Giulio Del Corso. Attenzione:

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1 Dispense di Elementi di Teoria degli insiemi (ETI) Giulio Del Corso Attenzione: Questi appunti sono la trascrizione delle lezioni del corso di ETI tenuto nel 2014 dal Prof. Di Nasso, questo file non contiene le dimostrazioni svolte ma solo gli enunciati e le osservazioni. In alcuni casi accanto alla scritta in grassetto troverete il simbolo (Dn), questo significa che nel foglio allegato delle dimostrazioni quella proposizione è stata dimostrata. Qualsiasi errore possa esservi vi pregherei di segnalarmelo all indirizzo giulio.pisa@virgilio.it così da poterlo correggere. GDC 1

2 Indice: 3 Teoria intuitiva ed introduttiva 7 Cardinalità 10 Teoria assiomatica ZFC 14 Aritmetica di Peano 16 Teoria delle classi 17 Buoni ordini 20 Ordinali 26 Cardinali GDC 2

3 Teoria di Elementi di Teoria degli Insiemi: Teoria introduttiva ed intuitiva degli insiemi: Definizione informale (Formula): È un oggetto matematico contenente esclusivamente: Variabili: Simboli logici: Connettivi: Quantificatori: Definizione informale (Enunciato): È un affermazione matematica che si può dire VERA o FALSO. Attenzione: Una proprietà in funzione di una variabile come non è un enunciato ma se aggiungo un quantificatore la variabile diventa legata (Ad esempio ). Proprietà: Tabella di verità: V V V V V V F V F F V F F F F V F V V F V F F F F V V V Due enunciati si dicono equivalenti se le tavole di verità coincidono. Esempio: Contro nominale Concetto primitivo: Insieme è una collezione di oggetti. GDC 3

4 Principi della teoria intuitiva degli insiemi: Principio del Linguaggio: Tutte le proprietà insiemistiche sono descrivibili mediante il linguaggio della teoria degli insiemi, ossia: Formule ; Principio di Estensionalità: (Insiemi) se e solo se hanno gli stessi elementi. Formula: Principio di Comprensione: Se è una proprietà ammissibile allora esiste un insieme i cui elementi sono tutti e soli gli x che la soddisfano. Formula: Ammissibili serve ad evitare casi come il paradosso di Russell,. Un insieme di questo genere viene rappresentato come Notazioni formali: Volendo l uguaglianza potrebbe essere descritta come: Unione Intersezione Differenza insiemistica Inclusione Insieme vuoto Essendo una proprietà irrealizzabile ma ammissibile per il principio di estensionalità è unico. in quanto è dal punto di vista logico sempre vero. Insieme delle parti o Insieme potenza Notazioni utili: GDC 4

5 Teoria degli Insiemi pura: Siccome stiamo lavorando con una Teoria degli insiemi pura vogliamo definire ogni oggetto matematico come insieme. Coppia ordinata: Insieme di Kuratowski Prodotto cartesiano: Relazione binaria: È un insieme di coppie ordinate. significa che Si dice che è una relazione su quando Funzione: Una relazione binaria (In quanto una ternaria può essere vista come una binaria tra una coppia ed un elemento, etc.) univoca. Formula: e si scrive Una funzione così definita è il suo grafico. si dice surgettiva su si dice iniettiva se se Data Notazione: GDC 5

6 Definizione: Una -successione è una con dominio in (Le successioni con dominio in ne sono un caso particolare). Attenzione: è una funzione. è l insieme immagine. Notazioni: Data famiglia non vuota di insiemi: Data sequenza non vuota di insiemi: Definizione (Prodotto cartesiano infinito): Data successione infinita, il prodotto cartesiano infinito è: Assioma della scelta: Sia una sequenza infinita non vuota di insiemi non vuoti. Allora Se la sequenza è finita questo è un teorema ottenuto scrivendo la formula. Perché non funziona su? Perché non posso scrivere una formula di un numero infinito di termini. Attenzione: Se ho un modo per caratterizzare l insieme, in pratica per scegliere l elemento, posso scrivere la formula e quindi non necessito dell assioma della scelta. Esempio: lavorando con insiemi con una relazione di ordine potrei prendere il minimo. Teorema: Le seguenti proprietà sono equivalenti: 1. Assioma della scelta 2. famiglia di insiemi non vuoti di scelta 3. famiglia di insiemi non vuoti insieme di scelta (Sempre con intersezione 1) 4. surgettiva GDC 6

7 Cardinalità: Definizione (Equipotenti): Due insiemi si dicono equipotenti se bigettiva. Ha le proprietà di una relazione di equivalenza ma non esiste l insieme che contenga gli insiemi equipotenti. Teorema di Cantor (D1): Sia un insieme qualunque allora non esistono funzioni surgettive Osservazione carina: Vale anche sull insieme vuoto in quanto Corollario: Non esiste l insieme di tutti gli insiemi Definizione : quando iniettiva. Proposizione: Se allora: se Teorema di Cantor - Bernstein (D2): Se e allora Proposizione: surgettiva GDC 7

8 Proposizione (AC): Sia insieme infinito e un insieme finito, allora Corollario (AC): infinito, se finito allora Notazione: Cardinalità del numerabile: si dice se è e si scrive Teorema (AC,D3): Se è infinito Teorema (Processo diagonale di Cantor,D4): Non surgettive. Definizione (Insieme infinito): È un insieme che è in corrispondenza biunivoca con un suo sottoinsieme proprio. Definizione (Insieme finito): È un insieme il cui complementare è infinito. Teorema (AC): Se è una sequenza dove e allora GDC 8

9 Definizione (Cardinalità del continuo): Teorema: Ipotesi del continuo (Indecidibile): infinito Equivalente: Non esistono cardinalità intermedie fra e Notazione: Proposizione (AC,D5): Se Corollario (Teorema di Cantor): GDC 9

10 Teoria assiomatica degli insiemi di Zermelo Fraenkel (ZFC): Definizione (Simboli logici): Sono i simboli divisi in: Connettivi: Variabili: Quantificatori: (Esistenziale) (Universale) Definizione (Formula): Sono sequenze finite di simboli logici, parentesi e i simboli e (Formule atomiche): Se sono variabili allora è una formula del tipo Se è una formula allora è una formula con le stesse variabili libere. Se e sono formule allora sono formule con le variabili libere di entrambe. Se è una formula e sono formule con le stesse variabili libere di tranne che è detta variabile legata. Esempio: è una formula con variabile legata e variabile libera. Definizione (Enunciato): Una formula dove tutte le variabili sono legate. Equivalente: Una formula che si può dire vera o falsa. Esempio: Parametri: Sono due insiemi assegnati, potrebbero essere assegnati universalmente con i quantificatori ma preferiamo considerarli come già presi. GDC 10

11 Assioma 1: Estensionalità Assioma 2: Vuoto indicato con il simbolo Assioma 3: Coppia Assioma 4: Unione In formula: Assioma 5: Potenza Assioma 6: Schema di separazione o Assioma dei sottoinsiemi Dato un insieme che già so esistere allora posso prendere ogni sottoinsieme di questo che rispetti una data proprietà. Formula: Dove è una formula con tutte e sole le variabili libere. Assioma 7: Scelta Se è una sequenza infinita di insiemi non vuoti allora Assioma 8: Infinito insiemi induttivi. Assioma 9: Fondazione Equivalente: ha elementi minimali. GDC 11

12 Proprietà derivate dagli assiomi (1-6): Costruzione dei numeri naturali: Un modo intuitivo per definirli potrebbe essere: Osservazione 1: L esistenza di ciascuno dei singoli insiemi precedenti è garantita dagli assiomi 1-7 Osservazione 2: È necessario l assioma 8 per garantire l esistenza dell insieme che li contenga tutti e soli. Notazione: Definizione (Insieme induttivo): insieme si dice induttivo se: Definizione formale (Numero naturale di Von Neumann): si dice naturale se appartiene ad ogni induttivo. Proposizione (D6): è un numero naturale; è induttivo. Teorema (Principio di Induzione, D7): se e vale allora GDC 12

13 Teorema (Naturali): è un insieme totalmente ordinato, ossia: una sola tra (Tricotomia) vale una e Proposizione (Successore): che associa ad ogni elemento il suo successore è una bigezione. Se è il successore di allora è il più piccolo naturale maggiore di. Teorema (D8): Sia un insieme ordinato con minimo, allora sono equivalenti: 1. non vuoto ha minimo (Principio del buon ordinamento) 2. se vale allora vale (Principio di Induzione) Teorema di ricorsione numerabile (D9): insieme; allora Successione di elementi di Definizione (Insieme finito): Un insieme si dice finito se naturale Principio dei cassetti (D10): Se e allora è non iniettiva. GDC 13

14 Assiomi dell Aritmetica di Peano: Operazioni su : allora: dove dove Lo scopo è caratterizzare l insieme dei naturali a partire da delle proprietà assiomatiche della funzione successore. Definizione (Modello di PA o Sistema di numeri naturali): insieme elemento zero Funzione successore Operazione Somma Operazione Prodotto Che devono soddisfare le seguenti proprietà (Assiomi): PA1: Tutti e soli gli elementi di PA2: La funzione successore è iniettiva. PA3 (Somma): sono successori. PA4 (Prodotto): PA5II (Induzione di 2 ordine): Se allora Questi bastano a dimostrare l unicità (Brevemente sono gli assiomi ) PA5I (Induzione di 1 ordine): Sia una formula, Definizione (<): Proprietà: < è una relazione di ordine totale. Teorema di Esistenza (D11): è un modello di Teorema di Unicità (D12): Tutti i modelli di sono isomorfi. Ricordiamo (Isomorfismo): Due modelli di sono isomorfi se In tal caso GDC 14

15 Corollario: I naturali sono univocamente determinati da Costruzione di ulteriori insiemi: Definizione insieme degli interi: con è una relazione di equivalenza In ogni classe di equivalenza c è un unico elemento della forma: oppure oppure Allora identifichiamo: con ; con e con Cosicché Definizione (Somma e prodotto in ): Proposizione: è un anello ordinato discreto. Definizione (Razionali): Il sistema dei numeri razionali è definito come con: con Somma: Prodotto: è un campo ordinato denso e archimedeo. Definizione (Taglio di Dedekind): si dice un taglio di Dedekind se: è non banale è un segmento iniziale non ha massimo Esempi: Definizione (Reali): altrimenti con GDC 15

16 Teoria delle classi (Bernays-Von Neumann): Idea: Costruire degli oggetti del tipo. Alcune classi possono essere insiemi, nel caso non siano insiemi si parla di cassi proprie. Esempi di classe proprie sono: Gli elementi delle classi si dicono insiemi. Assiomi sulle classi: Estensionalità: Due classi sono uguali se hanno gli stessi elementi. Comprensione (o Astrazione): Per ogni formula dove si quantificano solo insiemi e per ogni classe esiste la classe Sono classi: Sottoclassi di insiemi sono insiemi Definizione (Funzione classe): Una funzione classe è una classe i cui elementi sono coppie ordinate e tale che è una classe. Se indichiamo con quell unico Esempi: Data funzione classe è una classe propria. Assioma di Rimpiazzamento: Sia una funzione classe e un insieme contenuto in. Allora anche: è un insieme. Assioma dei Sottoinsiemi: Sia una classe e un insieme è un insieme (Sottoclassi di insiemi sono insiemi) GDC 16

17 Buoni ordini: Definizione (Buoni ordini): Un insieme ordinato è ben ordinato se Ogni insieme totalmente ordinato finito è ben ordinato. Ogni insieme totalmente ordinato finito ha massimo e minimo. Due insiemi ordinato finiti equipotenti sono isomorfi (L isomorfismo preserva l ordine). Proposizione (AC,D13): è ben ordinato catene discendenti. Definizione (Segmento iniziale): Se è ordinato allora è un segmento iniziale se Definizione (Generato): Un segmento iniziale S si dice generato da un elemento se Esempio (generato): Esempio (non generato): segmento iniziale su. Proposizione (D14): Se è ordinato è ben ordinato ogni segmento iniziale è generato da un qualche elemento. Proprietà: 1. Se è una famiglia di insiemi ordinati dove uno è sottoinsieme dell altro (Le relazioni d ordine sono le restrizioni di quelle degli insiemi più grandi) allora è un insieme ordinato. 2. La 1. non vale rimpiazzando ordinato con ben ordinato. 3. Se è una famiglia di insiemi ben ordinati che sono uno il segmento iniziale dell altro allora è un buon ordinamento. GDC 17

18 Proposizione: Sia buon ordinamento, allora: 1. Se preserva l ordine allora Se 4. L unico automorfismo è l identità. Può capitare che buon ordinamento e Esempio: Teorema della Tricotomia dei buoni ordini (D15): Se sono buoni ordini, allora vale una ed una sola fra: per opportuno per opportuno Ogni b. ordinamento può essere ottenuto dai precedenti per ricorsione transfinita. Proprietà: Sia un insieme ordinato infinito, allora sono proprietà equivalenti: Ogni segmento iniziale è finito. 3. Nessun infinito ha massimo. Sia ben ordinato e allora famiglia non vuota di buoni ordini, allora che ha tipo di ordine minimo. Se è ben ordinato allora ben ordinati allora anche è ben ordinato. GDC 18

19 Somma, prodotto ed esponenziazione di buoni ordini: Definizione (Somma): Dati insiemi ordinati allora è l insieme con l ordine: è ben ordinato e sono ben ordinati Notazione: Definizione (Prodotto): Dati insiemi ordinati allora è l insieme con l ordine: oppure è ben ordinato e sono ben ordinati Proprietà distributiva a destra: Definizione (Esponenziale): Dati insiemi ben ordinati allora con l ordine della massima differenza: con Notazione: Se e sono insiemi ben ordinati allora è ben ordinato. GDC 19

20 Ordinali: Definizione (Ordinale): si dice ordinale se: 1. è un buon ordine 2. è transitivo ( ) Esempi: Ogni naturale è un ordinale è un ordinale (Ed ha il più piccolo tipo d ordine tra i buoni ordinamenti infiniti, segue dalla tricotomia). è ben ordinato ma non è transitivo quindi non è un ordinale. Proprietà: Sia un ordinale: ordinale è un ordinale buon ordinamento è un ordinale al posto della 2. Vale Teorema (D16): Se ordinali isomorfi allora Tricotomia degli ordinali: Se ordinali allora vale una ed una sola delle seguenti proprietà: ordinali sono proprietà equivalenti: segmento iniziale proprio di GDC 20

21 Proposizione (Insiemi di ordinali): insieme di ordinali, allora: ordinale è un insieme transitivo. Idea (Tipi di ordinali): Esistono tre tipi di ordinali: Teorema: (D17) buon ordinamento un ordinale GDC 21

22 Operazioni sugli ordinali: Induzione transfinita (Sugli ordinali) (D18): Sia una proprietà ed assumiamo che valga ordinale: Allora per tutti gli ordinali. Osservazione pratica: Si distinguono i tre casi: è un successore, ossia ammette massimo. è limite, cioè non ha massimo Caratterizzazione del limite: è un limite Esempio: è un limite mentre non lo è. Quindi data una proprietà dimostriamo che valgono: Allora Se è un limite ordinale. Teorema di ricorsione transfinita: Data una funzione classe definita su tutti gli insiemi allora: Funzione classe definita sulla classe degli ordinali Data funzione classe allora è un insieme. Teorema di ricorsione per casi: Date due funzioni classe e un insieme allora: Funzione classe se è un limite. Teorema di ricorsione teorema di ricorsione per casi. GDC 22

23 Definizione (Somma di ordinali): Esempio: Teorema: (Ordinali) (Buoni ordini) Teorema: Se la somma fra ordinali coincide con la somma fra Naturali di Von Neumann. Proprietà: il viceversa è falso, basta considerare Esempio dimostrazione: Caso base: Caso successore: avendo ipotizzando. Infatti Caso limite: limite, ipotesi vale dunque Definizione (Prodotto di ordinali): Proprietà: con Teorema: (Ordinali) (Buoni ordini) Esempio: GDC 23

24 Definizione (Esponenziazione di ordinali): Proprietà: Attenzione: ordinali Esempi di operazioni: Generalizzando: Per passare a sfruttiamo: Generalizzando: Per passare a sfruttiamo: Generalizzando: Per passare a sfruttiamo: Idea: Quando stiamo lavorando con i limiti dobbiamo cercare di portarli in una forma più facile. Se riusciamo a costruire una catena di disuguaglianze il cui primo e ultimo termine siano maggiorabili l un l altro semplicemente alzando il parametro abbiamo vinto. (Ad esempio allora tutto quello che è compreso nei puntini è equivalente) GDC 24

25 Dato sono proprietà equivalenti: per qualche Dato sono proprietà equivalenti: (Moltiplicativamente chiuso) 3. Proprietà: è un limite è della forma per qualche Successori e limiti: Dati due ordinali indichiamo con S un successore e con L un limite. S S S S? S L L L L L S S L L L L L L L Proposizione: Se è un successore allora limite oppure ed Sottrazioni: Dati Teorema di divisone euclidea (D19): Dati Esempio: diviso Si procede a tentativi: Quindi il quoziente è, cerchiamo il resto. Forma normale di Cantor (Base ) (D20): con GDC 25

26 Cardinali: Definizione (Cardinali): Un ordinale si dice cardinale se è un ordinale iniziale, cioè se Proprietà: sono cardinali finiti. Ogni cardinale infinito è limite, infatti se Attenzione: Il viceversa è falso: ma è infinito allora è un limite ma non è un cardinale in quanto Teorema (AC,D21): Ogni insieme è equipotente ad un unico cardinale. Funzione classe Aleph: È un funzione definita per ricorsione transfinita: Quindi: Ricordiamo che è la funzione classe di Hartogs definita a partire da un insieme come: Osservazione (D22): è un insieme. è un ordinale. è un cardinale. iniettiva. Se è un ordinale allora è il più piccolo ordinale di cardinalità maggiore. Teorema (D23): Ogni cardinale è un GDC 26

27 Proposizione(D24): funzione classe è continua, cioè se limite vale Allora ammette punti fissi arbitrariamente grandi. Esempi di cardinali: Definizione (Somme e prodotti infiniti di cardinali): sequenza di cardinali, allora: con e per con Se Proprietà pratica (D25) Esempio: Proposizione (D26): Sia un insieme infinito, allora famiglia di insiemi due a due disgiunti e Teorema (D27): Se è una sequenza debolmente crescente di cardinali allora GDC 27

28 Teorema di Konig (D28): cardinali infiniti per allora Esempio: Definizione (Cofinalità): Dato insieme totalmente ordinato Se ha massimo allora, altrimenti è un cardinale infinito. Esempio: Proprietà (D29): Sia un insieme totalmente ordinato, allora sono uguali: Definizione (Cardinale regolare/singolare): Un cardinale si dice regolare se, se si dice singolare. Esempio: è regolare mentre Proprietà (D30): Ogni cardinale successore è singolare. è regolare. Proposizione: Se limite GDC 28

29 Teorema pratico (D31): è il minimo cardinale dove Lemma (D32): Se sono cardinali e Teorema di Hausdorff (D33): Notazione: è il cardinale successore di Esempio: GDC 29

30 Funzione classe Beth: Questa funzione è crescente e continua dunque ha punti fissi. Gerarchia di Von Neumann: Definiamo come l universo di Von Neumann (Classe propria) Proprietà (D34): è transitivo Proposizione: Assioma di fondazione: Equivalente: In ogni insieme non vuoto esistono elementi minimali. Teorema (D35): Assioma di Fondazione Teorema (D36): Assioma di Fondazione Non esistono catene discendenti GDC 30