Quello che avreste dovuto sapere su ordinali e cardinali, ma non avete mai osato studiare.

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1 Relazione per il seminario di logica, Milano, 11 Aprile Quello che avreste dovuto sapere su ordinali e cardinali, ma non avete mai osato studiare. Giorgio Venturi Si può giustamente affermare che senza ordinali e cardinali non ci sarebbe la teoria degli insiemi; e questo per tre motivi. In primo luogo storicamente questi concetti e la teoria nascono insieme, secondariamente sono insiemi maneggevoli per i calcoli ed infine svolgono il ruolo di quella che si potrebbe definire la spina dorsale dell universo della teoria degli insiemi. In queste pagine mi limiterò a enunciare fatti utili per la comprensione di questi due concetti. Il discorso utilizzerà definizioni, proposizioni e teoremi, senza soffermarsi sulle dimostrazioni. Per queste e per una trattazione più approfondita rimando a A. Andretta Dispense del corso di istituzioni di logica ( e al più classico K.Kunen Set theory. An introduction to indipendence proofs. Tutto il discorso seguente avrà come cornice di riferimento ZF C. L obiettivo di queste pagine è riassumere i principali fatti salienti, su ordinali e cardinali, tali da rendere possibile uno studio dei grandi cardinali. 1 Ordinali Il concetto di ordinale è legato, come dice il nome al tipo d ordine che si può dare ad un insieme, mettendo in fila, in maniera ordinata, i suoi elementi. L idea intuitiva di mettere in fila, si traduce, matematicamente nel concetto di buon ordine. Definizione 1.1. Una relazione R si definisce buon ordine su un insieme X, sse è un ordine lineare stretto (irriflessivo, antisimmetrico, transitivo e totale) e tale che per ogni A X, esista un elemento R-minimale di A. Prima di definire che cosa sia un ordinale, bisogna spiegara cosa si intende per insieme transitivo. Definizione 1.2. Un insieme A si dice transitivo sse A A. A = {x u A(x u)} Dove 1

2 Facciamo un paio di esempi molto utili per dopo. La seguente successione comprende solo insiemi transitivi:, { }, {, { }}, {, { }, {, { }}}, e così via. Invece, { }, {{ }}, {{{ }}},..., non lo sono. Definizione 1.3. Si dice ordinale un insieme α tale che α sia transitivo e β α, β è transitivo. Vediamo subito un fatto importante. Se definiamo come Ord la classe di tutti gli ordinali, ci si può chiedere se essa sia un insieme 1. Teorema 1.4. Ord non è un insieme, ma una classe propria. L idea della dimostrazione è che se fosse un insieme sarebbe un ordinale e da qui si arriva alla contraddizione Ord Ord. Dopo aver visto quali sono gli elementi degli ordinali, vediamo qual è la relazione che mette in ordine i suoi elementi. Vediamo subito che la relazione di appartenenza è totale sulla classe degli ordinali. La verifica delle altre proprietà dei buoni ordini sono banali e quindi come corollario avremo che è un buon ordine su Ord. Fatto 1.5. Se α, β Ord α β α = β β α La dimostrazione di questo fatto non è difficile e sfrutta un metodo molto usato quando si utilizzano gli ordinali. Si crea l insieme per cui questa proprietà non è verificata, ne si prende l elemento minimo e da lì se ne deduce una contraddizione. Quindi come corollario. Corollario 1.6. è un buon ordine su Ord e quindi su ogni ordinale. Vi sono tre tipi di ordinali: 0 zero α + 1 successore λ limite Dato un ordinale, si definisce il suo successore nel seguente modo S(α) = α {α}. Un ordinale è limite sse non è zero e non è successore. Si può dimostrare che se λ 0, allora λ = λ. Il più piccolo ordinale limite è ω, che è l insieme di tutti i numeri naturali. Infatti, grazie all esempio fatto e con le seguenti identificazioni: = 0, { } =1, {, { }} = 2, {, { }, {, { }}} = 3, e così via, si può dimostrare che 1 Ricordiamo che un insieme è una collezione di oggetti che è possibile generare grazie agli assiomi di ZF C. Inoltre se una collezione di oggetti è contenuta in un insieme è essa stessa un insieme, altrimenti viene detta una classe proprio. Intuitivamente gli insiemi sono oggetti piccoli (manipolabili con la sintassi della teoria, mentre le classi proprie sono molto grandi.) 2

3 Fatto 1.7. Ogni numero naturale è un ordinale. L aspetto interessante è che un buon ordine equivalente a quello dell appartenteza, viene fornito dalla relazione di inclusione. Questo teorema sfrutta il fatto che gli ordinali sono insiemi transitivi. Teorema 1.8. Se α, β Ord, allora α β α < β α β. Una volta date le definizioni di base è possibile costruire un aritmetica ordinale, definendo le principali operazioni. Definizione 1.9. Il tipo d ordine associato all ordinale α+β è quello indotto su (α {0} β {1}) dalla realzione R = {<< ξ, 0 >, < η, 0 >> ξ < η < α} {<< ξ, 1 >, < η, 1 >> ξ < η < β} [(α {0}) (β {1})] La somma ordinale ha tante belle proprietà simili a quelle della somma tra numeri interi (e le loro ovvie generalizzazioni ad ordinali limite), ma ha una grande differenza: non è commutativa. Infatti ω + 1 ω = 1 + ω. Intuitivamente fare infiniti passi e poi farne ancora uno è diverso che farne uno e poi infiniti, che come si vede equivale a farne infiniti. Definizione Il tipo d ordine associato all ordinale α β è quello indotto su (α β) dalla realzione lessicografica (per capirsi quella del vocabolario)r. < ξ, η > R <, ξ, η > (ξ < ξ (ξ = ξ η < η )). Infine l esponenziale: Definizione L esponenziale α β è definito per ricorsione. α 0 = 1, α β+1 = α β α, se β è un ordinale limite, allora α β = sup{α ξ ξ < β} 2. Per le proprietà elementari delle operazioni appena definite si può consultare uno dei due testi citati all inizio, oppure fare un po di conti per esercizio. 2 Cardinali I cardinali sono un tipo particolare di orinali. E bene prima introdurre la nozione di cardinalità di un insieme; poi applicando questa nozione agli ordinali, ci sarà possibile definire i cardinali. 2 Ovviamente, se A è un insieme di ordinali, supa è ancora un ordinale. E il più piccolo che contenga tutti gli ordinali di A come elementi. 3

4 Definizione 2.1. Se X è un insieme ben ordinabile (i.e. immagine suriettiva di un ordinale: α f(f : α X)) 3, la cardinalità di X è il più piccolo ordinale in biiezione con X. Questo viene indicato con X. Quindi: Definizione 2.2. Se κ Ord si dice che κ è un cardinale sse κ = κ e si scrive κ Card. Come si può immaginare, anche Card non è un insieme, ma una classe propria. Ed inoltre si dimostra che ogni numero naturale è un cardinale. La classe dei cardinali è illimitata in quella degli ordinali. Cioè: Teorema 2.3. α κ(κ > α e κ Card). Con > la solita relazione sugli ordinali. Questo è una consequenza immediata del teorema di Canoto che afferma che la cardinalità dell insieme potenza di un insieme è sempre maggiore di quella dell insieme stesso. Inoltre i cardinali, che non siano i numeri naturali, sono di un genere particolare. Teorema 2.4. Ogni cardinale infinito (non finito) è un ordinale limite. Come per gli ordinali è possibile definire somma, e prodotto (cardinali). Definizione 2.5. Se κ, λ Card, κ λ = κ {0} λ {1}, mentre κ λ = κ λ. Questa volta però la somma è commutativa ed inoltre valgono molte proprietà che rendono maneggevole l operazione. In più per i cardinali infiniti abbiamo delle proprietà, a prima vista controintuitive. Teorema 2.6. Se κ è un cardinale infinito, κ κ = κ. Teorema 2.7. Se κ e λ sono cardinali infiniti, κ λ = κ κ = max(κ, λ). Si può definire anche l esponenziale. Definizione 2.8. Siano κ e λ cardinali, κ λ = la crdinalità delle funzioni da λ in κ. Inoltre per l esponenziale vale il seguente teorema. Teorema 2.9. Se 2 κ λ e λ è un cardinale infinito, allora esiste una biezione tra i seguenti insiemi: e quindi hanno la stessa cardinalità. 2 λ, κ λ, λ λ 3 L ipotesi non è restrittiva, poichè se si assume AC tutti gli insiemi sono ben ordinabili. L assunzione di AC non è importante solo per ottenere che a ogni insieme sia associata la sua cardinalità, ma anche per lo sviluppo di tutta l aritmetica cardinale. 4

5 Anche per quanto riguarda i cardinali è possibile definire il concetto di successore. Definizione Si definisce come α + come il più piccolo cardinale > α. κ è detto un cardinale successore sse κ = α + per un qualche α. Inoltr κ è un cardinale limite se κ > ω e non è successore. I cardinali infiniti sono immagine della mappa ℵ: Ord Card. Definizione Per induzione definiamo ℵ 0 = ω, ℵ α+1 = ℵ + α, ℵ γ con γ un ordinale limite è il sup{ℵ α α < γ}. In questi termini l ipotesi del continuo generalizzata (GCH) afferma che 2 ℵα = ℵ α+1, cioè che 2 ℵα = ℵ + α. E quindi, per definizione che non eistono cardinali intermedi. Concludiamo con un ultimo concetto: quello di cofinalità. Definizione Sia f : α β. Diciamo che f mappa α cofinalmente in β sse l immagine di f è illimitata in β Definizione Diciamo che la cofinalità di β è α = cf(β) sse α è il più piccolo ordinale tale che esista un mappa cofinale di α in β. Grazie alla cofinalità possiamo definire i cardinali singolari e regolari. Definizione Un ordinale β si dice regolare sse β è limite e β = cf(β). Singolare altrimenti. Si dimostra che: Teorema Se β è regolare, allora β è un cardinale. Teorema ω è regolare e κ + è regolare. A questo punto è possibile dare la definizione del più piccolo dei grandi cardinali. Definizione κ viene detto debolmente inaccessibile sse κ è un cardinale limite regolare. κ viene detto fortemente inaccessibile sse κ > ω, è un regolare e λ < κ(2 λ < κ). 5