Capitolo 1: Concetti matematici di base

Transcript

1 Capitolo 1: Concetti matematici di base 1

2 Insiemi x A x é elemento dell insieme A. B A B é un sottoinsieme di A. B A B é un sottoinsieme proprio di A. A costituito da n elementi A = n é la sua cardinalitá. é l insieme vuoto; = 0. Definizione 1 L insieme composto da tutti i sottoinsiemi di un insieme A si dice insieme delle parti di A, e si indica con P(A) o con 2 A. Lemma 2 A = n = P(A) = 2 n. Definizione 3 Gli insiemi A e B sono uguali (A = B) se ogni elemento di A é anche elemento di B, e viceversa. 2

3 Come dimostrare proprietá su insiemi finiti? Si verifica la proprietá per ogni elemento dell insieme. Come dimostrare proprietá su insiemi infiniti? Non si puó verificare la proprietá per ogni elemento dell insieme, ma si usa il Principio di induzione matematica. Data una proposizione P (n) definita per un generico numero naturale n, essa é vera per tutti i naturali se P (0) é vera (base dell induzione) per ogni naturale k, P (k) vera (ipotesi induttiva) implica P (k + 1) vera (passo induttivo). 3

4 Esempio 4 Dimostrazione passo base: n i=0 i = n(n + 1) 2 0 i=0 i = 0(0 + 1) 2 = 0 passo induttivo: k+1 i=0 i = k i=0 i + (k + 1) = k(k + 1) 2 + (k + 1) = (k + 1)(k + 2) 2 4

5 Una versione piú generale Data una proposizione P (n) definita per n n 0, essa é vera per tutti gli n n 0 se P (n 0 ) é vera (base dell induzione) per ogni naturale k n 0, P (k) vera (ipotesi induttiva) implica P (k + 1) vera (passo induttivo). Esempio 5 n 1 i=0 2 i = 2 n 1 per n 1 5

6 P (n) vera per ogni n n 0 (versione generale) P n0 (n) P (n n 0 ) vera per ogni naturale. Principio di induzione completa Data una proposizione P (n) definita per n n 0, essa é vera per tutti gli n n 0 se P (n 0 ) é vera (base dell induzione) per ogni naturale k n 0, P (i) vera per ogni i, n 0 i k (ipotesi induttiva), implica P (k + 1) vera (passo induttivo). 6

7 Esempio 6 Dimostrare che ogni intero n 2 é divisibile per un numero primo. Esempio 7 Data la sequenza di Fibonacci (F 0 = 1, F 1 = 1, F n = F n 1 + F n 2 ), dimostrare che per ogni n 2 e per ogni k, 1 k n si ha F n = F k F n k + F k 1 F n (k+1). Teorema 8 Per ogni proprietá P il principio di induzione matematica ed il principio di induzione completa sono equivalenti. 7

8 Relazioni e funzioni Definizione 9 A B = { x, y x A y B} si dice prodotto cartesiano di A e B (notaz: A n = A... A). Definizione 10 Una relazione n-aria R su A 1, A 2,..., A n é un sottoinsieme del prodotto cartesiano A 1... A n. Il generico elemento di R é indicato con a 1,..., a n, oppure con il simbolo R( a 1,..., a n ). n si dice aritá della relazione (se n = 2 allora arb). Esempio 11 Che relazioni sono le seguenti? R = { x, y N 2 z N(z 0 x + z = y)} N 2. R = { x, y x 2 = y)} N 2. 8

9 Definizione 12 Una relazione R A 2 si dice relazione d ordine se per ogni x, y, z A valgono le seguenti proprietá: x, x R (riflessivitá) x, y R y, x R x = y (antisimmetria) x, y R y, z R x, z R (transitivitá) A si dice insieme parzialmente ordinato. Definizione 13 Una relazione d ordine R A 2 tale che a, b A 2 arb bra, si dice relazione di ordine totale. Esempio 14 é una relazione d ordine totale su N? 9

10 Definizione 15 Una relazione R A 2 si dice relazione d equivalenza se per ogni x, y, z A valgono le seguenti proprietá: x, x R (riflessivitá) x, y R y, x R (simmetria) x, y R y, z R x, z R (transitivitá) Esempio 16 E = { u, v, p, q uq = pv)} é una relazione d equivalenza. 10

11 Un insieme A su cui é definita una relazione d equivalenza R si partiziona in sottoinsiemi (classi d equivalenza); ogni classe contiene solo elementi fra loro equivalenti. L insieme delle classi d equivalenza di A rispetto a R di chiama insieme quoziente ([a] A/R). Il numero di elementi in A/R si dice indice di R (ind(r)). Esempio 17 Dato un intero k, definiamo la relazione d equivalenza congruenza modulo k: n k m esistono q, q n = qk + r,, r, con 0 r < k, tali che m = q k + r. Le classi d equivalenza sono dette classi resto rispetto alla divisione per k. 11

12 Definizione 18 Dato un insieme finito V ed una relazione binaria E V V, la coppia V, E si definisce grafo orientato. Se la relazione E é simmetrica il grafo si dice non orientato. Operazioni tra relazioni unione: R 1 R 2 = { x, y x, y R 1 x, y R 2 }. complemento: R = { x, y x, y / R}. chiusura transitiva: R + = { x, y y i,..., y n A, n 2, y 1 = x, y n = y, y i, y i+1 R, i =..., n 1}. chiusura transitiva e riflessiva: R = R + { x, x x A}. 12

13 Esempio 19 Sia G = V, E un grafo orientato. Sia R la relazione tale che xry sse x = y oppure posso raggiungere y da x percorrendo gli archi. R é la chiusura transitiva e riflessiva di E? Esempio 20 Sia G = V, E un grafo orientato. Cosa rappresentano le classi d equivalenza del grafo G = V, E? 13

14 Definizione 21 Si dice che R X 1... X n é una relazione funzionale tra una (n 1)-pla di elementi e l n-esimo elemento se x 1,..., x n 1 X 1... X n 1 esiste al piú un elemento x n X n tale che x 1,..., x n R. Definizione 22 Si definisce funzione o applicazione la legge che all elemento x 1,..., x n 1 X 1... X n 1 associa, se esiste, l unico elemento x n X n tale che x 1,..., x n R. Notazioni: f(x 1,..., x n 1 ) = x n ; f : X 1... X n 1 X n ; dominio dom(f) = X 1... X n 1 codominio cod(f) = X n 14

15 Definizione 23 Si definisce dominio di definizione della funzione f il sottoinsieme di dom(f), denotato con def(f) = { x 1,..., x n 1 dom(f) x n cod(f), f(x 1,..., x n 1 ) = x n }. Definizione 24 Si definisce immagine della funzione f il sottoinsieme di X n, denotato con imm(f) = {x n X n x 1,..., x n 1 dom(f), f(x 1,..., x n 1 ) = x n }. Definizione 25 Dato un generico elemento x n cod(f), si dice controimmagine di x n l insieme f 1 (x n ) = { x 1,..., x n 1 x 1,..., x n 1 def(f) f(x 1,..., x n 1 ) = x n }. Definizione 26 Se def(f) = dom(f) la funzione si dice totale. Se def(f) dom(f) la funzione si dice parziale. 15

16 Definizione 27 Se imm(f) = cod(f) la funzione si dice suriettiva. Definizione 28 Se una funzione fa corrispondere ad elementi diversi del dominio di definizione elementi diversi del codominio, essa si dice iniettiva. Definizione 29 Se una funzione é suriettiva, iniettiva e totale, allora la funzione si dice biettiva. Teorema 30 (Pigeonhole principle) Dati due insiemi finiti A e B tali che 0 < B < A, non esiste alcuna funzione iniettiva totale f : A B. 16

17 Cardinalitá di insiemi infiniti e numerabilitá Definizione 31 Due insiemi si dicono equinumerosi se esiste una biiezione fra essi (é una relazione di equivalenza). Definizione 32 Dato un insieme finito A, si ha A = 0 se A =, n se A é equinumeroso a {0,1,...,n-1}. Definizione 33 Un insieme si dice numerabile se é equinumeroso a N ( A = ℵ 0 ). Un insieme si dice contabile se é finito o numerabile. Teorema 34 Se un insieme A é equinumeroso ad un insieme B, con B C, e C é contabile, allora anche A é contabile. 17

18 Esempio 35 L insieme Z é numerabile (cioé Z = ℵ 0 ); infatti i suoi elementi possono essere messi in corrispondenza biunivoca con N, con la biiezione f : Z N tale che f(i) = 2i se i 0, 2i 1 se i > 0. Nota che N Z, ma i due insiemi sono equinumerosi. capitare per insiemi finiti? Puó Esempio 36 L insieme N 2 é numerabile; la corrispondenza biunivoca é data dalla funzione coppia di Cantor p(i, j) = (i + j)(i + j + 1) 2 + i. 18

19 Insiemi non numerabili Abbiamo introdotto insiemi numerabili. numerabili? Esistono insiemi non Per costruirli usiamo la tecnica di diagonalizzazione (di Cantor): data una lista di oggetti, si crea un oggetto che non appartiene alla lista mediante un procedimento che lo costruisce garantendo che esso sia diverso da tutti gli oggetti nella lista. Teorema 37 L insieme R dei reali non é numerabile. Teorema 38 L insieme delle parti di N, P(N), non é numerabile. 19

20

21 Caratteristiche dei linguaggi Definizione 39 Un insieme finito non vuoto Σ di simboli (detti caratteri) prende il nome di alfabeto. Definizione 40 Una sequenza finita di elementi di un alfabeto prende il nome di parola o stringa. La parola vuota si denota con ε. Con Σ si denota l insieme di tutte le parole ottenute da Σ, compresa la parola vuota. Definizione 41 La concatenazione di due parole x e y si ottiene giustapponendo x e y (e si denota con xy o x y). Si ha che x ε = ε x = x e, in generale, x y y x. x h denota la concatenazione di x con se stessa h volte. Definizione 42 La lunghezza di una parola ( x ) é il numero di caratteri che la costituiscono. ε = 0. 20

22 Definizione 43 Dato un alfabeto Σ, si definisce linguaggio un qualsiasi sottoinsieme di Σ. Il linguaggio che non contiene alcuna stringa si chiama linguaggio vuoto (Λ). Definizione 44 Data una parola x, chiamiamo inversa di x la stringa x tale che: x = x se x = ε o x = a, aỹ se x=ya. L insieme delle stringhe palindrome é {x x = x}. 21

23 Operazioni su linguaggi intersezione: L 1 L 2 = {x Σ x L 1 x L 2 } unione: L 1 L 2 = {x Σ x L 1 x L 2 } complemento: L 1 = {x Σ x / L 1 } concatenazione o prodotto: L 1 L 2 = {x Σ y 1 L 1 y 2 L 2, x = y 1 y 2 } potenza: L 0 = {ε}; L h = L L h 1 chiusura: L + = h=1 L h chiusura riflessiva: L = h=0 L h 22

24 Espressioni regolari: consentono di rappresentare linguaggi mediante una interpretazione dei simboli che le compongono. Definizione 45 Dato un alfabeto Σ e l insieme dei simboli {+,, (, ),, } si definisce espressione regolare sull alfabeto Σ una stringa r (Σ {+,, (, ),, }) + tale che valga una delle seguenti condizioni: 1. r = ; 2. r Σ; 3. r = (s + t), oppure r = (s t), oppure r = s, con s e t espressioni regolari sull alfabeto Σ. 23

25 espr. regolari a linguaggi Λ {a} (s + t) L(s) L(t) (s t) L(s) L(t) s (L(s)) 24

26 Esempio 46 Scrivere l espressione regolare che rappresenta il linguaggio {x x {a, b} +, x termina con a}. Esempio 47 Scrivere l espressione regolare che, sull alfabeto {a, b}, definisce l insieme delle stringhe il cui terzultimo carattere é una b. Esempio 48 Determinare il linguaggio definito dall espressione regolare a ((aa) b + (bb) a)b. 25

27 Cardinalitá dei linguaggi Definizione 49 Sia Σ = {a 1,..., a n } un alfabeto. Si definisce ordinamento lessicografico delle stringhe in Σ l ordinamento < ottenuto stabilendo un ordinamento fra i caratteri di Σ (a 1 <... < a n ) e tale che x < y sse una delle due condizioni seguenti é verificata: 1. x < y ; 2. x = y ed esiste z Σ tale che x = za i u e y = za j v, con u, v Σ e i < j. ordinamento lessicografico = Σ = ℵ 0 ; l insieme di tutti i linguaggi su Σ é equinumeroso a P(Σ), che ha cardinalitá 2 ℵ 0, quindi non é numerabile. 26

28 Problema: riconoscere se una stringa appartiene ad un linguaggio (compilatore). Se Σ P é l alfabeto del Pascal = un programma é una stringa di Σ P accettata dal compilatore. Qual é la cardinalitá dell insieme dei programmi? possiamo enumerarli lessicograficamente. ℵ 0, perché Dato un linguaggio L Σ, esiste un programma Pascal che, data in input una stringa x Σ, ne decida l appartenenza a L? I programmi Pascal sono contabili, mentre i linguaggi hanno cardinalitá del continuo. Esistono piú linguaggi da riconoscere che programmi che riconoscono. Quindi esistono linguaggi per i quali non esiste alcun programma Pascal di riconoscimento. 27

29 Notazione asintotica Siano f, g due funzioni N N O(f(n)) = {g ( c > 0)( n 0 > 0)( n n 0 )(g(n) cf(n))} Ω(f(n)) = {g ( c > 0)( n 0 > 0)( n n 0 )(g(n) cf(n))} Θ(f(n)) = {g ( c 1 > 0)( c 2 c 1 )( n 0 > 0)( n n 0 )(c 1 f(n) g(n) c 2 f(n))} g(n) = o(f(n)) indica che lim n g(n) f(n) = 0 28