METODI MATEMATICI PER L INFORMATICA

Transcript

1 METODI MATEMATICI PER L INFORMATICA Tutorato Lezione 7 19/05/2016 Corso per matricole congrue a 1 Docente: Margherita Napoli Tutor: Amedeo Leo

2 Ricorsione Esercizio 2 pagina 357 Trovare f(1), f(2), f(3), f(4), f(5) se f(n) è definita ricorsivamente da f(0) = 3 e per n = 0,1,2, a) f(n + 1) = 2f(n) c) f(n + 1) = f(n) 2 2f(n) 2 f(1) = 2f(0) = 2 3 = 6 f(2) = 2f(1) = 2 6 = 12 f(3) = 2f(2) = 2 12 = 24 f(4) = 2f(3) = 2 24 = 48 f(5) = 2f(4) = 2 48 = 96 f(1) = f(0) 2 2f(0) 2 = = 1 f(2) = f(1) 2 2f(1) 2 = = 3 f(3) = f(2) 2 2f(2) 2 = = 13 f(4) = f(3) 2 2f(3) 2 = = 141 f(5) = f(4) 2 2f(4) 2 = = Esercizio 5 pagina 357 Determinare quale tra queste funzioni è una definizione ricorsiva valida della funzione f dall insieme dei numeri non negativi all insieme degli interi. Se f è ben definita, trovare una formula per f(n), dove n è un intero non negativo, e provare che è valida. a) f(0) = 0, f(n) = 3f(n 2), per n 1 Proviamo con f(1): Ma f non è definita per i numeri negativi. b) f(0) = 1, f(n) = f(n 1) 1, per n 1 f(1) = 3f(1 2) = 3f( 1) f(1) = f(1 1) 1 = f(0) 1 = 1 1 = 0 f(2) = f(2 1) 1 = f(1) 1 = 0 1 = 1 f(3) = f(3 1) 1 = f(2) 1 = 1 1 = 2 f(4) = f(4 1) 1 = f(3) 1 = 2 1 = 3 f quindi sembra essere valida. La formula di f(n), basandoci sugli esempi precedenti, è quindi f(n) = 1 n Come possiamo provarla? Usiamo l induzione matematica: Caso base: f(0) vera, perché f(0) = 1 0 = 1. Ipotesi induttiva: per un generico intero k, f(k) = 1 k

3 Passo induttivo: f(k + 1) = 1 (k + 1) f(k + 1) = f(k + 1 1) 1 = f(k) 1 = 1 k 1 = 1 (k + 1) Dove l = deriva da f(n) = f(n 1) 1, per n 1, e l = per ipotesi induttiva. c) f(0) = 2, f(1) = 3, f(n) = f(n 1) 1, per n 2. f(2) = f(2 1) 1 = f(1) 1 = 3 1 = 2 f(3) = f(3 1) 1 = f(2) 1 = 2 1 = 1 f(4) = f(4 1) 1 = f(3) 1 = 1 1 = 0 f(5) = f(5 1) 1 = f(4) 1 = 0 1 = 1 f quindi è valida, perché f(n) è definita da f(n-1) e n 2. Dagli esempi precedenti risulta che f(n) = 4 n, con n intero non negativo, f(0) = 2 se n = 0 Dimostriamola per induzione: Caso base: f(1), perché f(1) = 4 1 = 3. Ipotesi induttiva: per un generico intero k, f(k) = 4 k Passo induttivo: f(k + 1) = 4 (k + 1) f(k + 1) = f(k + 1 1) 1 = f(k) 1 = 4 k 1 = 4 (k + 1) Dove l = deriva da f(n) = f(n 1) 1, per n 2, e l = per ipotesi induttiva Esercizio 8 pagina 358 Dare una definizione ricorsiva della sequenza [a n ], n = 1,2,3,, se a) a n = 4n 2 per n 1. Passo base: Passo ricorsivo: a 1 = (4 1) 2 = 2 a n+1 = 4(n + 1) 2 = 4(n) = a n + 4 dove l = deriva dalla definizione di a n.

4 Esercizio 9 pagina 358 Sia F una funzione tale che F(n) è la somma dei primi n numeri interi positivi. Darne una definizione ricorsiva. Passo base: Passo ricorsivo: n F(n): i 1 F(1): i = 1 n+1 F(n + 1): i, ovvero somma dei primi n + 1 interi positivi n n+1 F(n + 1) = i + n + 1 = F(n) + (n + 1) = i Esercizio 25 pagina 358 Dare una definizione ricorsiva di a) L insieme dei numeri pari: Passo base: 0 S Passo ricorsivo: se x S allora x + 2 S b) L insieme dei numeri positivi congrui a 2 modulo 3: Passo base: 2 S Passo ricorsivo: se x S allora x + 3 S c) L insieme dei numeri positivi non divisibili per 5: Passo base: 1 x 4 S Passo ricorsivo: se x S allora x + 5 S Esercizio 27 pagina 358 Sia S il sottoinsieme dell insieme di coppie ordinate di interi definito ricorsivamente da: Passo base: (0,0) S Passo ricorsivo: Se (a, b) S, allora (a, b + 1) S, (a + 1, b + 1) S, (a + 2, b + 1) S a) Quali sono gli elementi di S se si applica 4 volte la definizione ricorsiva? 1. (0,0) S (0,1), (1,1), (2,1) S 2. (0,1), (1,1), (2,1) S (0,2), (1,2), (2,2), (3,2), (4,2)

5 3. (0,2), (1,2), (2,2), (3,2), (4,2) S (0,3), (1,3), (2,3), (3,3), (4,3), (5,3), (6,3) 4. (0,3), (1,3), (2,3), (3,3), (4,3), (5,3), (6,3) S (0,4), (1,4), (2,4), (3,4), (4,4), (5,4), (6,4), (7,4), (8,4) c) Utilizzare l induzione strutturale per mostrare che a 2b quando (a, b) S Passo base: 0 0 Passo ricorsivo: Se vale per (a,b), vale anche per gli elementi ottenuti da (a,b): (a, b + 1) S 0 2 a 2(b + 1) da dimostrare a 2b + 2 a 2b per ipotesi a 2b 2b + 2 (a + 1, b + 1) S 1 2 a + 1 2(b + 1) da dimostrare a + 1 2b + 2 a 2b per ipotesi a + 2 2b + 2 a + 1 a + 2 2b + 2 (a + 2, b + 1) S 2 2 a + 2 2(b + 1) da dimostrare a + 2 2b + 2 a 2b per ipotesi a + 2 2b + 2 Esercizio 32 pagina 359 a) Dare una definizione ricorsiva della funzione ones(s), che conta il numero di 1 in una stringa s composta da bit. Sappiamo che Σ = {0,1}. Facciamo un esempio: s = ones(s) = ones( ) = ones(10011) + 1 =

6 . = ones(1001 1) + 1 = ones(1001) + 2 =. = ones(100 1) + 2 = ones(100) = ones(100) + 3 =. = ones(10 0) + 3 = ones(10) + 3 =. = ones(1 0) + 3 = ones(1) + 3 = = 4 Definiamo quindi: Passo base: ones(λ) = 0, dove λ è la stringa vuota. Passo ricorsivo: ones(wx) = ones(w) + x, dove x è un bit (x Σ) e w è una stringa (w Σ ) b) Utilizzare l induzione strutturale per dimostrare che ones(st) = ones(s) + ones(t) Passo base: t = λ ones(s λ) = ones(s) = ones(s) + 0 = ones(s) + ones(λ) Ipotesi induttiva: assumiamo che ones(st) = ones(s) + ones(t) Passo ricorsivo: vogliamo dimostrare che ones(stx) = ones(s) + ones(tx), con s,t Σ e x Σ. ones(stx) = ones((st)x), per la definizione di concatenazione = ones(st) + x, per la definizione di ones = ones(s) + ones(t) + x, per ipotesi induttiva = ones(s) + ones(tx), per la definizione di ones Esercizio 35 pagina 359 Dare una definizione ricorsiva del reverse di una stringa (per reverse di una stringa si intende una stringa composta dagli stessi simboli nell ordine opposto). La stringa vuota è chiaramente il reverse di se stessa, quindi λ R = λ. Come suggerisce il libro, scriviamo una stringa w di lunghezza n + 1 come yx, dove y è una stringa di lunghezza n, e definiamo w R in termini di y R e x. Quindi, w ha lunghezza n+1, e possiamo riscriverla come y e x, con y di lunghezza n e x ultimo simbolo di w.

7 Possiamo quindi scrivere w R = x(y R ) Esercizio 38 pagina 359 Dare una definizione ricorsiva dell insieme di stringhe di bit che sono palindrome. Una stringa palindroma è una stringa il cui reverse è identico alla stringa. Ad esempio, 1100 non è palindroma, mentre 1001 lo è. Anche la stringa vuota è palindroma. Sappiamo che Σ = {0,1}. P è l insieme di tutte le stringhe binarie palindrome. Passo base: λ, 0,1 P Passo ricorsivo: Se x P, allora 0x0 P e 1x1 P. Cosa è stato fatto 1. Esercizi su ricorsione (da pagina 357 a pagina 359, numeri 2,5,8,9,25,27,32,35,38) 2. Esercizi su induzione strutturale (inclusi negli esercizi precedenti)