Teoria degli insiemi

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1 Teoria degli insiemi

2 Cos è la teoria degli insiemi La teoria degli insiemi è il fondamento della matematica.

3 Cos è la teoria degli insiemi La teoria degli insiemi è il fondamento della matematica. Questa affermazione è singolare: la teoria degli insiemi ha cominciato a essere svilupata a partire dalla fine del XIX secolo; la matematica esisteva già da qualche millenio. Il significato è: Tutti i concetti matematici possono essere definiti in termini delle nozioni primitive di insieme e appartenenza da cui tutti i risultati matematici possono essere dedotti. Da questa osservazione nasce la teoria degli insiemi.

4 Cos è la teoria degli insiemi Si potrebbe quindi anche dare la definizione matematica = teoria degli insiemi

5 Cos è la teoria degli insiemi Si potrebbe quindi anche dare la definizione matematica = teoria degli insiemi L identificaziona appare sensata, ma non si può escludere che in futuro debba essere soggetta a revisione.

6 Quale teoria degli insiemi? Ci sono varie teorie degli insiemi, non tutte equivalenti fra loro sebbene con larghe sovrapposizioni: hanno tutte l ambizione di contenere la matematica ordinaria!

7 Quale teoria degli insiemi? Ci sono varie teorie degli insiemi, non tutte equivalenti fra loro sebbene con larghe sovrapposizioni: hanno tutte l ambizione di contenere la matematica ordinaria! La teoria chiamata usualmente teoria degli insiemi è la teoria ZFC: Zermelo-Fraenkel con assioma della scelta.

8 Il linguaggio della teoria degli insiemi Una teoria matematica è espressa attraverso formule in un linguaggio.

9 Il linguaggio della teoria degli insiemi Una teoria matematica è espressa attraverso formule in un linguaggio. Il linguaggio della teoria degli insiemi consiste di 1. Simboli logici: Simbolo di uguaglianza = Connettivi (negazione), (disgiunzione), (congiunzione), (implicazione), (biimplicazione) Quantificatori (quantificatore esistenziale), (quantificatore universale) Variabili v0, v 1, v 2,...

10 Il linguaggio della teoria degli insiemi Una teoria matematica è espressa attraverso formule in un linguaggio. Il linguaggio della teoria degli insiemi consiste di 1. Simboli logici: Simbolo di uguaglianza = Connettivi (negazione), (disgiunzione), (congiunzione), (implicazione), (biimplicazione) Quantificatori (quantificatore esistenziale), (quantificatore universale) Variabili v0, v 1, v 2, Simbolo non logico: Relazione binaria di appartenenza

11 Il linguaggio della teoria degli insiemi Dato il linguaggio, si possono definire le formule: Definizione. Siano x, y delle variabili. x = y, x y sono formule Se ϕ, ψ sono formule, anche ϕ, ϕ ψ, ϕ ψ, ϕ ψ, ϕ ψ sono formule Se ϕ è una formula, anche xϕ, xϕ sono formule

12 Gli assiomi di ZFC (primo blocco) 1. Estensionalità: z(z x z y) x = y

13 Gli assiomi di ZFC (primo blocco) 1. Estensionalità: z(z x z y) x = y 2. Fondazione: x y x y(y x z(z x z y))

14 Gli assiomi di ZFC (primo blocco) 1. Estensionalità: z(z x z y) x = y 2. Fondazione: x y x y(y x z(z x z y)) 3. Schema di separazione: Per ogni formula ϕ: y x(x y x z ϕ)

15 Gli assiomi di ZFC (primo blocco) 1. Estensionalità: z(z x z y) x = y 2. Fondazione: x y x y(y x z(z x z y)) 3. Schema di separazione: Per ogni formula ϕ: y x(x y x z ϕ) 4. Coppia: z(x z y z)

16 Gli assiomi di ZFC (primo blocco) 1. Estensionalità: z(z x z y) x = y 2. Fondazione: x y x y(y x z(z x z y)) 3. Schema di separazione: Per ogni formula ϕ: y x(x y x z ϕ) 4. Coppia: z(x z y z) 5. Unione: A Y x(x Y Y F x A)

17 Gli assiomi di ZFC (primo blocco) 1. Estensionalità: z(z x z y) x = y 2. Fondazione: x y x y(y x z(z x z y)) 3. Schema di separazione: Per ogni formula ϕ: y x(x y x z ϕ) 4. Coppia: z(x z y z) 5. Unione: A Y x(x Y Y F x A) 6. Schema di rimpiazzamento: Per ogni formula ϕ: x A!yϕ Y x A y Y ϕ

18 Gli assiomi di ZFC (primo blocco) 1. Estensionalità: z(z x z y) x = y 2. Fondazione: x y x y(y x z(z x z y)) 3. Schema di separazione: Per ogni formula ϕ: y x(x y x z ϕ) 4. Coppia: z(x z y z) 5. Unione: A Y x(x Y Y F x A) 6. Schema di rimpiazzamento: Per ogni formula ϕ: x A!yϕ Y x A y Y ϕ Gli assiomi 1 6 permettono di sviluppare le proprietà elementari della teoria degli insiemi. Questo facilita anche l enunciazione degli assiomi restanti.

19 Primi sviluppi della teoria Definizione. Insieme vuoto: y = x x / y

20 Primi sviluppi della teoria Definizione. Insieme vuoto: y = x x / y Inclusione: x y z(z x z y)

21 Primi sviluppi della teoria Definizione. Insieme vuoto: y = x x / y Inclusione: x y z(z x z y) Coppia ordinata: (x, y) = {{x}, {x, y}

22 Primi sviluppi della teoria Definizione. Insieme vuoto: y = x x / y Inclusione: x y z(z x z y) Coppia ordinata: (x, y) = {{x}, {x, y} Comprensione: y = {z x ϕ(z)} z(z y z x ϕ(z))

23 Primi sviluppi della teoria Definizione. Insieme vuoto: y = x x / y Inclusione: x y z(z x z y) Coppia ordinata: (x, y) = {{x}, {x, y} Comprensione: y = {z x ϕ(z)} z(z y z x ϕ(z)) Unione: F = Y F Y = {x Y F x Y }

24 Primi sviluppi della teoria Definizione. Insieme vuoto: y = x x / y Inclusione: x y z(z x z y) Coppia ordinata: (x, y) = {{x}, {x, y} Comprensione: y = {z x ϕ(z)} z(z y z x ϕ(z)) Unione: F = Y F Y = {x Y F x Y } Prodotto cartesiano: A B = {(x, y) x A, y B}

25 Relazioni e funzioni Definizione. R è una relazione se è un insieme di coppie ordinate

26 Relazioni e funzioni Definizione. R è una relazione se è un insieme di coppie ordinate domr = {x y(x, y) R}

27 Relazioni e funzioni Definizione. R è una relazione se è un insieme di coppie ordinate domr = {x y(x, y) R} f è una funzione se è una relazione e x domf!y(x, y) f. Tale y è denotato f (x). Se domf = A e f A B, si scrive f : A B. Una tale f è biiettiva se x, y A (x y f (x) f (y)) e z B x A f (x) = z.

28 Relazioni e funzioni Definizione. R è una relazione se è un insieme di coppie ordinate domr = {x y(x, y) R} f è una funzione se è una relazione e x domf!y(x, y) f. Tale y è denotato f (x). Se domf = A e f A B, si scrive f : A B. Una tale f è biiettiva se x, y A (x y f (x) f (y)) e z B x A f (x) = z. Se R, S sono relazioni, A, B sono insiemi ed f : A B, allora f è un isomorfismo tra (A, R) e (B, S) se f è biiettiva e x, y A (xry f (x)sf (y))

29 Relazioni e funzioni Definizione. R è una relazione se è un insieme di coppie ordinate domr = {x y(x, y) R} f è una funzione se è una relazione e x domf!y(x, y) f. Tale y è denotato f (x). Se domf = A e f A B, si scrive f : A B. Una tale f è biiettiva se x, y A (x y f (x) f (y)) e z B x A f (x) = z. Se R, S sono relazioni, A, B sono insiemi ed f : A B, allora f è un isomorfismo tra (A, R) e (B, S) se f è biiettiva e x, y A (xry f (x)sf (y)) R è un ordine totale (stretto) su A se è irriflessiva ( x A xrx), transitiva ( x, y, z A (xry yrz xrz)) e totale ( x, y A (x = y xry yrx))

30 Relazioni e funzioni Definizione. R è una relazione se è un insieme di coppie ordinate domr = {x y(x, y) R} f è una funzione se è una relazione e x domf!y(x, y) f. Tale y è denotato f (x). Se domf = A e f A B, si scrive f : A B. Una tale f è biiettiva se x, y A (x y f (x) f (y)) e z B x A f (x) = z. Se R, S sono relazioni, A, B sono insiemi ed f : A B, allora f è un isomorfismo tra (A, R) e (B, S) se f è biiettiva e x, y A (xry f (x)sf (y)) R è un ordine totale (stretto) su A se è irriflessiva ( x A xrx), transitiva ( x, y, z A (xry yrz xrz)) e totale ( x, y A (x = y xry yrx))...

31 Relazioni e funzioni Definizione. R è una relazione se è un insieme di coppie ordinate domr = {x y(x, y) R} f è una funzione se è una relazione e x domf!y(x, y) f. Tale y è denotato f (x). Se domf = A e f A B, si scrive f : A B. Una tale f è biiettiva se x, y A (x y f (x) f (y)) e z B x A f (x) = z. Se R, S sono relazioni, A, B sono insiemi ed f : A B, allora f è un isomorfismo tra (A, R) e (B, S) se f è biiettiva e x, y A (xry f (x)sf (y)) R è un ordine totale (stretto) su A se è irriflessiva ( x A xrx), transitiva ( x, y, z A (xry yrz xrz)) e totale ( x, y A (x = y xry yrx))... Si può dunque in questo frammento di ZFC cominciare a sviluppare la matematica ordinaria (per garantire l esistenza di altri enti importanti in matematica c è bisogno degli altri assiomi). Ma la teoria risulta abbastanza interessante da studiare per interesse indipendente.

32 Buoni ordini Un concetto importante in molte aree della matematica e fondamentale in teoria degli insiemi è quello di buon ordine. Definizione. Una relazione d ordine (A, R) è un buon ordine se ogni sottoinsieme non vuoto B A ha un elemento minimo rispetto a R.

33 Buoni ordini Un concetto importante in molte aree della matematica e fondamentale in teoria degli insiemi è quello di buon ordine. Definizione. Una relazione d ordine (A, R) è un buon ordine se ogni sottoinsieme non vuoto B A ha un elemento minimo rispetto a R. Lemma. Se (A, R) è un buon ordine e a A, allora (A, R) non è isomorfo al suo segmento iniziale ({x A xra}, R).

34 Buoni ordini Un concetto importante in molte aree della matematica e fondamentale in teoria degli insiemi è quello di buon ordine. Definizione. Una relazione d ordine (A, R) è un buon ordine se ogni sottoinsieme non vuoto B A ha un elemento minimo rispetto a R. Lemma. Se (A, R) è un buon ordine e a A, allora (A, R) non è isomorfo al suo segmento iniziale ({x A xra}, R). Dimostrazione. Se f : A {x A xra} è un isomorfismo, l elemento min{y A f (y) y} produce una contraddizione.

35 Buoni ordini Un concetto importante in molte aree della matematica e fondamentale in teoria degli insiemi è quello di buon ordine. Definizione. Una relazione d ordine (A, R) è un buon ordine se ogni sottoinsieme non vuoto B A ha un elemento minimo rispetto a R. Lemma. Se (A, R) è un buon ordine e a A, allora (A, R) non è isomorfo al suo segmento iniziale ({x A xra}, R). Dimostrazione. Se f : A {x A xra} è un isomorfismo, l elemento min{y A f (y) y} produce una contraddizione. Lemma. Se (A, R), (B, S) sono buoni ordini isomorfi, l isomorfismo tra loro è unico. Dimostrazione. Se f, g : A B sono isomorfismi, l esistenza di min{y A f (y) g(y)} fornisce una contraddizione.

36 Buoni ordini Teorema. Se (A, R), (B, S) sono buoni ordini, vale esattamente una delle alternative seguenti: 1. (A, R), (B, S) sono isomorfi 2. (A, R), ({y B ysb}, S) sono isomorfi, per qualche b B 3. ({x A xra}, R), (B, S) sono isomorfi, per qualche a A

37 Buoni ordini Teorema. Se (A, R), (B, S) sono buoni ordini, vale esattamente una delle alternative seguenti: 1. (A, R), (B, S) sono isomorfi 2. (A, R), ({y B ysb}, S) sono isomorfi, per qualche b B 3. ({x A xra}, R), (B, S) sono isomorfi, per qualche a A Dimostrazione. Sia f = {(a, b) A B {x A xra} {y B ysb}}. Allora f è un isomorfismo tra un segmento iniziale di A e un segmento iniziale di B, e non possono essere entrambi propri.

38 Ordinali Definizione. Un insieme x è transitivo se ogni elemento di x è sottoinsieme di x: y x y x

39 Ordinali Definizione. Un insieme x è transitivo se ogni elemento di x è sottoinsieme di x: y x y x x è un numero ordinale se è transitivo e la relazione è un buon ordine su x

40 Ordinali Definizione. Un insieme x è transitivo se ogni elemento di x è sottoinsieme di x: y x y x x è un numero ordinale se è transitivo e la relazione è un buon ordine su x Esempi d ordinali (i numeri naturali) 0 =

41 Ordinali Definizione. Un insieme x è transitivo se ogni elemento di x è sottoinsieme di x: y x y x x è un numero ordinale se è transitivo e la relazione è un buon ordine su x Esempi d ordinali (i numeri naturali) 0 = 1 = {0}

42 Ordinali Definizione. Un insieme x è transitivo se ogni elemento di x è sottoinsieme di x: y x y x x è un numero ordinale se è transitivo e la relazione è un buon ordine su x Esempi d ordinali (i numeri naturali) 0 = 1 = {0} 2 = {0, 1} = {, { }}

43 Ordinali Definizione. Un insieme x è transitivo se ogni elemento di x è sottoinsieme di x: y x y x x è un numero ordinale se è transitivo e la relazione è un buon ordine su x Esempi d ordinali (i numeri naturali) 0 = 1 = {0} 2 = {0, 1} = {, { }} 3 = {0, 1, 2} = {, { }, {, { }}}

44 Ordinali Definizione. Un insieme x è transitivo se ogni elemento di x è sottoinsieme di x: y x y x x è un numero ordinale se è transitivo e la relazione è un buon ordine su x Esempi d ordinali (i numeri naturali) 0 = 1 = {0} 2 = {0, 1} = {, { }} 3 = {0, 1, 2} = {, { }, {, { }}}... Con gli assiomi introdotti finora non si può dimostrare l esistenza di altri ordinali.

45 Ordinali Teorema. 1. Se x è un ordinale e y x, allora y è un ordinale e y è l insieme dei -predecessori di se stesso in x

46 Ordinali Teorema. 1. Se x è un ordinale e y x, allora y è un ordinale e y è l insieme dei -predecessori di se stesso in x 2. Se x, y sono ordinali e x y, allora x = y

47 Ordinali Teorema. 1. Se x è un ordinale e y x, allora y è un ordinale e y è l insieme dei -predecessori di se stesso in x 2. Se x, y sono ordinali e x y, allora x = y 3. Se x, y sono ordinali, esattamente una delle seguenti alternative vale: x y, x = y, y x

48 Ordinali Teorema. 1. Se x è un ordinale e y x, allora y è un ordinale e y è l insieme dei -predecessori di se stesso in x 2. Se x, y sono ordinali e x y, allora x = y 3. Se x, y sono ordinali, esattamente una delle seguenti alternative vale: x y, x = y, y x 4. Se x, y, z sono ordinali e x y, y z, allora x z

49 Ordinali Teorema. 1. Se x è un ordinale e y x, allora y è un ordinale e y è l insieme dei -predecessori di se stesso in x 2. Se x, y sono ordinali e x y, allora x = y 3. Se x, y sono ordinali, esattamente una delle seguenti alternative vale: x y, x = y, y x 4. Se x, y, z sono ordinali e x y, y z, allora x z 5. Se C è un insieme non vuoto di ordinali, allora x C y C (x = y x y) 6. Se ϕ è una formula soddisfatta da almeno un ordinale, allora c è un minimo ordinale che la soddisfa Dimostrazione. (5) Sia x C. Se x C =, allora x è -minimo in C. Altrimenti min(x C) = min C. (6) Simile a (5). Si esprime anche dicendo che ogni classe non vuota di ordinali ha un minimo.

50 Ordinali Lemma. Se A è un insieme transitivo di ordinali, allora A è un ordinale. Teorema. Se (A, R) è un buon ordine, allora c è un unico ordinale C isomorfo a (A, R).

51 Ordinali Lemma. Se A è un insieme transitivo di ordinali, allora A è un ordinale. Teorema. Se (A, R) è un buon ordine, allora c è un unico ordinale C isomorfo a (A, R). Dimostrazione. (Esistenza) Siano B = {a A x (x è un ordinale e {b A bra} x)} f (a) = l unico x tale che {b A bra} x.

52 Ordinali Lemma. Se A è un insieme transitivo di ordinali, allora A è un ordinale. Teorema. Se (A, R) è un buon ordine, allora c è un unico ordinale C isomorfo a (A, R). Dimostrazione. (Esistenza) Siano B = {a A x (x è un ordinale e {b A bra} x)} f (a) = l unico x tale che {b A bra} x. Se C = imf è l immagine di f, per il lemma precedente C è un ordinale e f : B C è un isomorfismo. Se fosse B A, sia m = min(a \ B). Allora B = {a A arm}, da cui m B, contraddizione.

53 Ordinali Lemma. Se A è un insieme transitivo di ordinali, allora A è un ordinale. Teorema. Se (A, R) è un buon ordine, allora c è un unico ordinale C isomorfo a (A, R). Dimostrazione. (Esistenza) Siano B = {a A x (x è un ordinale e {b A bra} x)} f (a) = l unico x tale che {b A bra} x. Se C = imf è l immagine di f, per il lemma precedente C è un ordinale e f : B C è un isomorfismo. Se fosse B A, sia m = min(a \ B). Allora B = {a A arm}, da cui m B, contraddizione. Gli ordinali sono dunque rappresentanti dei tipi d ordine dei buoni ordini.

54 Ordinali La relazione α β tra ordinali si scrive di solito α < β. α β significa α = β α < β.

55 Ordinali La relazione α β tra ordinali si scrive di solito α < β. α β significa α = β α < β. Lemma. Per ogni α, β ordinali, α β α β.

56 Ordinali La relazione α β tra ordinali si scrive di solito α < β. α β significa α = β α < β. Lemma. Per ogni α, β ordinali, α β α β. Definizione. Il successore di un ordinale α è Sα = α {α}.

57 Ordinali La relazione α β tra ordinali si scrive di solito α < β. α β significa α = β α < β. Lemma. Per ogni α, β ordinali, α β α β. Definizione. Il successore di un ordinale α è Sα = α {α}. Lemma. Per ogni ordinale α: S(α) è un ordinale

58 Ordinali La relazione α β tra ordinali si scrive di solito α < β. α β significa α = β α < β. Lemma. Per ogni α, β ordinali, α β α β. Definizione. Il successore di un ordinale α è Sα = α {α}. Lemma. Per ogni ordinale α: S(α) è un ordinale α < Sα

59 Ordinali La relazione α β tra ordinali si scrive di solito α < β. α β significa α = β α < β. Lemma. Per ogni α, β ordinali, α β α β. Definizione. Il successore di un ordinale α è Sα = α {α}. Lemma. Per ogni ordinale α: S(α) è un ordinale α < Sα β(β < Sα β α)

60 Ordinali La relazione α β tra ordinali si scrive di solito α < β. α β significa α = β α < β. Lemma. Per ogni α, β ordinali, α β α β. Definizione. Il successore di un ordinale α è Sα = α {α}. Lemma. Per ogni ordinale α: S(α) è un ordinale α < Sα β(β < Sα β α) Inoltre, se X è un insieme non vuoto di ordinali, sup X = X.

61 Ordinali Definizione. Un ordinale α è un ordinale successore se α = Sβ per qualche β

62 Ordinali Definizione. Un ordinale α è un ordinale successore se α = Sβ per qualche β un ordinale limite se non è 0 nè un ordinale sucessore

63 Ordinali Definizione. Un ordinale α è un ordinale successore se α = Sβ per qualche β un ordinale limite se non è 0 nè un ordinale sucessore Definizione. α è un numero naturale se β α (β = 0 β è successore). I naturali formano quindi un segmento iniziale degli ordinali.

64 Operazioni sugli ordinali Si definiscono, per induzione transfinita, alcune operazioni sugli ordinali (che coincidono sui naturali con le corrispondenti operazioni aritmetiche):

65 Operazioni sugli ordinali Si definiscono, per induzione transfinita, alcune operazioni sugli ordinali (che coincidono sui naturali con le corrispondenti operazioni aritmetiche): Addizione. α + 0 = α α + Sβ = S(α + β) Se λ è un ordinale limite, α + λ = sup{α + β β < λ}

66 Operazioni sugli ordinali Si definiscono, per induzione transfinita, alcune operazioni sugli ordinali (che coincidono sui naturali con le corrispondenti operazioni aritmetiche): Addizione. α + 0 = α α + Sβ = S(α + β) Se λ è un ordinale limite, α + λ = sup{α + β β < λ} α + β è il tipo d ordine di un unione disgiunta di un tipo d ordine α con in coda un tipo d ordine β. Per esempio, α + 1 = Sα.

67 Operazioni sugli ordinali Moltiplicazione α0 = 0 αsβ = αβ + α Se λ è un ordinale limite, αλ = sup{αβ β < λ}

68 Operazioni sugli ordinali Moltiplicazione α0 = 0 αsβ = αβ + α Se λ è un ordinale limite, αλ = sup{αβ β < λ} αβ è il tipo d ordine di α β ordinato antilessicograficamente.

69 Operazioni sugli ordinali Moltiplicazione α0 = 0 αsβ = αβ + α Se λ è un ordinale limite, αλ = sup{αβ β < λ} αβ è il tipo d ordine di α β ordinato antilessicograficamente. Esponenziazione. α 0 = 1 α β+1 = α β α Se λ è un ordinale limite, α λ = sup{α β β < λ}

70 Gli assiomi di ZFC (secondo blocco) 7. Infinito: x(0 x y x Sy x)

71 Gli assiomi di ZFC (secondo blocco) 7. Infinito: x(0 x y x Sy x) 8. Potenza: y z(z x z y)

72 Gli assiomi di ZFC (secondo blocco) 7. Infinito: x(0 x y x Sy x) 8. Potenza: y z(z x z y) 9. Scelta: f : F F X F (X f (X ) X )

73 Gli assiomi di ZFC (secondo blocco) 7. Infinito: x(0 x y x Sy x) 8. Potenza: y z(z x z y) 9. Scelta: f : F F X F (X f (X ) X ) L assioma della scelta è equivalente al Principio del buon ordinamento. Ogni insieme è bene ordinabile.

74 Gli assiomi di ZFC (secondo blocco) 7. Infinito: x(0 x y x Sy x) 8. Potenza: y z(z x z y) 9. Scelta: f : F F X F (X f (X ) X ) L assioma della scelta è equivalente al Principio del buon ordinamento. Ogni insieme è bene ordinabile. Lemma di Zorn. Se A è un insieme (parzialmente) ordinato tale che ogni suo sottoinsieme totalmente ordinato ha un maggiorante, allora A ha un elemento massimale.

75 Gli assiomi di ZFC (secondo blocco) 7. Infinito: x(0 x y x Sy x) 8. Potenza: y z(z x z y) 9. Scelta: f : F F X F (X f (X ) X ) L assioma della scelta è equivalente al Principio del buon ordinamento. Ogni insieme è bene ordinabile. Lemma di Zorn. Se A è un insieme (parzialmente) ordinato tale che ogni suo sottoinsieme totalmente ordinato ha un maggiorante, allora A ha un elemento massimale. (Un ordine parziale è una relazione riflessiva: x x x; transitiva: x, y, z (x y y z x z); antisimmetrica: x, y (x y y x x = y). È totale se x, y (x y y x).)

76 Gli assiomi di ZFC (secondo blocco) 7. Infinito: x(0 x y x Sy x) 8. Potenza: y z(z x z y) 9. Scelta: f : F F X F (X f (X ) X ) L assioma della scelta è equivalente al Principio del buon ordinamento. Ogni insieme è bene ordinabile. Lemma di Zorn. Se A è un insieme (parzialmente) ordinato tale che ogni suo sottoinsieme totalmente ordinato ha un maggiorante, allora A ha un elemento massimale. (Un ordine parziale è una relazione riflessiva: x x x; transitiva: x, y, z (x y y z x z); antisimmetrica: x, y (x y y x x = y). È totale se x, y (x y y x).) Definizione. L insieme dei numeri naturali, che esiste per gli assioma dell infinito e di separazione, è indicato con ω.

77 Gli assiomi di ZFC (secondo blocco) 7. Infinito: x(0 x y x Sy x) 8. Potenza: y z(z x z y) 9. Scelta: f : F F X F (X f (X ) X ) L assioma della scelta è equivalente al Principio del buon ordinamento. Ogni insieme è bene ordinabile. Lemma di Zorn. Se A è un insieme (parzialmente) ordinato tale che ogni suo sottoinsieme totalmente ordinato ha un maggiorante, allora A ha un elemento massimale. (Un ordine parziale è una relazione riflessiva: x x x; transitiva: x, y, z (x y y z x z); antisimmetrica: x, y (x y y x x = y). È totale se x, y (x y y x).) Definizione. L insieme dei numeri naturali, che esiste per gli assioma dell infinito e di separazione, è indicato con ω. Teorema. ω è un ordinale. È il minimo degli ordinali infiniti (cioè non in biiezione con un numero naturale).

78 Gli assiomi di ZFC (secondo blocco) 7. Infinito: x(0 x y x Sy x) 8. Potenza: y z(z x z y) 9. Scelta: f : F F X F (X f (X ) X ) L assioma della scelta è equivalente al Principio del buon ordinamento. Ogni insieme è bene ordinabile. Lemma di Zorn. Se A è un insieme (parzialmente) ordinato tale che ogni suo sottoinsieme totalmente ordinato ha un maggiorante, allora A ha un elemento massimale. (Un ordine parziale è una relazione riflessiva: x x x; transitiva: x, y, z (x y y z x z); antisimmetrica: x, y (x y y x x = y). È totale se x, y (x y y x).) Definizione. L insieme dei numeri naturali, che esiste per gli assioma dell infinito e di separazione, è indicato con ω. Teorema. ω è un ordinale. È il minimo degli ordinali infiniti (cioè non in biiezione con un numero naturale). Definizione. P(x) = {z x x} è l insieme potenza di x.

79 Numeri cardinali Definizione. Dato un insieme A, la cardinalità di A, denotata A, è il minimo ordinale α in biiezione con A (l esistenza di α è l enunciato dell assioma della scelta). Se α è tale che A = α per qualche α (equivalentemente, α = α ), allora α è un numero cardinale. L insieme A è finito se A è un numero naturale. L insieme A è numerabile se A ω.

80 Numeri cardinali Definizione. Dato un insieme A, la cardinalità di A, denotata A, è il minimo ordinale α in biiezione con A (l esistenza di α è l enunciato dell assioma della scelta). Se α è tale che A = α per qualche α (equivalentemente, α = α ), allora α è un numero cardinale. L insieme A è finito se A è un numero naturale. L insieme A è numerabile se A ω. Teorema. Se κ, λ sono cardinali κ = λ sse esiste una bijezione κ λ sse esistono iniezioni κ λ, λ κ κ λ sse esiste una iniezione κ λ sse esiste una suriezione λ κ

81 Il teorema di Cantor Esistono cardinali arbitrariamente grandi: Teorema. A < P(A).

82 Il teorema di Cantor Esistono cardinali arbitrariamente grandi: Teorema. A < P(A). Dimostrazione. a {a} testimonia A P(A).

83 Il teorema di Cantor Esistono cardinali arbitrariamente grandi: Teorema. A < P(A). Dimostrazione. a {a} testimonia A P(A). Viceversa, si mostra che non c è alcuna suriezione A P(A). Sia g : A P(A) una funzione. Allora I = {x A x / g(x)} / img.

84 Il teorema di Cantor Esistono cardinali arbitrariamente grandi: Teorema. A < P(A). Dimostrazione. a {a} testimonia A P(A). Viceversa, si mostra che non c è alcuna suriezione A P(A). Sia g : A P(A) una funzione. Allora I = {x A x / g(x)} / img. Definizione. α + è il minimo cardinale più grande di α.

85 Il teorema di Cantor Esistono cardinali arbitrariamente grandi: Teorema. A < P(A). Dimostrazione. a {a} testimonia A P(A). Viceversa, si mostra che non c è alcuna suriezione A P(A). Sia g : A P(A) una funzione. Allora I = {x A x / g(x)} / img. Definizione. α + è il minimo cardinale più grande di α. κ è un cardinale successore se κ = α + per qualche α.

86 Il teorema di Cantor Esistono cardinali arbitrariamente grandi: Teorema. A < P(A). Dimostrazione. a {a} testimonia A P(A). Viceversa, si mostra che non c è alcuna suriezione A P(A). Sia g : A P(A) una funzione. Allora I = {x A x / g(x)} / img. Definizione. α + è il minimo cardinale più grande di α. κ è un cardinale successore se κ = α + per qualche α. Un cardinale κ è un cardinale limite se κ > ω e κ non è un cardinale successore.

87 La sequenza degli ℵ Si definisce la sequenza dei cardinali ℵ α = ω α :

88 La sequenza degli ℵ Si definisce la sequenza dei cardinali ℵ α = ω α : Definizione. ω 0 = ω

89 La sequenza degli ℵ Si definisce la sequenza dei cardinali ℵ α = ω α : Definizione. ω 0 = ω ω α+1 = ω α +

90 La sequenza degli ℵ Si definisce la sequenza dei cardinali ℵ α = ω α : Definizione. ω 0 = ω ω α+1 = ω α + Se λ è un ordinale limite, ω λ = sup{ω α α < λ}

91 La sequenza degli ℵ Si definisce la sequenza dei cardinali ℵ α = ω α : Definizione. ω 0 = ω ω α+1 = ω + α Se λ è un ordinale limite, ω λ = sup{ω α α < λ} Teorema. 1. La sequenza degli ℵ α contiene tutti e soli i numeri cardinali 2. α < β ℵ α < ℵ β 3. ℵ α è un cardinale successore sse α è un ordinale successore; ℵ α è un cardinale limite sse α è un ordinale limite

92 Operazioni sui cardinali Si possono definire operazioni di somma, prodotto e esponenziazione cardinale. Estendono le corrispondenti operazioni sui naturali, ma non coincidono con le operazioni definite sugli ordinali infiniti. Addizione. κ + λ è la cardinalità di un unione disgiunta di un insieme di cardinalità κ e uno di cardinalità λ: κ + λ = (κ {0}) (λ {1}). Moltiplicazione. κ + λ è la cardinalità di un prodotto cartesiano di un insieme di cardinalità κ e uno di cardinalità λ: κλ = κ λ.

93 Operazioni sui cardinali Si possono definire operazioni di somma, prodotto e esponenziazione cardinale. Estendono le corrispondenti operazioni sui naturali, ma non coincidono con le operazioni definite sugli ordinali infiniti. Addizione. κ + λ è la cardinalità di un unione disgiunta di un insieme di cardinalità κ e uno di cardinalità λ: κ + λ = (κ {0}) (λ {1}). Moltiplicazione. κ + λ è la cardinalità di un prodotto cartesiano di un insieme di cardinalità κ e uno di cardinalità λ: κλ = κ λ. Tuttavia queste operazioni non sono interessanti: se almeno uno tra κ e λ è infinito, κ + λ = κλ = max(κ, λ).

94 Operazioni sui cardinali Definizione. Per A, B insiemi, A B = B A = {f : B A}.

95 Operazioni sui cardinali Definizione. Per A, B insiemi, A B = B A = {f : B A}. Se κ, λ sono ordinali, è di solito preferibile usare la notazione λ κ per questo insieme di funzioni, per evitare confusione col numero cardinale κ λ.

96 Operazioni sui cardinali Definizione. Per A, B insiemi, A B = B A = {f : B A}. Se κ, λ sono ordinali, è di solito preferibile usare la notazione λ κ per questo insieme di funzioni, per evitare confusione col numero cardinale κ λ. Esponenziazione. Se κ, λ sono cardinali, κ λ = λ κ.

97 Operazioni sui cardinali Definizione. Per A, B insiemi, A B = B A = {f : B A}. Se κ, λ sono ordinali, è di solito preferibile usare la notazione λ κ per questo insieme di funzioni, per evitare confusione col numero cardinale κ λ. Esponenziazione. Se κ, λ sono cardinali, κ λ = λ κ. Esempi. 2 λ = P(λ)

98 Operazioni sui cardinali Definizione. Per A, B insiemi, A B = B A = {f : B A}. Se κ, λ sono ordinali, è di solito preferibile usare la notazione λ κ per questo insieme di funzioni, per evitare confusione col numero cardinale κ λ. Esponenziazione. Se κ, λ sono cardinali, κ λ = λ κ. Esempi. 2 λ = P(λ) 2 ℵ0 = R è la cardinalità del continuo

99 Operazioni sui cardinali Definizione. Per A, B insiemi, A B = B A = {f : B A}. Se κ, λ sono ordinali, è di solito preferibile usare la notazione λ κ per questo insieme di funzioni, per evitare confusione col numero cardinale κ λ. Esponenziazione. Se κ, λ sono cardinali, κ λ = λ κ. Esempi. 2 λ = P(λ) 2 ℵ0 = R è la cardinalità del continuo Teorema. Se 2 κ λ e λ è infinito, λ < 2 λ = κ λ.

100 Operazioni sui cardinali Definizione. Per A, B insiemi, A B = B A = {f : B A}. Se κ, λ sono ordinali, è di solito preferibile usare la notazione λ κ per questo insieme di funzioni, per evitare confusione col numero cardinale κ λ. Esponenziazione. Se κ, λ sono cardinali, κ λ = λ κ. Esempi. 2 λ = P(λ) 2 ℵ0 = R è la cardinalità del continuo Teorema. Se 2 κ λ e λ è infinito, λ < 2 λ = κ λ. Dimostrazione. 2 λ κ λ

101 Operazioni sui cardinali Definizione. Per A, B insiemi, A B = B A = {f : B A}. Se κ, λ sono ordinali, è di solito preferibile usare la notazione λ κ per questo insieme di funzioni, per evitare confusione col numero cardinale κ λ. Esponenziazione. Se κ, λ sono cardinali, κ λ = λ κ. Esempi. 2 λ = P(λ) 2 ℵ0 = R è la cardinalità del continuo Teorema. Se 2 κ λ e λ è infinito, λ < 2 λ = κ λ. Dimostrazione. 2 λ κ λ λ λ

102 Operazioni sui cardinali Definizione. Per A, B insiemi, A B = B A = {f : B A}. Se κ, λ sono ordinali, è di solito preferibile usare la notazione λ κ per questo insieme di funzioni, per evitare confusione col numero cardinale κ λ. Esponenziazione. Se κ, λ sono cardinali, κ λ = λ κ. Esempi. 2 λ = P(λ) 2 ℵ0 = R è la cardinalità del continuo Teorema. Se 2 κ λ e λ è infinito, λ < 2 λ = κ λ. Dimostrazione. 2 λ κ λ λ λ P(λ λ)

103 Operazioni sui cardinali Definizione. Per A, B insiemi, A B = B A = {f : B A}. Se κ, λ sono ordinali, è di solito preferibile usare la notazione λ κ per questo insieme di funzioni, per evitare confusione col numero cardinale κ λ. Esponenziazione. Se κ, λ sono cardinali, κ λ = λ κ. Esempi. 2 λ = P(λ) 2 ℵ0 = R è la cardinalità del continuo Teorema. Se 2 κ λ e λ è infinito, λ < 2 λ = κ λ. Dimostrazione. 2 λ κ λ λ λ P(λ λ) = P(λ)

104 Operazioni sui cardinali Definizione. Per A, B insiemi, A B = B A = {f : B A}. Se κ, λ sono ordinali, è di solito preferibile usare la notazione λ κ per questo insieme di funzioni, per evitare confusione col numero cardinale κ λ. Esponenziazione. Se κ, λ sono cardinali, κ λ = λ κ. Esempi. 2 λ = P(λ) 2 ℵ0 = R è la cardinalità del continuo Teorema. Se 2 κ λ e λ è infinito, λ < 2 λ = κ λ. Dimostrazione. 2 λ κ λ λ λ P(λ λ) = P(λ) = 2 λ.

105 L ipotesi del continuo Il teorema di Cantor asserisce che α 2 ℵα ℵ α+1.

106 L ipotesi del continuo Il teorema di Cantor asserisce che α 2 ℵα ℵ α+1. Definizione. CH è l enunciato: 2 ℵ0 = ℵ 1 GCH è l enunciato α 2 ℵα = ℵ α+1

107 L ipotesi del continuo Il teorema di Cantor asserisce che α 2 ℵα ℵ α+1. Definizione. CH è l enunciato: 2 ℵ0 = ℵ 1 GCH è l enunciato α 2 ℵα = ℵ α+1 Si tratta dei più famosi enunciati indipendenti in ZFC, cioè tali che (se ZFC è consistente) nè essi nè le loro negazioni sono dimostrabili.

108 La cofinalità Definizione. Sia L = (L, ) un ordine totale senza massimo elemento. La cofinalità cof (L) di L è il minimo ordinale α tale che esiste una funzione illimitata (cofinale) f : α L.

109 La cofinalità Definizione. Sia L = (L, ) un ordine totale senza massimo elemento. La cofinalità cof (L) di L è il minimo ordinale α tale che esiste una funzione illimitata (cofinale) f : α L. La funzione f può essere presa strettamente crescente.

110 La cofinalità Definizione. Sia L = (L, ) un ordine totale senza massimo elemento. La cofinalità cof (L) di L è il minimo ordinale α tale che esiste una funzione illimitata (cofinale) f : α L. La funzione f può essere presa strettamente crescente. In particolare, cof (L) L.

111 La cofinalità Definizione. Sia L = (L, ) un ordine totale senza massimo elemento. La cofinalità cof (L) di L è il minimo ordinale α tale che esiste una funzione illimitata (cofinale) f : α L. La funzione f può essere presa strettamente crescente. In particolare, cof (L) L. Lemma. 1. cof (L) è un cardinale 2. Se α, β sono ordinali limiti e f : α β è strettamente crescente e cofinale, allora cof (α) = cof (β) 3. cof (cof (β)) = cof (β)

112 La cofinalità Definizione. Sia L = (L, ) un ordine totale senza massimo elemento. La cofinalità cof (L) di L è il minimo ordinale α tale che esiste una funzione illimitata (cofinale) f : α L. La funzione f può essere presa strettamente crescente. In particolare, cof (L) L. Lemma. 1. cof (L) è un cardinale 2. Se α, β sono ordinali limiti e f : α β è strettamente crescente e cofinale, allora cof (α) = cof (β) 3. cof (cof (β)) = cof (β) Dimostrazione (2) cof (β) cof (α) per l esistenza della funzione cofinale cof (α) α β. Viceversa, sia g : cof (β) β cofinale e h : cof (β) α definita da h(ξ) = min{η f (η) > g(ξ)}.

113 La cofinalità Esempi. cof (ω) = ω.

114 La cofinalità Esempi. cof (ω) = ω. cof (ℵ 1 ) = ℵ 1 ; più in generale, ogni cardinale successore è regolare.

115 La cofinalità Esempi. cof (ω) = ω. cof (ℵ 1 ) = ℵ 1 ; più in generale, ogni cardinale successore è regolare. cof (ℵ ω ) = ω, infatti f : ω ℵ ω, n ℵ n è illimitata

116 La cofinalità Esempi. cof (ω) = ω. cof (ℵ 1 ) = ℵ 1 ; più in generale, ogni cardinale successore è regolare. cof (ℵ ω ) = ω, infatti f : ω ℵ ω, n ℵ n è illimitata In generale, se α è un ordinale limite, allora cof (ℵ α ) = cof (α).

117 La cofinalità Esempi. cof (ω) = ω. cof (ℵ 1 ) = ℵ 1 ; più in generale, ogni cardinale successore è regolare. cof (ℵ ω ) = ω, infatti f : ω ℵ ω, n ℵ n è illimitata In generale, se α è un ordinale limite, allora cof (ℵ α ) = cof (α). Dunque se ℵ α è un cardinale limite regolare, ℵ α = α.

118 La cofinalità Esempi. cof (ω) = ω. cof (ℵ 1 ) = ℵ 1 ; più in generale, ogni cardinale successore è regolare. cof (ℵ ω ) = ω, infatti f : ω ℵ ω, n ℵ n è illimitata In generale, se α è un ordinale limite, allora cof (ℵ α ) = cof (α). Dunque se ℵ α è un cardinale limite regolare, ℵ α = α. Questa condizione non è però sufficiente: sia α 0 = ℵ 0 α n+1 = ℵ αn α = sup{α n n ω} Allora ℵ α = α,

119 La cofinalità Esempi. cof (ω) = ω. cof (ℵ 1 ) = ℵ 1 ; più in generale, ogni cardinale successore è regolare. cof (ℵ ω ) = ω, infatti f : ω ℵ ω, n ℵ n è illimitata In generale, se α è un ordinale limite, allora cof (ℵ α ) = cof (α). Dunque se ℵ α è un cardinale limite regolare, ℵ α = α. Questa condizione non è però sufficiente: sia α 0 = ℵ 0 α n+1 = ℵ αn α = sup{α n n ω} Allora ℵ α = α, ma cof (ℵ α ) = cof (α) = ω.

120 La cofinalità Esempi. cof (ω) = ω. cof (ℵ 1 ) = ℵ 1 ; più in generale, ogni cardinale successore è regolare. cof (ℵ ω ) = ω, infatti f : ω ℵ ω, n ℵ n è illimitata In generale, se α è un ordinale limite, allora cof (ℵ α ) = cof (α). Dunque se ℵ α è un cardinale limite regolare, ℵ α = α. Questa condizione non è però sufficiente: sia α 0 = ℵ 0 α n+1 = ℵ αn α = sup{α n n ω} Allora ℵ α = α, ma cof (ℵ α ) = cof (α) = ω. cof (κ) = λ significa che κ è unione di λ insiemi di cardinalità minore di κ.

121 Cardinali inaccessibili Un modo di costruire in ZFC dei cardinali via via più grandi è di iterare le operazioni di potenza κ 2 κ e estremo superiore {κ α α < λ} sup{κ α α < λ}:

122 Cardinali inaccessibili Un modo di costruire in ZFC dei cardinali via via più grandi è di iterare le operazioni di potenza κ 2 κ e estremo superiore {κ α α < λ} sup{κ α α < λ}: quest ultimo ha cofinalità λ.

123 Cardinali inaccessibili Un modo di costruire in ZFC dei cardinali via via più grandi è di iterare le operazioni di potenza κ 2 κ e estremo superiore {κ α α < λ} sup{κ α α < λ}: quest ultimo ha cofinalità λ. Definizione. Un cardinale infinito κ è regolare se cof (κ) = κ. Altrimenti è singolare.

124 Cardinali inaccessibili Un modo di costruire in ZFC dei cardinali via via più grandi è di iterare le operazioni di potenza κ 2 κ e estremo superiore {κ α α < λ} sup{κ α α < λ}: quest ultimo ha cofinalità λ. Definizione. Un cardinale infinito κ è regolare se cof (κ) = κ. Altrimenti è singolare. Per esempio: ℵ 0 e i cardinali successori sono regolari; ℵ ω è singolare.

125 Cardinali inaccessibili Definizione. κ è debolmente inaccessibile se κ è un cardinale limite regolare

126 Cardinali inaccessibili Definizione. κ è debolmente inaccessibile se κ è un cardinale limite regolare κ è fortemente inaccessibile se κ > ℵ 0, κ è regolare e λ < κ 2 λ < κ

127 Cardinali inaccessibili Definizione. κ è debolmente inaccessibile se κ è un cardinale limite regolare κ è fortemente inaccessibile se κ > ℵ 0, κ è regolare e λ < κ 2 λ < κ Quindi: κ fortemente inaccessibile κ debolmente inaccessibile

128 Cardinali inaccessibili Definizione. κ è debolmente inaccessibile se κ è un cardinale limite regolare κ è fortemente inaccessibile se κ > ℵ 0, κ è regolare e λ < κ 2 λ < κ Quindi: κ fortemente inaccessibile κ debolmente inaccessibile (GCH) κ fortemente inaccessibile κ debolmente inaccessibile

129 Cardinali inaccessibili Definizione. κ è debolmente inaccessibile se κ è un cardinale limite regolare κ è fortemente inaccessibile se κ > ℵ 0, κ è regolare e λ < κ 2 λ < κ Quindi: κ fortemente inaccessibile κ debolmente inaccessibile (GCH) κ fortemente inaccessibile κ debolmente inaccessibile L esistenza di cardinali debolmente inaccessibili non è dimostrabile in ZFC.

130 Cardinali inaccessibili Definizione. κ è debolmente inaccessibile se κ è un cardinale limite regolare κ è fortemente inaccessibile se κ > ℵ 0, κ è regolare e λ < κ 2 λ < κ Quindi: κ fortemente inaccessibile κ debolmente inaccessibile (GCH) κ fortemente inaccessibile κ debolmente inaccessibile L esistenza di cardinali debolmente inaccessibili non è dimostrabile in ZFC. È equiconsistente con l esistenza di un debolmente inaccessibile che 2 ℵ0 sia debolmente inaccessibile, o che sia più grande che un debolmente inaccessibile.

131 La teoria degli insiemi

132 La teoria degli insiemi Combinatorica infinita

133 La teoria degli insiemi Combinatorica infinita Grandi cardinali

134 La teoria degli insiemi Combinatorica infinita Grandi cardinali Dimostrazioni di consistenza e indipendenza

135 La teoria degli insiemi Combinatorica infinita Grandi cardinali Dimostrazioni di consistenza e indipendenza Modelli interni Forcing

136 La teoria degli insiemi Combinatorica infinita Grandi cardinali Dimostrazioni di consistenza e indipendenza Modelli interni Forcing Teoria descrittiva degli insiemi

137 La teoria degli insiemi Combinatorica infinita Grandi cardinali Dimostrazioni di consistenza e indipendenza Modelli interni Forcing Teoria descrittiva degli insiemi Determinatezza

138 La teoria degli insiemi Combinatorica infinita Grandi cardinali Dimostrazioni di consistenza e indipendenza Modelli interni Forcing Teoria descrittiva degli insiemi Determinatezza Set theoretic topology

139 La teoria degli insiemi Combinatorica infinita Grandi cardinali Dimostrazioni di consistenza e indipendenza Modelli interni Forcing Teoria descrittiva degli insiemi Determinatezza Set theoretic topology Fuzzy set theory

140 La teoria degli insiemi Combinatorica infinita (l assioma di Martin, l ipotesi di Suslin) Teoria descrittiva degli insiemi (teorema di Cantor-Bendixson)