Le relazioni tra due insiemi

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1 1 Le relazioni tra due insiemi DEFINIZIONE. Quando tra due insiemi A e B si individua una proprietà che associa agli elementi di A gli elementi di B, tra i due insiemi si stabilisce una corrispondenza; la proprietà che associa gli elementi appartenenti all insieme A con gli elementi appartenenti all insieme B si chiama relazione R. Mettiamo in corrispondenza gli elementi dell insieme A = {BG, MI, TO, Roma} con gli elementi dell insieme B = {Lombardia, Piemonte, Lazio} considerando la caratteristica : << appartiene alla regione >> e rappresentiamo tale corrispondenza in forma sagittale con il diagramma di Eulero-Venn. Gli elementi di B in cui arriva una freccia si dicono immagini: gli elementi di A da cui parte una freccia si dicono controimmagini. Area 2 - Capitolo 2 - PAG

2 1 Le relazioni tra due insiemi È possibile rappresentare la relazione precedente anche mediante: L elenco delle coppie che si formano: C BG, Lombardia ; MI, Lombardia ; TO, Piemonte ; Roma, Lazio Una tabella a doppia entrata Un diagramma cartesiano R BG MI TO Roma Lombardia Piemonte Lazio x x x x Area 2 - Capitolo 2 - PAG

3 1 Le relazioni tra due insiemi Consideriamo ora gli insiemi A = {Roma; Londra; Atene; Oslo; Vienna; Varsavia} e B = {Italia; Francia; Gran Bretagna; Grecia; Austria; Portogallo} e la relazione R da A verso B individuata dalla frase << è capitale di >>. Rappresentiamo la relazione in forma sagittale. Il sottoinsieme di A raggruppa gli elementi da cui parte almeno una freccia. Il sottoinsieme di B raggruppa gli elementi sui quali arriva almeno una freccia. DEFINIZIONE. Il dominio di una relazione è l insieme degli elementi che hanno almeno una immagine in B. Il codominio di una relazione è l insieme degli elementi immagine in A. a A b B che hanno almeno una contro- Area 2 - Capitolo 2 - PAG

4 1 Relazioni particolari DEFINIZIONE. Una corrispondenza tra due insiemi A e B si dice biunivoca se associa ad ogni elemento di A uno e un solo elemento di B e viceversa. DEFINIZIONE. Due insiemi in corrispondenza biunivoca si dicono anche equipotenti. Area 2 - Capitolo 2 - PAG

5 1 Relazioni particolari DEFINIZIONE. Una corrispondenza tra due insiemi A e B si dice univoca se associa a ogni elemento di A uno e un solo elemento di B ma non viceversa. Area 2 - Capitolo 2 - PAG

6 2 Le relazioni in un insieme DEFINIZIONE. Si chiama relazione R in un insieme A la proprietà che associa gli elementi di A con gli elementi di A stesso. Anche in questo caso è possibile rappresentare la relazione attraverso: una rappresentazione sagittale una tabella a doppia entrata una rappresentazione cartesiana Area 2 - Capitolo 2 - PAG

7 3 Le proprietà di una relazione in un insieme La proprietà riflessiva PROPRIETÀ. Una relazione R in un insieme A si dice riflessiva quando ogni elemento x appartenente ad A è in relazione con se stesso. In simboli si scrive: x A x R x La proprietà antiriflessiva PROPRIETÀ. Una relazione R in un insieme A si dice antiriflessiva se nessun elemento x appartenente ad A è in relazione con se stesso. In simboli si scrive: x A x R x Area 2 - Capitolo 2 - PAG

8 3 Le proprietà di una relazione in un insieme La proprietà simmetrica PROPRIETÀ. Una relazione R in un insieme A si dice simmetrica quando considerati due qualsiasi elementi x e y appartenenti ad A ogni volta che x è in relazione con y, allora anche y è in relazione con x. In simboli: x, y A se x R y y R x La proprietà transitiva PROPRIETÀ. Una relazione R in un insieme A si dice transitiva quando considerati tre qualsiasi elementi x, y e z appartenenti ad A, ogni volta che x è in relazione con y e y è in relazione con z, anche x è in relazione con z. In simboli si scrive: x, y, z A se x R y e y R z x R z Area 2 - Capitolo 2 - PAG

9 3 Le proprietà di una relazione in un insieme La proprietà antisimmetrica PROPRIETÀ. Una relazione R in un insieme A si dice antisimmetrica quando, considerati due qualsiasi elementi x e y appartenenti ad A, possono sussistere contemporaneamente x R y e y R x solo se x = y. In simboli: x, y A se x R y e y R x x = y Area 2 - Capitolo 2 - PAG

10 4 Le relazioni di equivalenza e di ordine La relazione di equivalenza DEFINIZIONE. Una relazione R definita in un insieme A si dice di equivalenza quando gode contemporaneamente delle proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva. La relazione di ordine DEFINIZIONE. Una relazione R definita in un insieme A si dice di ordine quando gode contemporaneamente delle proprietà transitiva e antisimmetrica. Inoltre si dice: di ordine largo se R gode anche della proprietà riflessiva; di ordine stretto se R gode anche della proprietà antiriflessiva. Area 2 - Capitolo 2 - PAG