Insiemi Numerici. 1 I Numeri Naturali: definizione assiomatica

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1 Insiemi Numerici Docente: Francesca Benanti 19 gennaio I Numeri Naturali: definizione assiomatica Sin dall antichità è stata data una sistemazione rigorosa alla geometria. Euclide (300 a.c.), nella sua opera gli Elementi, enuncia alcuni assiomi e da essi ricava le proprietà del piano e dello spazio come teoremi. Non altrettanto è avvenuto per l algebra e l aritmetica. Si deve attendere fino al XIX secolo per avere una sistemazione assiomatica della teoria dei numeri. Poichè gli insiemi numerici più ampi, via via storicamente introdotti per esigenze operative, possono essere costruiti a partire dall insieme più elementare dei naturali, è proprio quest ultimo ad essere definito assiomaticamente....dio creò i numeri naturali; tutto il resto è opera dell uomo... Con queste parole L. Kronecker ( ) indicava il terreno sicuro per la costruzione dell intero edificio della matematica. Si dà, dunque, una struttura assiomatica all aritmetica, la teoria matematica dei numeri naturali, e a partire da questa si ricavano le caratteristiche degli altri ambienti numerici. 1

2 La definizione dei numeri naturali e gli assiomi che caratterizzano le operazioni definite in N rappresentano, quindi, il fondamento deduttivo per tutte le strutture numeriche via via costruite con successivi ampliamenti. La riconduzione degli insiemi numerici all aritmetica fu avviata dal matematico tedesco F.L.G.Frege ( ) nei suoi testi I fondamenti dell aritmetica e I principi dell aritmetica, apparsi negli ultimi anni del XIX secolo. La caratterizzazione assiomatica di N si deve, invece, al matematico italiano G. Peano ( ) che ne diede una prima formulazione nella sua opera Arithmetices principia, nova methodo expositia (1889). Un analoga formulazione fu data negli stessi anni da J.W.R. Dedekind ( ). È possibile definire i numeri naturali attraverso tre enti primitivi e cinque assiomi, noti come Assiomi di Peano. Enti Primitivi: N = l insieme dei numeri naturali; 0; n+1=successivo di n.

3 Assiomi di Peano: 0 è un numero naturale: 0 N Se n è un numero naturale allora lo è anche il successivo n+1: n N n + 1 N Due numeri naturali diversi hanno successivi diversi: n + 1 = m + 1 n = m Ogni numero naturale, eccetto lo zero, è il successivo di un numero naturale: n N n Assioma del buon ordinamento. Ogni sottoinsieme non vuoto T di N ha un elemento minimo: t T t x, x T 2 Proprietà dei numeri naturali N è un insieme infinito. Definizione: Un insieme è infinito se può essere messo in corrispondenza biunivoca con un suo sottoinsieme proprio. Sia K l insieme dei quadrati perfetti Consideriamo l applicazione definita da K = {0, 1, 4, 9, 16,...} = {n 2 n N} f : N K

4 f(n) = n 2, n N f è un applicazione biunivoca (esercizio). Dunque N è infinito. N è un insieme numerabile. Si definisce cardinalità del numerabile proprio la cardinalità caratteristica di N e si denota con ℵ (si legge alef-zero). N è un insieme totalmente ordinato. Consideriamo in N la seguente relazione: nrm n m, n, m N R soddisfa le proprietà riflessiva, antisimmetrica e transitiva (esercizio). Dunque R è una relazione d ordine. Inoltre n, m N si ha che o n m oppure m n. Allora R è una relazione d ordine totale e N è un insieme totalmente ordinato. N è un insieme discreto. È sempre possibile stabilire qual è il successivo di un qualsiasi elemento. 3 I Numeri Interi È ben noto che, mentre l equazione x 5 = 0 è risolubile in N, l equazione x + 3 = 0 non lo è. Allora si cerca di ampliare l insieme numerico in modo da includere tutte le soluzioni di equazioni del tipo x + n = 0, n N. Si giunge, quindi, all insieme dei numeri interi relativi. A partire dall insieme dei numeri naturali N definiamo l insieme degli interi relativi. Consideriamo il prodotto cartesiano N N = {(n, m) n, m N} e definiamo in esso la seguente relazione

5 (n, m)ρ(n, m ) n + m = m + n, (n, m)(n, m ) N N. ρ è una relazione di equivalenza: Riflessiva: (n, m) N N, n + m = m + n. Dunque (n, m)ρ(n, m). Simmetrica: (n, m), (n, m ) N N, se (n, m)ρ(n, m ) n + m = m + n n + m = m + n (n, m )ρ(n, m). Transitiva: (n, m), (n, m ), (n, m ) N N, se (n, m)ρ(n, m ) (n, m )ρ(n, m ) n + m = m + n n + m = m + n n + m + n + m = m + n + m + n n + m = m + n (n, m)ρ(n, m ).

6 Consideriamo l insieme quoziente N N/ρ = {[(n, m)] n, m N} Osservazione 1: [(n, m)] =? Esempi: (n, m)ρ(n, m ) n + m = m + n n m = n m, n m m n = m n, n < m (3, 0) = (7, 4) = (12, 9) [(3, 0)] (4, 8) = (0, 4) = (8, 12) [(0, 4)] (0, 0) = (1, 1) = (8, 8) [(0, 0)] Osservazione 2: [(n, m)] = [(n m, 0)], [(n, m)] = [(0, m n)], n m m > n Osservazione 3: [(n, 0)] = [(n, 0)] n = n [(0, m)] = [(0, m )] m = m Allora, si ha N N/ρ = {[(n, 0)] n N } {[(0, 0)]} {[(0, m)] m N }

7 Poniamo per definizione Z = N N/ρ Z risulta, pertanto, decomposto nei seguenti sottoinsiemi dove Z = Z + {0} Z Z + = {[(n, 0)] n N } {0} = {[(0, 0)]} Z = {[(0, m)] m N } Gli elementi di Z + prendono il nome di interi positivi. Gli elementi di Z prendono il nome di interi negativi. Graficamente:

8 Osservazione: Z è una estensione di N nel senso che nel suo interno contiene un sottoinsieme Z + {0} identificabile con N. Consideriamo l applicazione definita ϕ : N Z = Z + {0} Z dove n N. ϕ è iniettiva e ϕ(n) = Z + {0}. ϕ(n) = [(n, 0)] Poniamo, n N, Allora [(n, 0)] n, [(0, n)] n, [(0, 0)] 0. Z = {n n N } {0} { n n N } 4 Proprietà dei numeri interi Z è un insieme infinito. e l insieme N è infinito. Z N

9 Z è un insieme numerabile. Consideriamo la seguente applicazione: f : N Z { n f(n) =, n = 2k 2 n+1, n = 2k f è un applicazione biunivoca (esercizio). Dunque Z è numerabile. Z è un insieme discreto. È sempre possibile stabilire qual è il successivo di un qualsiasi elemento. Z è un insieme totalmente ordinato. Secondo la sua rappresentazione sulla retta. 5 I Numeri Razionali Per creare uno strumento adeguato ai bisogni della pratica e della teoria, è necessario estendere il concetto di numero, a partire da quello originario di numero naturale. In una lunga e lenta evoluzione vennero gradualmente accettati sullo stesso piano dei numeri naturali positivi, lo zero, i numeri interi negativi e le frazioni. I numeri interi sono un astrazione del processo di contare insiemi finiti di oggetti. Ma nella vita giornaliera si presenta la necessità non soltanto di contare singoli oggetti, ma anche di misurare delle quantità, come lunghezze, aree, pesi e tempo. Se si vuole operare liberamente con le misure di queste quantità, è necessario estendere l insieme numerico degli interi. L esigenza di ampliare l insieme dei numeri interi sorge, oltre che per esigenze pratiche legate alla misurazione, anche per esigenze di carattere algebrico legate alla risoluzione di equazioni del tipo ax = b, a, b Z, a 0. L insieme Q dei numeri razionali si introduce a partire da Z in modo analogo a come è stato introdotto Z a partire da N. Consideriamo il prodotto cartesiano Z Z = {(a, b) a, b Z, b 0}

10 e definiamo in esso la seguente relazione (a, b) (c, d) ad = bc, (a, b), (c, d) Z Z. è una relazione di equivalenza: Riflessiva: (a, b) Z Z, ab = ba. Dunque (a, b) (a, b). Simmetrica: (a, b), (c, d) Z Z, se (a, b) (c, d) ad = bc cb = da (c, d) (a, b). Transitiva: (a, b), (c, d), (e, f) Z Z, se (a, b) (c, d) (c, d) (e, f) ad = bc cf = de adf = bcf bcf = bde adf = bde af = be (a, b) (e, f) Poniamo per definizione Q = Z Z / = {[(a, b)] a, b Z, b 0}

11 Osservazione 1: [(a, b)] =? (a, b) (c, d) ad = bc Esempi: (1, 2), (2, 4), ( 1, 2) [(1, 2)] (4, 1), ( 8, 2), (48, 12) [(4, 1)] (6, 9), ( 20, 30), (2, 3) [( 2, 3)] Graficamente [(1, 2)]: Osservazione 2: Non vi è alcuna difficoltà nel riconoscere che ogni coppia può essere rappresentata con una frazione (a, b) a b Dunque in [(a, b)] vi sono tutte le frazioni equivalenti alla frazione a b. Esempi:

12 1 2, 2 4, , 8 2, , 20 30, 2 3 [ ] 1 2 [ ] 4 1 [ ] 2 3 Dunque Q = {[ a] a, b Z, b 0} = { a a, b Z, b 0, a, b coprimi} b b Graficamente: Osservazione: Q è una estensione di Z nel senso che nel suo interno contiene un sottoinsieme identificabile con Z. È sufficiente considerare l applicazione iniettiva ϕ : Z Q

13 definita da ϕ(a) = a 1 dove a Z. 6 Proprietà dei numeri razionali Q è un insieme infinito. e l insieme Z è infinito. Q Z Q è un insieme numerabile. La scoperta che l insieme Q è numerabile e, quindi ha tanti elementi quanti ne ha N, è dovuta al matematico G. Cantor ( ). La dimostrazione è nota come metodo diagonale di Cantor. Consideriamo i razionali non negativi disposti come nella seguente tabella

14 Sulla tabella è possibile stabilire un percorso che consente i elencare tutti i suoi elementi. Si evidenzia così la corrispondenza biunivoca con N: 0 1 0, 0 2 1, 1 1 2, 2 3, 1 Anche le frazioni negative ridotte ai minimi termini sono, come si può dedurre con un analogo ragionamento, un insieme numerabile. L unione di due (in generale di un numero finito) insiemi numerabili è numerabile. Dunque l insieme dei numeri razionali è numerabile. Q è un insieme denso. Gli insiemi N, Z, Q, nonostante siano via via più ampi e l uno immerso nell altro, sono tutti e tre insiemi numerabili. Diverse sono invece le proprietà di ordinamento dei loro elementi. Infatti, mentre N e Z sono discreti, l insieme Q non è discreto nel suo ordinamento naturale sulla retta, bensì denso perchè dati due numeri razionali esiste sempre un numero razionale compreso tra i due: Esempio: a, b Q, a < b, c Q tale che a < c < b a = 5 7, b = 3 4 allora basta considerare la loro media: c = = 41 56

15 Q è un insieme totalmente ordinato. Secondo la sua rappresentazione sulla retta. Formalmente la relazione può essere introdotta in questo modo: (a, b) < (c, d) ad < bc Esempio: infatti 5 4 = 20 < 21 = < Poichè l insieme dei numeri razionali è denso sulla retta, si potrebbe credere che tutti i punti della retta siano punti razionali. Una delle più sorprendenti scoperte, dovuta ai primi matematici greci e precisamente alla scuola pitagorica, è l esistenza dei numeri irrazionali, cioè di numeri che non sono razionali. La necessità di definire numeri non razionali nasce da alcuni problemi particolari come la ricerca del rapporto tra diagonale e lato di un quadrato, tra circonferenza e diametro,... Teorema: 2 è un numero irrazionale.

16 dimostrazione: Ragioniamo per assurdo. Supponiamo, dunque, che 2 sia razionale. Allora esiste a Q, con a e b coprimi, tale che b a 2 = b Dunque 2 = a2 b 2 a2 = 2b 2 a 2 pari a pari a = 2c 4c 2 = 2b 2 2c 2 = b 2 Possiamo concludere che 2 Q. b 2 pari b pari a, b pari ASSURDO L argomento appena descritto suggerisce una semplicissima costruzione geometrica del numero irrazionale 2. 2 è la misura della diagonale del quadrato di lato unitario. Infatti, se x denota la misura della diagonale del quadrato di lato unitario, per il teorema di Pitagora si ha Pertanto x = = 2

17 Dunque dire che Q è un insieme denso significa dire che sulla retta attorno ad ogni numero, ad esempio a 2, vanno ad addensarsi infiniti numeri, cosicché non è possibile stabilire qual è il numero razionale immediatamente successivo a 2, ma non significa dire che tutti i numeri razionali riempiono la retta. 2 è sulla retta reale ma non è un numero razionale. È necessario pertanto costruire un insieme numerico più ampio dell insieme dei numeri razionali che comprenda anche i numeri irrazionali e che riempia tutta la retta. 8 I Numeri Reali La definizione formale dei numeri reali ha rappresentato uno degli sviluppi più significativi del diciannovesimo secolo. I numeri reali vengono costruiti, come una estensione dell insieme dei numeri razionali, in vari modi equivalenti. Tra questi, i più noti usano le sezioni di Dedekind e le successioni di Cauchy. Quella che noi riportiamo è la definizione dovuta a Dedekind. Ora, in ogni caso in cui c è una sezione (A1, A2) che non è prodotta da un numero razionale, allora noi creiamo un nuovo numero irrazionale a che riteniamo completamente definito da questa sezione; diremo che questo numero a corrisponde a questa sezione oppure che produce questa sezione. J. W. Richard Dedekind ( ) Assioma di Dedekind della continuità della retta: Data una qualsiasi partizione della retta in due classi A e B, in cui ogni elemento di A e minore di un elemento di B, si ha una delle due seguenti situazioni: A ha un massimo e B non ha un minimo

18 oppure A non ha un massimo e B ha un minimo Questo elemento è detto elemento separatore delle due classi. E l insieme dei numeri reali? Definizione: Dato un insieme K totalmente ordinato, un suo elemento x è detto estremo superiore per un sottoinsieme S se e solo se: non esistono elementi di S maggiori di x; x è il minore tra gli elementi di K che soddisfano la precedente condizione. Si scrive x =sup(s). Se x appartiene all insieme S allora è detto massimo dell insieme S e si scrive x =max(s). Esempi: 1. sup(q ) = 0 2. Sia S il sottoinsieme dei numeri naturali costituito da tutti i naturali con due cifre. Allora sup(s) = 99 = max(s) Definizione: Dato un insieme K totalmente ordinato, un suo elemento x è detto estremo inferiore per un sottoinsieme S se e solo se: non esistono elementi di S minori di x; x è il maggiore tra gli elementi di K che soddisfano la precedente condizione. Si scrive x =inf (S). Se x appartiene all insieme S allora è detto minimo dell insieme S e si scrive x =min(s). Esempi:

19 1. Sia allora S = { 1 n N, n 0} Q n inf(s) = 0 Definizione: Una partizione di un insieme X è una famiglia di sottoinsiemi di X non vuoti, disgiunti e tali che la loro unione è l insieme X stesso. Definizione: Un insieme X totalmente ordinato è detto continuo se ha infiniti elementi; è denso; per ogni partizione di X in due sottinsiemi A e B ordinata (ogni elemento del primo sottoinsieme è minore di ogni elemento del secondo) si ha che A ha un massimo e B non ha un minimo oppure A non ha un massimo e B ha un minimo ossia esiste, ed è unico, un elemento separatore Esempi: 1. La retta è un insieme continuo. 2. L insieme dei numeri razionali pur essendo un insieme ordinato, infinito e denso non è un insieme continuo, infatti consideriamo la seguente partizione in due sottoinsiemi A = Q {0} {x Q + x 2 2} B = {x Q + x 2 > 2}

20 Il sottoinsieme B non ha minimo: dato un numero razionale positivo il cui quadrato sia maggiore di 2, se ne può sempre trovare un altro, che sia minore e che abbia la stessa caratteristica e quindi sta in B. Ad esempio 1.42 e Il sottoinsieme A non ha massimo: dato un numero razionale positivo il cui quadrato sia minore di 2, se ne può sempre trovare un altro, che sia maggiore e che abbia la stessa caratteristica e quindi sta in A. Ad esempio 1.41 e In tale situazione è evidente che 2 = sup(a) = inf(b), ma 2 non è un numero razionale dunque non è né il massimo di A, né il minimo di B. Definizione: Un numero reale è una partizione dell insieme Q in due sottoinsiemi (A, B) in cui ogni elemento del primo insieme è minore di ogni elemento del secondo. L insieme dei numeri reali R è l insieme delle partizioni di Q in sottoinsiemi di questo tipo. Si hanno due casi La partizione (A, B) individua un elemento di Q (elemento separatore) ed allora è un numero razionale; La partizione (A, B) individua un buco dell insieme Q (non si ha elemento separatore in Q) ed allora è un numero irrazionale; Osservazione: R è una estensione di Q nel senso che nel suo interno contiene un sottoinsieme identificabile con Q. 9 Proprietà dei numeri reali R è un insieme infinito. e l insieme Q è infinito. R Q R ha la cardinalità del continuo. Teorema: L insieme dei numeri reali compresi tra 0 e 1 non è numerabile. dimostrazione: La dimostrazione viene condotta per assurdo. Supponiamo che i numeri reali dell intervallo formino un insieme numerabile. In questo caso sarà possibile scriverli in un elenco numerabile

21 in cui ciascun numero reale tra 0 e 1 sarà contrassegnato da un numero naturale n. Costruiamo ora, seguendo il procedimento di Cantor, un nuovo numero reale compreso tra 0 ed 1, che non è nell elenco considerato. Il numero ha come prima cifra 0. Al primo posto dopo la virgola si sceglie una cifra diversa da a1, al secondo posto si sceglie una cifra diversa da b2, al terzo posto si sceglie una cifra diversa da c3, e così via... Con questo procedimento, detto diagonale, viene costruito un numero reale compreso tra 0 e 1, che però è diverso da tutti quelli dell elenco precedente, contro l ipotesi che l elenco indicasse tutti i numeri compresi tra 0 e 1. Si è arrivati dunque ad un assurdo. Pertanto l insieme dei numeri reali dell intervallo ]0, 1[ non è numerabile. Osservazione: l insieme dei numeri reali non può essere posto in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali. La cardinalità (o potenza ) dei numeri reali è quindi maggiore della cardinalità del numerabile. La cardinalità dei numeri reali si chiama cardinalità del continuo e si indica con la lettera gotica C. R è un insieme denso. R è un insieme totalmente ordinato. R è un insieme continuo. 10 Forma decimale Vedi il seguente File tratto da: E-school di Arrigo Amadori formadecimale

22 11 Reali Algebrici e Trascendenti Vedi il seguente File tratto da: Progetto Polymath - I numeri reali algebricitrascendenti