Istituzioni di Logica Matematica

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1 Istituzioni di Logica Matematica Sezione 11 del Capitolo 3 Alessandro Andretta Dipartimento di Matematica Università di Torino A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA / 19

2 L antinomia di Russell Due principi fondamentali. Principio di estensionalità Due insiemi sono uguali sse hanno gli stessi elementi. Quindi un insieme è completamente determinato dai suoi elementi. Principio di comprensione Ogni proprietà P (x) definisce un insieme, c è un insieme {x P (x)}. L antinomia di Russell Consideriamo la proprietà P (x) data da x / x e sia R = {x x / x}. R / R R R R / R A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA / 19

3 Fissiamo un linguaggio del prim ordine con un solo predicato binario. Gli oggetti della nostra trattazione si chiamano classi. Gli elementi di una classe sono a loro volta classi. Definizione Una classe A è un insieme sse A appartiene a qualche classe. Posso definire la formula Ins(x) che dice che x è un insieme, y(x y). Una classe propria è una classe che non è un insieme. Definiremo la teoria del prim ordine Morse-Kelly MK. A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA / 19

4 Assioma di estensionalità z(z x z y) x = y. Schema di assiomi di comprensione Se x è libera in ϕ(x, y 1,..., y n ) e A è una variabile differente da x, y 1,..., y n. Allora A x (x A z(x z) ϕ(x, y 1,..., y n )). Cioè per ogni ϕ e per ogni scelta di classi y 1,..., y n, posso trovare la classe A di tutti gli insiemi che soddisfano ϕ. Per estensionalità A è unica e si denota con A = {x ϕ(x, y 1,..., y n )} Nota bene: Sono infiniti assiomi, uno per ogni ϕ. A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA / 19

5 Riesaminiamo l antinomia di Russell: per comprensione R = {x x / x} è una classe. Se R fosse un insieme, allora R R R / R, quindi R è una classe propria. Notazione {x A ϕ(x, y 1,..., y n )} è la classe data dalla formula x A ϕ(x, y 1,..., y n ). A B = {x x A x B} = {x A x B} = {x B x A}. A B = {x x A x B}. A \ B = {x x A x / B} = {x A x / B}. A B = (A \ B) (B \ A). Dall Assioma di Estensionalità segue che A B = B A, A B = B A e A B = B A. A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA / 19

6 Assioma di esistenza di insiemi x y (x y). Definizione x è una sotto-classe di y sse z(z x z y). In simboli x y. Se y x e x è un insieme, vogliamo che anche y sia un insieme. Assioma dell insieme potenza Se x è un insieme allora c è un insieme y tale che z (z x z y). L insieme y è unico per estensionalità e si indica con P(x). A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA / 19

7 La classe vuota {x x x} = è inclusa in un qualsiasi insieme, quindi è un insieme. Assioma della coppia Ins(x) Ins(y) z (Ins(z) w (w z w = x w = y)). L insieme z lo si indica con {x, y}. Se x = y lo si scrive {x}. Definizione (x, y) def = {{x}, {x, y}}. Proposizione Per ogni insieme x, y, z, w, (x, y) = (z, w) x = z y = w. A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA / 19

8 Assioma di fondazione x y(y x x y = ). Se x x, allora {x} è un insieme e per l assioma di fondazione c è un y {x} tale che y {x} = : ma y = x e x x {x}, contraddizione. Definizione V def = {x x = x} è la classe di tutti gli insiemi. Definizione Se A è una classe l unione su A è A = x A x def = {y x A(y x)} e l intersezione su A è A = x A x def = {y x A(y x)}. Per convenzione: se A = allora A =. A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA / 19

9 Assioma dell unione Se A è un insieme allora anche A è un insieme. Se x e y sono insiemi, allora {x, y} e x y def = {x, y} sono insiemi. A B def = {(x, y) x A, y B} = {c a b(a A b B c = (a, b))} è una classe che esiste per l Assioma di Comprensione. Proposizione Se A e B sono insiemi, anche A B è un insieme. Dimostrazione. Basta trovare un insieme che contiene A B. Se x A e y B, allora {x}, {x, y} A B e quindi (x, y) = {{x}, {x, y}} P(A B). Ne segue che A B P(P(A B)). A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA / 19

10 Usando gli assiomi di coppia e unione possiamo costruire infiniti nuovi insiemi { }, {{ }}, {{{ }}}, {{{{ }}}},... oppure { } = S( ), {, { }} = S({ }), {, { }, {, { }}} = S({, { }}),... dove S(x) def = x {x} è il successore di x. Una classe I si dice induttiva se I x(x I S(x) I). Assioma dell infinito Esiste un insieme induttivo. Definizione N def = I dove I la classe di tutti gli insiemi induttivi. 0 =, 1 = S(0), 2 = S(1) = S(S(0)),... A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA / 19

11 Proposizione N I e n N (n = 0 m N (n = S(m))). Dimostrazione. 0 I per ogni I I, quindi 0 I = N. Fisso n N: n I e quindi S(n) I per ogni I I. Essendo I I arbitrario, otteniamo che S(n) I = N. Quindi N I. Sia n N \ {0} e supponiamo per assurdo che n S(m) per ogni m N. Allora l insieme J = N \ {n} soddisferebbe la formula che definisce I e quindi J I. Da questo segue che J I = N, ma per costruzione J N: contraddizione. A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA / 19

12 Proposizione (Principio di Induzione su N prima formulazione) Sia I N tale che 0 I e tale che n (n I S(n) I). Allora I = N. Dimostrazione. I I, quindi I N. Una relazione binaria è una classe di coppie ordinate. Una relazione binaria F è funzionale se (x, y), (x, y ) F y = y. Scriveremo x R y invece di (x, y) R. Se R è funzionale, R(x) = l unico y (se esiste) tale che (x, y) R. dom(r) = {x y((x, y) R)} ran(r) = {y x((x, y) R)} fld(r) = dom(r) ran(r). A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA / 19

13 Proposizione Se R è un insieme, allora dom(r), ran(r), fld(r) sono insiemi. Dimostrazione. Se x dom(r) allora x {x} (x, y) R, per qualche y, quindi x ( R), quindi dom(r) R. I casi di ran(r) e fld(r) sono analoghi. Definizione Se F è una relazione funzionale e A una classe poniamo F [A] = {F (x) x A dom(f )} F A = {(x, y) F x A}. A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA / 19

14 Esercizio Se F è un insieme anche F [A] è un insieme Assioma del rimpiazzamento (forte) Se F è una relazione funzionale e A un insieme, allora F [A] è un insieme. A B = B A = {F F : A B}. Proposizione Se A e B sono insiemi, allora B A è un insieme. Dimostrazione. B A P(A B). A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA / 19

15 Teorema. Non esiste nessuna funzione f tale che dom(f) = N e n N f(s(n)) f(n). Dimostrazione. Per assurdo. Poiché ran(f), per l assioma di Fondazione c è un y ran(f) tale che y ran(f) =. Sia n N tale che y = f(n). Ma f(s(n)) f(n) ran(f): contraddizione. Notazione a i i I è la funzione I i a i. Per esempio, s = a 0, a 1,..., a n 1 è la funzione di dominio n = {0, 1,..., n 1} che ad ogni i < n associa l insieme a i. n = dom(s) è la lunghezza di s, e la si indica con lh(s). A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA / 19

16 Se X è una classe X <N = {s s è una stringa finita e ran(s) X}. Esercizio Dimostrare che se X è un insieme, allora X <N = {X n n N} è un insieme. Se I è un insieme e A i i I è una successione di insiemi, sia i I A i = {f f è una funzione, dom(f) = I e i I (f(i) A i )}. Quindi se A i = A per ogni i I, allora i I A i = A I. Se A i0 = per qualche i 0 I allora i I A i =. Vale anche il viceversa? Vogliamo scambiare i quantificatori passando da i I x(x A i ) a f i I(f(i) A i ). Assioma di Scelta (AC) Se A è un insieme e A A (A ), allora esiste f : A A tale che A A (f(a) A). A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA / 19

17 Gli assiomi di MK Riassumendo: MKC = MK + AC e gli assiomi di MK sono: Estensionalità: z(z x z y) x = y Comprensione: A x (x A z(x z) ϕ(x, y 1,..., y n )), dove x è libera in ϕ(x, y 1,..., y n ) e A è diversa da x, y 1,..., y n Esistenza di insiemi: x y (x y) Potenza: Ins(x) z (Ins(z) t (t z t x)) Coppia: Ins(x) Ins(y) z (Ins(z) w (w z w = x w = y)) Fondazione: x y (y x y x = ) Unione: Ins(x) u (Ins(u) z (z u y(y x z y))) Infinito: I (Ins(I) I x (x I S(x) I)) Rimpiazzamento: F A (( x!y(x, y) F Ins(A) ) Ins(F [A]) ). A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA / 19

18 Gli assiomi di ZF La teoria Zermelo-Frænkel ZF è formulata nel linguaggio con un solo predicato binario. Gli enti di questa teoria si dicono insiemi. Gli assiomi di ZF sono: Estensionalità: z(z x z y) x = y Separazione: A x (x A x B ϕ(x, y 1,..., y n, B)), dove x è libera in ϕ(x, y 1,..., y n, B) e A è diversa da x, y 1,..., y n, B. A = {x B ϕ(x, y 1,..., y n, B)} è il sottoinsieme di B formato dagli elementi che godono della proprietà ϕ. Potenza: z t (t z t x) Coppia: z w (w z w = x w = y) Fondazione: x y (y x y x = ) Unione: u z (z u y(y x z y)) Infinito: I ( I x (x I S(x) I)) Rimpiazzamento: x A!yϕ B x A y Bϕ, per ogni formula ϕ(x, y, A, w 1,..., w n ). A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA / 19

19 Funzioni e relazioni Definizione. Una funzione finitaria o operazione su X è una f : X n X per qualche n N detto arietà di f, n = ar(f). Se n = 0 allora f : { } X, quindi le funzioni 0-arie su X possono essere identificate con gli elementi di X. Y X è chiuso per f se f[y n ] Y. Esercizio Sia Y X e sia C = {Z X Y Z Z chiuso per f}. Dimostrare che C e che C è il più piccolo Z X contenente Y e chiuso per f. L insieme C si dice chiusura di Y sotto f e lo si indica con Cl f (Y ). Analogamente si definisce Cl F (Y ) quando F è una famiglia di funzioni finitarie su X. A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA / 19