Progamma sintetico. Nozioni preliminari Automi Finiti Macchine di Turing Limiti delle macchine di Turing La tesi di Church-Turing Le classi P e NP

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1 Progamma sintetico Nozioni preliminari Automi Finiti Macchine di Turing Limiti delle macchine di Turing La tesi di Church-Turing Le classi P e NP

2 Nozioni preliminari Conoscenza del significato dei termini: Definizione, Enunciato, Dimostrazione, Implicazione, Equivalenza,... Familiarità con i vari tipi di dimostrazioni: per contraddizione, prova per induzione, Definizioni delle operazioni logiche AND, OR, NOT. Alfabeti Stringhe Linguaggi

3 DIMOSTRAZIONE?

4 DIMOSTRAZIONE Metodo per stabilire una verità

5 DIMOSTRAZIONE Metodo per stabilire una verità Differente in vari campi Legale: giuria prove processuali Scientifica: esperimenti ripetibili Filosofica: persuasione basata su argomenti plausibili

6 DIMOSTRAZIONE Metodo per stabilire una verità Differente in vari campi Legale: giuria prove processuali Scientifica: esperimenti ripetibili Filosofica: persuasione basata su argomenti plausibili Cartesio: Cogito ergo sum, Deriva esistenza dal fatto di pensare sull'esistenza

7 PROVA Matematica Una prova formale è una catena di deduzioni logiche che portano ad una affermazione partendo da un insieme di assunzioni

8 c=cent E=Euro Assunzione 1E=100c 1 c= 0,01 E=(0,1 E) 2 =(10c) 2 =100c=1E?

9 Dimostrazione c=cent E=Euro 1 c= 0,01 E=(0,1 E) 2 =(10c) 2 =100c=1E ERRATA!!

10 Affermazione Se a e b sono due numeri reali uguali allora a = 0.

11 Affermazione Se a e b sono due numeri reali uguali allora a = 0. Dimostrazione Assunzione a=b

12 Affermazione errata: Se a e b sono due numeri reali uguali allora a = 0. Dimostrazione sbagliata:

13 Proposizione: affermazione che può essere vera o falsa Proposizioni matematiche devono essere formulate in modo preciso Aldo guarda Beatrice con il binocolo

14 Proposizione: affermazione che può essere vera o falsa Proposizioni matematiche devono essere formulate in modo preciso Aldo guarda Beatrice con il binocolo

15 Proposizione: affermazione che può essere vera o falsa Proposizioni matematiche devono essere formulate in modo preciso Aldo guarda Beatrice con il binocolo Devono riferirsi ad oggetti ben definiti matematicamente (numeri, insiemi, funzioni,...) Es = 5.

16 Proposizione: può essere vera o falsa Dimostrazione: Data una proposizione, vogliamo dimostrare che essa è vera.

17 Es. Proposizione p(n)=n 2 +n+41 è numero primo per ogni n > 1. Come facciamo?

18 Es. p(n)=n 2 +n+41 è primo per ogni n > 1. Proviamo per qualche valore p(1)=43 primo P(2)=47 primo P(3)=53 primo

19 Es. p(n)=n 2 +n+41 è primo per ogni n > 1. Proviamo per qualche valore p(1)=43 primo P(2)=47 primo P(3)=53 primo P(20)=461 primo

20 Es. p(n)=n 2 +n+41 è primo per ogni n > 1. Proviamo per qualche valore p(1)=43 primo P(2)=47 primo P(3)=53 primo P(20)=461 primo P(39)=1601 primo VERA?

21 Es. p(n)=n 2 +n+41 è primo per ogni n > 1. Proviamo per qualche valore p(1)=43 primo P(2)=47 primo P(3)=53 primo P(20)=461 primo P(39)=1601 primo P(40)=40x =41x41 FALSO!

22 Es. p(n)=n 2 +n+41 è primo per ogni n > 1. Proviamo per qualche valore p(1)=43 primo P(2)=47 primo P(3)=53 primo P(20)=461 primo P(39)=1601 primo P(40)=40x =41x41 FALSO! Dimostrazione per esempi = Esempio di dimostrazione sbagliata

23 Es. Proposizione a 4 +b 4 +c 4 = d 4 non ha soluzione con a, b, c, d interi positivi Congettura di Eulero del Dimostrata FALSA 218 anni dopo da Noam Elkies: a = 95800; b = ; c = ; d =

24 Es. Proposizione 313(x 3 +y 3 ) = z 3 non ha soluzione con x,y,z interi positivi FALSA: controesempio più piccolo ha più di 1000 digit!

25 Es. Congettura di Goldbach (1742) Proposizione P(n): n si può scrivere come somma di due primi per ogni n>2?

26 Es. Congettura di Goldbach (1742) Proposizione P(n): n si può scrivere come somma di due primi per ogni n>2? Non possimo stabilire VERO provando per un numero finito di valori! Servono altri metodi!

27 Proposizione: affermazione che può essere può essere vera o falsa Dimostrazione: Data una proposizione, vogliamo dimostrare che essa è vera.

28 Proposizione P: vera (T) o falsa (F) Operazioni Logiche: NOT, OR, AND Tavole di verità:

29 Implicazioni: Deduzioni logiche per provare nuove proposizioni a partire da altre note (vere) P Q (P implica Q: se P è vera allora Q e' vera )

30 Implicazioni: Deduzioni logiche per provare nuove proposizioni a partire da altre note (vere) P Q (P implica Q: se P è vera allora Q è vera ) Es. Se gli asini volano, allora voi capirete questa lezione. E un insulto?

31 Implicazioni: Deduzioni logiche per provare nuove proposizioni a partire da altre note (vere) P Q (P implica Q: se P è vera allora Q e' vera ) Es. Se gli asini volano, allora voi capirete questa lezione. E un insulto? Nel linguaggio comune: Si Matematicamente è un affermazione vera!

32 Implicazioni: Deduzioni logiche per provare nuove proposizioni a partire da altre note (vere) P Q (P implica Q: se P è vera allora Q è vera ) Es. Se gli asini volano, allora voi capirete questa lezione. E un insulto? Nel linguaggio comune: Si Matematicamente è un affermazione vera! P Q è vera ogni volta che P è falsa o Q è vera

33 Deduzioni logiche: per provare nuove proposizioni a partire da altre note (vere) (P vera, P Q) Allora Q Vera Es. P: la vittima è stata uccisa nella vasca da bagno e ritrovata sul letto Q: l omicida ha abbastanza forza da spostare un cadavere P Q: se la vittima è stata spostata allora l assassino ha abbastanza forza da spostare un cadavere (P vera, P Q) l omicida è forte

34 Deduzioni logiche: per provare nuove proposizioni a partire da altre note (vere) (P vera, P Q) ALLORA Q vera (P Q; Q falsa) ALLORA P? Es. P: la vittima è stata uccisa nella vasca da bagno e ritrovata sul letto Q: l omicida ha abbastanza forza da spostare un cadavere; Q falsa: l omicida è debole P Q: se la vittima è stata spostata allora l assassino ha abbastanza forza da spostare un cadavere (P Q, Q falsa) Il cadavere non può essere stato spostato

35 Deduzioni logiche: per provare nuove proposizioni a partire da altre note (vere) (P vera, P Q) ALLORA Q vera (P Q; Q falsa) ALLORA P Falsa

36 Deduzioni logiche NOT(Q) NOT(P) Equivalente a P Q Es. P: la vittima è stata uccisa nella vasca da bagno e ritrovata sul letto Q: l omicida è abbastanza forte ; P Q: se la vittima è stata spostata allora l assassino ha abbastanza forza da spostare un cadavere NOT(Q) NOT(P): Se l omicida non è abbastanza forte allora la vittima non è stata spostata

37 Deduzioni logiche NOT(Q) NOT(P) Equivalente a P Q NOTA: NOT(P) NOT(Q) NON EQUIVAL. P Q: Es. P: la vittima è stata uccisa nella vasca da bagno e ritrovata sul letto Q: l omicida è forte ; P Q: se la vittima è stata spostata allora l assassino ha abbastanza forza da spostare un cadavere NOT(P) NOT(Q): Se la vittima non è stata spostata allora non è vero che l omicida deve essere forte

38 Come dimostrare che P Q: 1. Assumiamo P. 2. mostriamo che Q segue

39 Come dimostrare che P Q: 1. Assumiamo P. 2. mostriamo che Q segue Es. Se 0<x<2, allora -x 3 + 4x + 1 > 0. Dim. Assumiamo 0 < x < 2.

40 Come dimostrare che P Q: 1. Assumiamo P. 2. mostriamo che Q segue Es. Se 0 < x < 2, allora -x 3 + 4x + 1 > 0. Dim. Assumiamo 0 < x < 2 Scriviamo -x 3 + 4x = x(2 - x)(2 + x) Sappiamo che x, 2 - x, e 2 + x nonnegativi ( >0 ). Allora il loro prodotto è nonnegativo (>0). Sommando 1 abbiamo numero positivo (>0): -x 3 + 4x+1= x(2 - x)(2 + x) + 1 > 0.

41 P IFF Q equivale a P Q AND Q P.

42 P IFF Q equivale a P Q AND Q P. Provare iff : 1. Proviamo che P implica Q e vice-versa. 2. Per prima cosa, mostriamo che P implica Q. (Come prima) 3. Secondo passo, mostriamo che Q implica P. (Come prima)

43 Schema: Dimostrazione per contraddizione per dimostrare P 1.Assumiamo che l ipotesi P è falsa 2.Dimostriamo che NOT(P) NOT(Q) per qualche Q che sappiamo essere vera 3.A questo punto abbiamo una contraddizione e possiamo concludere che P deve essere vera

44 Teorema. La radice quadrata di 2 è un numero irrazionale. Dim. Assumiamo che ipotesi P è falsa, cioè NOT(P): sqrt(2)=m/n (m,n interi primi fra loro) Dimostriamo NOT(P) NOT(Q) [Q: m, n primi tra loro]

45 Teorema. La radice quadrata di 2 è un numero irrazionale. Dim. Assumiamo che ipotesi P è falsa, cioè sqrt(2)=m/n (m,n interi primi fra loro) Dimostriamo NOT(P) NOT(Q) [Q: m, n primi tra loro] m 2 =(n sqrt(2)) 2 =n 2 2 m 2 =2n 2 m 2 pari m pari,

46 Teorema. La radice quadrata di 2 è un numero irrazionale. Dim. Assumiamo che l ipotesi P è falsa, cioè sqrt(2)=m/n (m,n interi primi fra loro) Dimostriamo NOT(P) NOT(Q) [Q: m, n primi tra loro] m 2 =(n sqrt(2)) 2 =n 2 2 m 2 =2n 2 m 2 pari m pari, Poniamo m=2k Allora 2n 2 = m 2= 4k 2 n 2 =2k 2 n pari

47 Teorema. La radice quadrata di 2 è un numero irrazionale. Dim. Assumiamo che l ipotesi P è falsa, cioè sqrt(2)=m/n (m,n interi primi fra loro) Dimostriamo NOT(P) NOT(Q) [Q: m, n primi tra loro] m 2 =(n sqrt(2)) 2 =n 2 2 m 2 =2n 2 m 2 pari m pari, Poniamo m=2k Allora 2n 2 = m 2= 4k 2 n 2 =2k 2 n pari Abbiamo che n,m entrambi pari m,n hanno fattore comune 2

48 Dim. Teorema. La radice quadrata di 2 è un numero irrazionale. Assumiamo che l ipotesi P è falsa, cioè sqrt(2)=m/n (m,n interi primi fra loro) Dimostriamo NOT(P) NOT(Q) [Q: m, n primi tra loro] m 2 =(n sqrt(2)) 2 =n 2 2 m 2 =2n 2 m 2 pari m pari, Poniamo m=2k Allora 2n 2 = m 2= 4k 2 n 2 =2k 2 n pari Abbiamo che n,m entrambi pari m,n hanno fattore comune 2 A questo punto abbiamo NOT(Q) possiamo dedurre che P è falsa (cioè sqrt(2) è irrazionale)

49 Teorema. La radice quadrata di 2 è un numero irrazionale. Dim. Assumiamo che l ipotesi è falsa, possiamo scrivere a) sqrt(2)=m/n b) con m,n interi primi fra loro Abbiamo m 2 =(n sqrt(2)) 2 =n 2 2 m 2 =2n 2 m 2 pari m pari, Ponendo m=2k si ha 2n 2 = m 2= 4k 2 n 2 =2k 2 n pari Quindi n,m entrambi pari m,n hanno fattore comune 2 che contraddice punto b) possiamo concludere che sqrt(2) è irrazionale.

50 Dimostrazioni Corrette in Pratica Definire il metodo che si vuole seguire es. Usiamo un distinzione di casi o Ragioniamo per assurdo. Una dimostrazione e` un saggio non un calcolo Approccio errato: sequenza di espressioni senza commenti Una dimostrazione comprensibile e` un saggio inframmezzato da calcoli

51 Buone dimostrazioni Buoni programmi Stesso rigore necessario per scrivere programmi funzionanti Programma che ''sembra funzionare'' puo` causare molti problemi

52 Buone dimostrazioni <=> Buoni programmi Stesso rigore necessario per scrivere programmi funzionanti Programma che ''sembra funzionare'' può causare molti problemi Es. Therac 25: macchina per radioterapia che ''ogni tanto'' ha ucciso i pazienti per eccesso di radiazioni (problema software) Es. (Agosto 2004) problema software usato da United e American Airlines ha messo a terra l'intera flotta delle due compagnie

53 Buone dimostrazioni Buoni programmi Es. Errori di commutazione nei computer di gestione delle chiamate della AT&T rendono inutilizzabile per nove ore la rete interurbana e interstatale statunitense della societa. Es. Il vettore Ariane 5 esplode al decollo. Il 4 giugno 1996 viene lanciato per la prima volta il vettore Ariane 5. Dopo 39 secondi di volo interviene il sistema di autodistruzione, trasformando l Ariane 5 e il suo carico pagante (quattro satelliti scientifici non assicurati) in quello che e stato definito il piu costoso fuoco d artificio della storia. Il disastro avviene perche un programma del sistema di navigazione tenta di mettere un numero a 64 bit in uno spazio a 16 bit.

54 INDUZIONE Data una affermazione, vogliamo dimostrare che essa vale per ogni intero n>a. Es. La somma dei primi n interi vale n(n+1)/2 per ogni n > 1.

55 INDUZIONE Vogliamo dimostrare che un certo predicato è vero. Formaliziamo con affermazione S(n) dimostriamo per induzione che S(n) vera (per ogni intero n>a). Una dimostrazione per induzione consiste di 2 fasi 1. BASE INDUTTIVA. Si dimostra che l affermazione è vera per il primo valore, cioè S(a) è vera. 1. PASSO INDUTTIVO. Assumiamo che S(n-1) è vera e dimostriamo che allora anche S(n) è vera.

56 INDUZIONE Es. La somma dei primi n interi vale n(n+1)/2 per ogni n > 1. Formalizzazione S(n): n i 1 i n n( n 1) / 2 Si vuole dimostrare per induzione che S(n) vale per ogni n > 1.

57 INDUZIONE 1. BASE INDUTTIVA. S(a) è vera. 2. PASSO INDUTTIVO. S(n-1) implica S(n) vera. Es. S(n): n i 1 i n n( n 1) / 2 Si vuole dimostrare che S(n) vale per ogni n > 1.

58 INDUZIONE 1. BASE INDUTTIVA. S(a) è vera. 2. PASSO INDUTTIVO. S(n-1) implica S(n) vera. Es. S(n): n i 1 i n Si vuole dimostrare che S(n) vale per ogni n > 1. Base. S(1) è vera perché n( n 1) / 2 1 i 1 i 1 1(1 1) / 2

59 INDUZIONE 1. BASE INDUTTIVA. S(a) è vera. 2. PASSO INDUTTIVO. S(n-1) implica S(n) vera. Es. S(n): n i 1 i n Si vuole dimostrare che S(n) vale per ogni n > 1. Base. S(1) è vera perché Passo. Ipotesi induttiva n( n 1) / 2 1 i 1 S(n-1): i 1 1(1 1) / 2 n 1 i 1 i ( n 1) n / 2

60 INDUZIONE 1. BASE INDUTTIVA. S(a) è vera. 2. PASSO INDUTTIVO. S(n-1) implica S(n) vera. Es. S(n): Si vuole dimostrare che S(n) vale per ogni n > 1. Base. S(1) è vera perché Passo. Ipotesi induttiva Si ha n n i 1 i 1 n 1 i 1 i Quindi S(n) è vera. i i n n n( n 1) / 2 ( n 1 i 1 S(n-1): 1) n 2 i 1 1(1 1) / 2 n n 1 i 1 i ( n ( n 1) n / 2 1) n 2 2n n( n 1) 2

61 INDUZIONE Esercizio. Dimostrare per induzione che la seguente affermazione S(n) è vera per ogni intero n>0. S(n): n 2 i 2 n 1 1 i 0

62 INDUZIONE Es. Se x 4, allora 2 x x 2 Affermazione S(x): 2 x x 2 Mostriamo per induzione che S(x) vera per ogni x 4. Base: x = 4 2 x = 2 4 = 16 e x 2 = 4 2 = 16 Passo I.: Supponiamo che 2 x x 2 per x 4 Dobbiamo dimostrare che 2 x +1 (x + 1) 2 Abbiamo: 2 x +1 = 2 2 x 2 x 2 (dalla ipotesi induttiva) Dimostriamo adesso che 2x 2 (x + 1) 2 =x x Semplificando: x 2-2x 1 Se x 4, x(x-2) 8>1

63 VALIDITA delle dimostrazioni per INDUZIONE Dim. per induzione Base: S(a) vera Passo induttivo S(n) vera, ogni n>a Minimo controesempio. IPOTESI: S(n) falsa per qualche n. Sia b il più piccolo intero tale che S(b) falsa.

64 VALIDITA delle dimostrazioni per INDUZIONE Dim. per induzione Base: S(a) vera Passo induttivo S(n) vera, ogni n>a Minimo controesempio. IPOTESI: S(n) falsa per qualche n. Sia b il più piccolo intero tale che S(b) falsa. DEDUCIAMO: Se b=a contraddiciamo la base. Quindi b>a.

65 VALIDITA delle dimostrazioni per INDUZIONE Dim. per induzione Base: S(a) vera Passo induttivo S(n) vera, ogni n>a Minimo controesempio. IPOTESI: S(n) falsa per qualche n. Sia b il più piccolo intero tale che S(b) falsa. DEDUCIAMO: Se b=a contraddiciamo la base. Quindi b>a. Essendo b = minimo intero per cui l affermazione è falsa, risulta S(b-1) vera (nota b-1 > a). Per il Passo Induttivo, S(b-1) S(b). Allora S(b) vera

66 VALIDITA delle dimostrazioni per INDUZIONE Dim. per induzione Base: S(a) vera Passo induttivo S(n) vera, ogni n>a Minimo controesempio. IPOTESI: S(n) falsa per qualche n. Sia b il più piccolo intero tale che S(b) falsa. DEDUCIAMO: Se b=a contraddiciamo la base. Quindi b>a. Essendo b = minimo intero per cui l affermazione è falsa, risulta S(b-1) vera (nota b-1 > a). Per il Passo Induttivo, S(b-1) S(b). Allora S(b) vera: contraddizione con assunzione che S(b) falsa. Quindi ipotesi è sbagliata

67 VALIDITA delle dimostrazioni per INDUZIONE Dim. per induzione Base: S(a) vera Passo induttivo S(n) vera, ogni n>a PER CONTRADDIZIONE IPOTESI: S(n) falsa per qualche n. Sia b il più piccolo intero tale che S(b) falsa. DEDUCIAMO: Se b=a contraddiciamo la base. Quindi b>a. Essendo b = minimo intero per cui l affermazione è falsa, risulta S(b-1) vera (nota b-1 > a). Per il Passo Induttivo, S(b-1) S(b). Allora S(b) vera: contraddizione con assunzione che S(b) falsa. Quindi ipotesi è sbagliata, Cioè non esiste intero per cui l affermazione è falsa Cioè S(n) vera per ogni intero

68 Teorema. Tutti i cavalli hanno lo stesso colore Dim. Sia P(n): ''in ogni insieme di n cavalli, tutti i cavalli hanno lo stesso colore.'' Mostriamo per induzione che P(n) vera per ogni n 1. Base : P (1) vera. Passo. Assumiamo P (n) vera, n>1. Consideriamo insieme di n + 1 cavalli: h1, h2,..., hn, hn+1

69 Teorema. Tutti i cavalli hanno lo stesso colore Dim. Sia P(n): ''in ogni insieme di n cavalli, tutti i cavalli hanno lo stesso colore.'' Mostriamo per induzione che P(n) vera per ogni n 1. Base : P (1) vera. Passo. Assumiamo P (n) vera, n>1. Consideriamo insieme di n + 1 cavalli: h1, h2,..., hn, hn+1 Per I.I. I primi n cavalli h1, h2,..., hn hanno stesso colore, Per I.I. Gli ultimi n cavalli h2, h3,..., hn+1 hanno stesso colore,

70 Teorema. Tutti i cavalli hanno lo stesso colore Dim. Sia P(n): ''in ogni insieme di n cavalli, tutti i cavalli hanno lo stesso colore.'' Mostriamo per induzione che P(n) vera per ogni n 1. Base : P (1) vera. Passo. Assumiamo P (n) vera, n>1. Consideriamo insieme di n + 1 cavalli: h1, h2,..., hn, hn+1 Per I.I. I primi n cavalli h1, h2,..., hn hanno stesso colore, Per I.I. Gli ultimi n cavalli h2, h3,..., hn+1 hanno stesso colore, Quindi h1, h2,..., hn+1 hanno stesso colore, e P(n+1) vera Poiche` P (n) P (n + 1), allora P(n) vera per ogni n 1.

71 Teorema. Tutti i cavalli hanno lo stesso colore Dim. Per induzione su n. Sia P(n): ''in ogni insieme di n cavalli, tutti i cavalli hanno lo stesso colore.'' Conseguenza: se n=(numero cavalli nel mondo) allora tutti cavalli hanno lo stesso colore.

72 Teorema. Tutti i cavalli hanno lo stesso colore Dim. Per induzione su n. Sia P(n): ''in ogni insieme di n cavalli, tutti i cavalli hanno lo stesso colore.'' Conseguenza: se n=(numero cavalli nel mondo) allora tutti cavalli hanno lo stesso colore. Abbiamo provato una cosa FALSA! ERRORE?

73 Teorema. Tutti i cavalli hanno lo stesso colore Dim. Per induzione su n. Sia P(n): ''in ogni insieme di n cavalli, tutti i cavalli hanno lo stesso colore.'' Conseguenza: se n=(numero cavalli nel mondo) allora tutti cavalli hanno lo stesso colore. Abbiamo provato una cosa FALSA! ERRORE? Abbiamo provato: P (1) P (2) P (3), P (3) P (4), etc. NON P (1) P (2)

74 INDUZIONE COMPLETA Vogliamo dimostrare che P(n) vale per ogni intero n>a. Dimostrazione per induzione completa: 1. BASE INDUTTIVA. Si dimostra che l affermazione è vera per il primo valore, cioè P(a) è vera. 2. PASSO INDUTTIVO. Assumiamo che P(a), P(a+1),, P(n-1) sono tutte vere e dimostriamo che anche P(n) è vera.

75 Teorema. Ogni intero maggiore di 1 è un prodotto di primi Dim. Stabiliamo affermazione P(n): l intero n è un prodotto di primi Vogliamo dimostrare per induzione completa che p(n) vera per ogni n>1.

76 Teorema. Ogni intero maggiore di 1 è un prodotto di primi Dim. Stabiliamo affermazione P(n): l intero n è un prodotto di primi Vogliamo dimostrare per induzione completa che p(n) vera per ogni n>1. Base. P(2) vera, poichè 2 è primo

77 Teorema. Ogni intero maggiore di 1 è un prodotto di primi Dim. Stabiliamo affermazione P(n): l intero n è un prodotto di primi Vogliamo dimostrare per induzione completa che p(n) vera per ogni n>1. Base. P(2) vera, poichè 2 è primo Passo. II: p(2),,p(n-1) vere Proviamo che P(n) è vera.

78 Teorema. Ogni intero maggiore di 1 è un prodotto di primi Dim. Stabiliamo affermazione P(n): l intero n è un prodotto di primi Vogliamo dimostrare per induzione completa che p(n) vera per ogni n>1. Base. P(2) vera, poichè 2 è primo Passo. II: p(2),,p(n-1) vere Proviamo che P(n) è vera. Se n è primo, ok Se n non è primo allora n=km per qualche k e m II ci dice che P(k), p(m) vere, Cioè k ed m sono prodotti di primi Quindi anche il loro prodotto n=km è un prodotto di primi.

79 Definizioni Induttive ; Una definizione per induzione (o induttiva o ricorsiva) di un insieme di oggetti consiste di una base e di un passo induttivo. BASE definisce uno o più oggetti elementari. Passo Induttivo definisce la regola che permette di costruire oggetti più complessi in termini di quelli già definiti

80 Definizioni Induttive ; BASE definisce uno o più oggetti elementari. Passo Induttivo definisce la regola che permette di costruire oggetti più complessi in termini di quelli già definiti Es. Definizione induttiva di n! (prodotto primi n interi) BASE 1! P.I. n!=n (n-1)! Per ogni n>1

81 Definizioni Induttive ; BASE definisce uno o più oggetti elementari. Passo Induttivo definisce la regola che permette di costruire oggetti più complessi in termini di quelli già definiti Es. Definizione dei numeri di fibonacci BASE f(0)=f(1)=1 P.I. f(n)=f(n-1)+f(n-2), per ogni n>1

82 Definizioni Induttive e Dimostrazioni Induttive ; Es. Mostrare che il numero di fibonacci f(n) soddisfa f(n)<2 n, per ogni n>0

83 Definizioni Induttive e Dimostrazioni Induttive ; Dimostrare che il numero di coppie (x,y) con x<y scelti tra 1 ed n è n(n-1)/2