmi le lacune lasciate dagli irrazionali. Allo stesso modo, anche l insieme degli irrazionali, pur essendo fitto a piacere, presenta dei buchi che non vengono riempiti da alcuno degli elementi dell insieme. Inoltre, le lacune di Q sono in prossimità degli elementi di I e viceversa, cioè Q e I sono due insiemi complementari e separati. La loro unione genera un insieme completo, cioè continuo, che è l insieme dei numeri reali. Riassumendo: Z è discreto e numerabile. Non è denso e non è continuo Q non è discreto ma è numerabile. È denso, ma non è continuo I non è discreto e non è numerabile. R non è discreto e non è numerabile. È denso, ma non è continuo È denso e continuo. 2 Julius Wilhelm Richard Dedekind ( ), matematico tedesco.