Richiami di Matematica. 1. Insiemi, relazioni, funzioni. 2. Cardinalitá degli insiemi infiniti e numerabilitá. 3. Notazione asintotica.

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1 Richiami di Matematica 1. Insiemi, relazioni, funzioni. 2. Cardinalitá degli insiemi infiniti e numerabilitá. 3. Notazione asintotica.

2 Insiemi Definizioni di base Dato un insieme A: x A: elemento x appartenente ad A B A: B è un sottoinsieme di A B A: B è un sottoinsieme proprio di A. Se A costituito da un numero finito n di elementi, A = n indica la sua cardinalità : insieme vuoto Due insiemi A e B si dicono uguali, e si scrive A = B, se ogni elemento di A è anche elemento di B e, viceversa, se ogni elemento di B è anche elemento di A, cioè A = B se e solo se (A B B A).

3 Insieme delle parti L insieme composto da tutti i sottoinsiemi di un insieme A si dice insieme delle parti di A, e si indica con P(A). P(A) contiene A e l insieme vuoto Esercizio: Dimostrare che se A è un insieme finito P(A) = 2 A. Per questa ragione P(A) viene anche indicato con 2 A.

4 Induzione matematica Dimostrazione di proprietá di insiemi infiniti Data una proposizione P(n) definita per un generico numero naturale n, si ha che essa è vera per tutti i naturali se P(0) è vera (passo base dell induzione); per ogni naturale k, P(k) vera (ipotesi induttiva) implica P(k + 1) vera (passo induttivo). Esempio: Dimostrare n i = i=0 n(n + 1). 2

5 Relazioni Prodotto Cartesiano Dati due insiemi A e B: Il prodotto cartesiano di A e B, denotato con A B, è l insieme C = { < x, y > x A y B }, cioè C è costituito da tutte le possibili coppie ordinate ove il primo elemento appartiene ad A ed il secondo a B Il prodotto cartesiano gode della proprietà associativa, mentre non gode di quella commutativa. Si usa la notazione A n per indicare il prodotto cartesiano di A con se stesso, ripetuto n volte, cioè per indicare A A. }{{} n volte

6 Relazione Una relazione n-aria R su A 1, A 2,..., A n è un sottoinsieme del prodotto cartesiano A 1 A n R A 1 A n. Il generico elemento di una relazione viene indicato con il simbolo < a 1, a 2,...,a n > R, oppure con il simbolo R(a 1,...,a n ); n viene detto arità della relazione R.

7 Relazioni binarie Nel caso delle relazioni binarie (n = 2) si usa anche la notazione a 1 Ra 2. Esempio: La relazione binaria < definita sui naturali, è l insieme R N 2 definito da R = {< x, y > N 2 z N(z 0 x + z = y)}. Esempio: La relazione quadrato definita sui naturali è l insieme R N 2 R = { < x, y > x 2 = y }.

8 Relazioni d ordine Una relazione R A 2 si dice relazione d ordine se per ogni x, y, z A valgono le seguenti proprietà 1. < x, x > R (riflessività), 2. < x, y > R < y, x > Rse e solo se x = y (antisimmetria), 3. < x, y > R < y, z > R se e solo se < x, z > R (transitività). Un insieme A su cui è definita una relazione d ordine viene detto insieme parzialmente ordinato.

9 Relazioni d ordine Una relazione d ordine R A 2 tale che < a, b > A 2 se e solo se arb bra, dove cioè ogni elemento è in relazione con ogni altro elemento, si dice relazione di ordine totale. La relazione è una relazione d ordine su N. In questo caso l ordinamento è totale in quanto per ogni x ed y si ha che < x, y > R oppure che < y, x > R, oppure valgono entrambe, nel qual caso si ha che x = y, per antisimmetria. Esercizio: Dimostrare che la relazione < su N non è una relazione d ordine.

10 Relazioni di Equivalenza Una relazione R A 2 si dice relazione di equivalenza se per ogni x, y, z A valgono le seguenti proprietà 1. < x, x > R (riflessività), 2. < x, y > Rse e solo se < y, x > R (simmetria), 3. < x, y > R < y, z > R se e solo se < x, z > R (transitività). Consideriamo l insieme delle coppie < n, m > con n N ed m N +. La relazione E = { << u, v >,< p, q >> uq = vp } è una relazione d equivalenza.

11 Classi di Equivalenza Un insieme A su cui sia definita una relazione d equivalenza R si può partizionare in sottoinsiemi, detti classi d equivalenza, ciascuno dei quali è un sottoinsieme massimale che contiene solo elementi tra loro equivalenti. Dati un insieme A ed una relazione d equivalenza R su A 2, l insieme delle classi d equivalenza di A rispetto a R è detto insieme quoziente, e viene normalmente denotato con A/R. Data una relazione d equivalenza R A 2, si dice indice di R, e si denota con ind(r), il numero di elementi di A/R.

12 Classi di Equivalenza Esempio: Dato un intero k, definiamo la relazione k, detta congruenza modulo k, su N 2 nel seguente modo: n k m se e solo se esistono q, q, r, con 0 r < k, tali che { n = qk + r m = q k + r Essa è una relazione d equivalenza e le sue classi d equivalenza sono dette classi resto rispetto alla divisione per k. Dato un intero k, qual è l indice della relazione k?

13 Grafi Di particolare interesse sono le relazioni rappresentabili mediante grafi. Dato un insieme finito V ed una relazione binaria E V V, la coppia < V, E > si definisce grafo orientato. Esempio: Sia dato l insieme V = {A, B, C, D}. Consideriamo la relazione E = {< A, B >,< A, C >,< A, D >,< B, C >,< C, D >,< B, B >,< B, A >}. Rappresentare la relazione come un grafo orientato Se la relazione E gode della proprietà simmetrica il grafo può essere rappresentato senza assegnare un orientamento agli archi. In tal caso la coppia < V, E > si definisce grafo non orientato o semplicemente grafo.

14 Chiusura transitiva Chiusura transitiva: Sia R una relazione su A 2 ; si definisce chiusura transitiva di R, denotata con R +, la relazione R + = {< x, y > y 1,..., y n A, con n 2, y 1 = x, y n = y, tali che y i, y i+1 R, i = 1,...,n 1}. Chiusura transitiva e riflessiva Sia R una relazione su A 2 ; si definisce chiusura transitiva e riflessiva di R, denotata con R, la relazione R = R + {< x, x > x A}.

15 Chiusura transitiva Esercizio: Sia dato un grafo orientato G =< V, E > in cui V è l insieme dei nodi ed E V V è l insieme degli archi orientati. Dimostrare che se R è la relazione tale che xry se e solo se x = y oppure è possibile raggiungere y a partire da x percorrendo gli archi secondo il loro orientamento, allora R è la chiusura transitiva e riflessiva della relazione E. Esercizio: Dato un grafo orientato G =< V, E >, cosa rappresentano le classi d equivalenza del grafo G =< V, E >?

16 Funzioni Si dice che R X 1... X n (n 2) è una relazione funzionale tra una (n 1)-pla di elementi e l n-esimo elemento, se < x 1,...,x n 1 > X 1... X n 1 esiste al più un elemento x n X n tale che < x 1,..., x n > R. La notazione generalmente usata per indicare tra quali insiemi viene realizzata la corrispondenza è: f : X 1 X n 1 X n.

17 Funzioni Dominio e Codominio di una funzione Data una funzione f : X 1 X n 1 X n, l insieme X 1 X n 1 viene detto dominio della funzione, dom(f), e l insieme X n viene detto codominio, cod(f). Dominio di definizione di una funzione Data una funzione f : X 1 X n 1 X n si chiama dominio di definizione della funzione f, e lo si indica con la notazione def(f), il sottoinsieme di dom(f) su cui f é definita. Immagine di una funzione Si definisce immagine della funzione f, e lo si indica con la notazione imm(f) il sottoinsieme di X n dei valori assunti da f.

18 Funzioni Funzioni totali e parziali Una funzione f : X 1... X n 1 X n viene detta totale se def(f) = dom(f). Nel caso più generale in cui def(f) dom(f), f viene detta funzione parziale. Funzione suriettiva Una funzione f : X 1 X n 1 X n viene detta suriettiva se imm(f) = cod(f).

19 Funzioni Funzione Iniettiva Una funzione f si dice iniettiva o uno-ad-uno (1:1) se fa corrispondere ad elementi diversi del dominio di definizione elementi diversi del codominio. Funzione Biiettiva Una funzione si dice biiettiva o biunivoca se è allo stesso tempo iniettiva, suriettiva e totale. Una funzione biiettiva si dice anche biiezione. Esercizio: Dimostrare che esiste una biiezione tra l insieme dei sottoinsiemi di un insieme S finito di cardinalità S = n e le sequenze binarie di lunghezza n.

20 Cardinalitá di un insieme infinito Concetto di Equinumerositá Due insiemi A e B si dicono equinumerosi se esiste una biiezione tra di essi. Esempio: Gli insiemi {lunedì, martedì,...,domenica} e {5, 7, 31, 50, 64, 70, 75} sono equinumerosi. Esercizio: Dimostrare che la relazione di equinumerosità è una relazione d equivalenza.

21 Cardinalitá di insiemi finiti Dato un insieme finito A, la sua cardinalità A è così definita: { 0 se A = A = n se A è equinumeroso a {0, 1,..., n 1}, con n 1. Il numero n può infatti essere definito come la classe d equivalenza di tutti gli insiemi equinumerosi a {0,..., n 1}

22 Insiemi numerabili Un insieme si dice numerabile se esso è equinumeroso a N. Per indicare la cardinalità degli insiemi infiniti equinumerosi ad N si utilizza il simbolo ℵ 0 Un insieme si dice contabile se esso è finito o numerabile. Teorema: Se un insieme A è equinumeroso a un insieme B, con B C, dove C è un insieme contabile, allora anche A è contabile.

23 Esempio: L insieme Z degli interi relativi risulta essere numerabile cioè Z = ℵ 0 poiché i suoi elementi possono essere posti in corrispondenza biunivoca con N tramite la biiezione f : Z N definita nel seguente modo: { 2i se i 0 f(i) = 2i 1 se i > 0. L insieme N è propriamente contenuto nell insieme Z, ciononostante i due insiemi risultano equinumerosi.

24 Coppia di Cantor L insieme N 2 delle coppie di naturali risulta essere numerabile. La corrispondenza biunivoca può essere stabilita con la seguente biiezione, frequentemente chiamata funzione coppia di Cantor (i + j)(i + j + 1) p(i, j) = + i. 2 Il metodo con cui la biiezione p pone in corrispondenza coppie di naturali con i naturali è detto diagonalizzazione. (vedi Figura) Più in generale è possibile mostrare che, per ogni n N, se A è contabile, anche A n lo è.

25 Diagonalizzazione

26 Numerabilitá dei numeri razionali L insieme dei numeri razionali Q corrisponde alle classi d equivalenza della relazione binaria R definita sull insieme Z (Z + ): R ( < a, b >,< c, d > ) se e solo se ad = bc. L insieme Q è dunque equinumeroso all insieme Z (Z + )/ R. D altronde poiché Z è contabile, anche Z 2 lo è e così anche l insiemez (Z + )/ R che è equinumeroso ad un sottoinsieme proprio di Z 2. Ciò prova che Q è contabile. Viceversa: L insieme R dei reali e P(N) delle parti di N non sono numerabili.

27 Notazione O Notazione che esprime l andamento asintotico di una funzione rispetto ad un altra. Data una funzione f : N N, la notazione O ( f(n) ) denota l insieme delle funzioni: {g ( c > 0) ( n 0 > 0) ( n n 0 ) ( g(n) cf(n) ) }. Se O ( f(n) ) (oppure g(n) = O ( f(n) ) ), per valori sufficientemente grandi, la funzione assume valori non superiori a quelli assunti dalla funzione f(n), a meno di una costante moltiplicativa prefissata. g(n) cresce al più come f(n).

28 Notazione Ω Data una funzione f : N N, la notazione Ω ( f(n) ) denota l insieme delle funzioni: {g ( c > 0) ( n 0 > 0) ( n n 0 ) ( g(n) cf(n) ) }. Se g(n) Ω ( f(n) ) (oppure g(n) = Ω ( f(n) ) ) si dice che g(n) cresce almeno come f(n).

29 Notazione Θ Data una funzione f : N N, la notazione Θ ( f(n) ) denota l insieme delle funzioni: g ( c 1 > 0) ( c 2 c 1 ) ( n 0 > 0) ( n n 0 ) ( c 1 f(n) g(n) c 2 f(n) ) }. Se g(n) Θ ( f(n) ) (oppure g(n) = Θ ( f(n) ) ) si dice che g(n) e f(n) crescono nello stesso modo.

30 Notazione o Date due funzione f : N N, con la notazione g(n) = o(f(n)) indichiamo che: g(n) lim n f(n) = 0. Se g(n) = o(f(n)) diciamo che g(n) è un infinitesimo rispetto a f(n) o, equivalentemente, che f(n) è un infinito rispetto a g(n). La stessa relazione può essere espressa mediante la notazione f(n) = ω(g(n)).

31 Proprietá Valgono le seguenti proprietà: f(n) = O ( g(n) ) if and only if g(n) = Ω ( f(n) ) f(n) = Θ ( g(n) ) if and only if g(n) = Θ ( f(n) ) f(n) = Θ ( g(n) ) ( if and only if f(n) = O ( (g(n) )) ( f(n) = Ω ( ) g(n)). Nel seguito utilizzeremo questa notazione per indicare il numero di passi eseguiti da un algoritmo ed esprimere quindi, anche informalmente, il suo costo di esecuzione. Se un algoritmo ha un costo O ( n 2) per una stringa in input di n caratteri, intenderemo dire che esiste una opportuna costante c tale che, per ogni n sufficientemente grande, il numero di passi eseguiti dall algoritmo su ogni stringa di lunghezza n è minore o eguale a cn 2.

32 Esercizi Esprimere con le notazioni O, Ω, Θ e o l andamento asintotico delle seguenti funzioni: f(n) = 3n log n g(n) = 2 n + 5 n4/3 n Dimostrare le sequenti relazioni: f(n) = 3n n = O(n 2 ) g(n) = 1 2 n2 3n = O(n 2 )