Didattica speciale delle discipline: MATEMATICA. Linguaggio matematico e linguaggio quotidiano

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1 Didattica speciale delle discipline: MATEMATICA Linguaggio matematico e linguaggio quotidiano Maurizio Berni m.berni@adm.unipi.it Tutti i materiali sono disponibili su

2 Linguaggio matematico e linguaggio quotidiano Fra automobile, bicicletta, motocicletta, motoscafo Chi è l'intruso?

3 Linguaggio matematico e linguaggio quotidiano Se considero l'insieme dei veicoli con meno di quattro ruote, allora l'intruso è l'automobile Se considero l'insieme dei veicoli terrestri, allora l'intruso è il motoscafo Se considero l'insieme dei veicoli dotati di motore,allora l'intrusa è la bicicletta Se considero l'insieme dei veicoli la cui guida non richiede il casco, allora l'intruso è il motorino

4 Linguaggio matematico e linguaggio quotidiano Se considero l'insieme dei veicoli con meno di quattro ruote, allora l'intruso è l'automobile Se considero l'insieme dei veicoli terrestri, allora l'intruso è il motoscafo Se considero l'insieme dei veicoli dotati di motore,allora l'intrusa è la bicicletta Se considero l'insieme dei veicoli la cui guida non richiede il casco, allora l'intruso è il motorino

5 Linguaggio matematico e linguaggio quotidiano Se considero l'insieme dei veicoli con meno di quattro ruote, allora l'intruso è l'automobile Se considero l'insieme dei veicoli terrestri, allora l'intruso è il motoscafo Se considero l'insieme dei veicoli dotati di motore,allora l'intrusa è la bicicletta Se considero l'insieme dei veicoli la cui guida non richiede il casco, allora l'intruso è il motorino

6 Insiemi Nel linguaggio quotidiano Nel linguaggio matematico gruppi raggruppamenti aggregati classi concetto primitivo (non si dà una definizione, ma un gruppo di assiomi) collezioni...

7 Insiemi Intuitivamente: si ha un insieme quando non vi sia dubbio se un elemento vi appartiene o no Termini che andrebbero definiti: Elemento Appartiene

8 Insiemi: esempi e controesempi L'insieme degli alunni della II D; L'insieme degli alunni simpatici della II D; L'insieme vuoto L'insieme dei numeri pari L'insieme dei numeri pari esprimibili come somma di due numeri primi L'insieme degli elementi che sono diversi dai numeri dispari {1, *, 17/01/08, giallo, 'aula 71' }

9 Insiemi Saper individuare insiemi significa Individuare una proprietà Saper riconoscere quali elementi la soddisfano e quali no Classificare...e quindi iniziare a...

10 Classificare La partizione più semplice consiste in: In un insieme I, considerare una proprietà P Individuare il sottoinsieme A degli elementi di I che soddisfano la proprietà A={x Є I : P(x)} e (di conseguenza) il complementare: B={x Є I : P(x)} A e B costituiscono una partizione di I

11 Classificare Più in generale classificare significa Suddividere un insieme in classi disgiunte La cui unione sia tutto l'insieme... cioè classificare significa saper individuare una PARTIZIONE in più insiemi.

12 Classificare In matematica per classificare occorre definire una RELAZIONE DI EQUIVALENZA Riflessiva Simmetrica Transitiva cioè una relazione

13 Classificare Intuitivamente EQUIVALENZA = 'UGUAGLIANZA' rispetto a qualcosa caratteristica comune...anzi...

14 Classificare Il concetto di 'uguaglianza' in matematica è molto ambiguo e viene precisato con il concetto di EQUIVALENZA

15 Classificare per 'numerosità' Una 'relazione di equivalenza' un po' anomala......la 'numerosità' (termine matematico: cardinalità)...anomala perché manca l' ambiente entro cui operare la partizione

16 Cardinalità Se tra due insiemi è possibile costruire una corrispondenza biunivoca, si dice che sono equipotenti o che hanno la stessa cardinalità...ma è sufficiente questo per 'contare'?

17 Il concetto di numero Per 'contare' non basta (e forse non è necessario) mettere in corrispondenza biunivoca grosse classi di insiemi... Vengono piuttosto individuati rappresentanti 'standard' delle classi (dita, 'tacche', 'calcoli'=sassolini,...)...ma non basta ancora...

18 Il concetto di numero Occorre la filastrocca dei numeri 1, 2, 3, 4,... (lo 'zero' è un'acquisizione -mai definitiva- molto successiva) cioè una lista ordinata e potenzialmente infinita di simboli: il numero non è solo un simbolo, un 'nome', ma anche (con quelli che lo precedono) un rappresentante della classe di cardinalità, e 'racchiude' in sé un concetto apparentemente estraneo: quello di ordine: quella dei numeri è una filastrocca ordinata.

19 Numero e ordine Numeri figurati (pitagorici) Gli schieramenti. i numeri primi hanno un solo schieramento possibile: lungo una sola direzione i numeri composti hanno più schieramenti possibili, lungo due direzioni

20 Numero e ordine Numeri figurati (pitagorici) I numeri quadrati : somma dei numeri dispari 64=8 2 = in generale... n 2 = (2n-1)

21 Numero e ordine Numeri figurati (pitagorici) I numeri triangolari : somma di tutti i numeri =7 8:2=28 In generale: n = n(n+1):2

22 Il concetto di numero La sua acquisizione prevede (I livello): Il concetto di conservazione della quantità (per l'aspetto cardinale) L'abilità di 'confrontare' le numerosità di due insiemi (per l'aspetto ordinale) per contare sono necessari entrambi

23 Il concetto di numero La sua acquisizione prevede (II livello): Sequenziare (per grandezza, temporalmente, logicamente...) più insiemi o eventi (Piochi) Riconoscere i 'segni' che denotano le cifre, associare alle cifre un suono (Piochi)

24 Il concetto di numero La sua acquisizione prevede (III livello): Saper leggere e scrivere numeri superiori a 10 Saper eseguire 'a mano' le quattro operazioni... (significato delle operazioni, strategie di problem solving......la spazialità ha un ruolo chiave nell'incolonnamento delle cifre per eseguire le operazioni [Piochi]

25 Il concetto di numero...in particolare x x8=... Saper 'applicare' le proprietà delle operazioni commutativa associativa - distributiva

26 Ordine Nel linguaggio comune Sequenza Successione Progressione Disposizione... Nel linguaggio matematico Relazione Riflessiva Antisimmetrica Transitiva

27 Equivalenza e Ordine...per l'organizzazione della conoscenza. In un certo ambito (insieme) si identifica qualche caratteristica rispetto alla quale gli oggetti si considerano 'uguali' (relazione di equivalenza Successivamente, se possibile, si ordinano le classi ottenute.

28 Equivalenza e Ordine Esempi: Equivalenza di frazioni /Ordinamento di numeri razionali (=classi di equivalenza di frazioni) --> concetto di rapporto Equivalenza di segmenti ('uguaglianza', congruenza, isometria...) /ordinamento di lunghezze (=classi di equivalenza di segmenti congruenti) ---> concetto di misura

29 Esempio 1...con le frazioni... + =

30 ...con le frazioni =...le frazioni non sono 'simili' sono le 'stesse' coppie di frazioni? =...la 'complicazione' delle frazioni 14 14

31 ...con le frazioni......sono 'le stesse' frazioni? Che cosa è una frazione? Cosa vuol dire 'sommare due frazioni'?

32 ...con le frazioni e --- non sono la stessa frazione! 7 14 non si sommano le 'frazioni', ma i numeri razionali (=classi di equivalenza di frazioni) da esse rappresentati

33 Esempio 2 - In geometria... Disegnate una figura uguale a questa: Quante sono le linee orizzontali? E quelle verticali?

34 In geometria... Adesso disegnate un quadratino nella stessa posizione del mio nella vostra griglia:

35 In geometria... Ponendo la stessa domanda a uno studente ho avuto questa risposta: come la interpretiamo? griglia mia griglia dello studente

36 ISOMETRIE = trasformazioni geometriche che conservano le distanze Simmetrie assiali Rotazioni Traslazioni...tra cui le simmetrie centrali... e loro composizioni (tra cui le glissosimmetrie)

37 ISOMETRIE Saper riconoscere (anche in natura) figure invarianti rispetto a qualche isometria Saper disegnare una figura uguale ad una data, rispetto ad una data isometria Sapersi 'liberare' dalle isometrie

38 ISOMETRIE Sapersi 'liberare' dalle isometrie...significa... saper scegliere situazioni 'generiche'. Esempi: Disegna un triangolo qualsiasi, scegli un punto a caso sulla sua base; scegli un punto a piacere al suo interno...

39 Un altro esempio notevole di uguaglianza...il teorema di Pitagora

40 Ordinare A B C D Qual è la figura più grande? (più grande rispetto a che cosa?)

41 ...fino al concetto di grandezza Per Euclide una classe di grandezze omogenee è un insieme i cui elementi si possono Confrontare Sommare

42 Il confronto come base per la misura Per poter 'misurare' una grandezza A rispetto a una grandezza U scelta come unità di misura occorre saper confrontare due grandezze, cioè Riconoscere quando sono uguali Riconoscere quando, essendo disuguali, una è 'maggiore' dell'altra

43 Il confronto: relazioni di equivalenza e di ordine Grandezze uguali --> --> relazione di equivalenza Grandezze disuguali ---> ---> relazione di ordine

44 Il rapporto: per misurare le grandezze Grandezze uguali --> --> rapporto 1 Grandezze disuguali ---> ---> quante volte la minore sta nella maggiore? ---> e un sottomultiplo della minore nel resto? --->... (iterato q.b. anche all'infinito)

45 Frazioni ridotte ai minimi termini Una frazione a/b è ridotta ai minimi termini quando numeratore a e denominatore b sono primi tra loro, cioè quando Algoritmo euclideo: MCD(a,b)=1. Sottrazioni successive Divisioni successive permette di individuare il MCD di due numeri naturali

46 Algoritmo euclideo Esempi: 2/7 è ridotta ai minimi termini, infatti =1 6/15 non è ridotta ai minimi termini, infatti 15-6=9 9-6=3 6-3=3 3-3=0

47 S IS TEMA MONETARIO (dalla ricerca OCS E-PIS A 2003) Sarebbe possibile introdurre un sistema monetario basato soltanto su tagli di 3 e 5? Più specificatamente, quali valori si otterrebbero su questa base? Sarebbe desiderabile un tale sistema, se fosse possibile?...come si può generalizzare?