Esercizi di Logica Matematica (parte 2)

Transcript

1 Luca Costabile Esercizio 317 Esercizi di Logica Matematica (parte 2) Dimostro per induzione sulla costruzione del termine : - Supponiamo che sia una variabile :, - Supponiamo che sia una variabile diversa da, per esempio :, - Supponiamo che sia un simbolo di costante :, - Supponiamo che sia un simbolo di funzione di arietà n dove sono termini: Esercizio 319 Supponiamo per assurdo che valgano entrambe 1 e 2 Poiché allora per definizione di soddisfazione si ha che, ma per ipotesi, quindi si ha un assurdo Esercizio 323 Sia un istanza di tautologia, allora esiste una tautologia del calcolo proposizionale ed esistono formule tali che Per una proprietà delle formule del calcolo proposizionale (esercizio 117) si ha che per ogni -struttura rimane una tautologia Quindi

2 Esercizio 324 Dimostro per induzione sulla costruzione della formula : - Formule atomiche 1) è del tipo : (per l esercizio 317) 2) è del tipo dove sono termini: - Connettivi (sempre per l esercizio 317) 1) è del tipo : per definizione di soddisfazione per ipotesi induttiva 2) è del tipo : per definizione di soddisfazione e per ipotesi induttiva e per definizione di soddisfazione 3) è del tipo per definizione di soddisfazione o per ipotesi induttiva o per definizione di soddisfazione

3 4) è del tipo : per definizione di soddisfazione vale ( ) per ipotesi induttiva vale ( per definizione di soddisfazione 5) è del tipo : per definizione di soddisfazione vale ( ) per ipotesi induttiva vale ( per definizione di soddisfazione - Quantificatori 1) è del tipo : per definizione di soddisfazione esiste tale che per ipotesi induttiva esiste tale che 2) è del tipo : per definizione di soddisfazione per ogni si ha per ipotesi induttiva per ogni si ha

4 Esercizio 326 Devo dimostrare che per ogni -struttura vale o equivalentemente che vale o equivalentemente che vale (per ogni Supponiamo che per ogni valga, allora in particolare vale per (ha senso considerare perché le variabili di sono libere in e quindi posso dare loro un assegnamento e un interpretazione), allora per l esercizio 324 vale che Aritmetica di Peano Definizione: sia un linguaggio dove è un simbolo di funzione di arietà 1 (detto successore) e sono simboli di funzione di arietà 2 L aritmetica di Peano è la -teoria con i seguenti assiomi: 1) (zero non è il successore di alcun numero); 2) (x è sempre il successore di qualcosa, se diverso da 0); 3) (due successori uguali implica che i numeri siano uguali); 4) (0 è l elemento neutro del +); 5) (definizione ricorsiva dell addizione a partire dal successore); 6) (0 è l elemento assorbente del ); 7) (definizione ricorsiva del prodotto a partire dall addizione); 8) per ogni -formula dove sono variabili libere (schema di induzione)

5 Se si esclude lo schema di induzione si ottiene l aritmetica di Robinson, indicata con Si può inoltre definire nell aritmetica di Peano l ordine: se tale che Il modello canonico dell aritmetica di Peano è la teoria dei numeri naturali Le seguenti sono alcune delle conseguenze logiche dell aritmetica di Peano ( viene indicato con 1): Lemma 1 (proprietà associativa dell addizione): Dim: per induzione su - per l assioma 4, per l assioma 4; - passo induttivo: Lemma 2: (assioma 5) (ipotesi induttiva) (assioma 5) (assioma 5) Dim: per gli assiomi 4 e 5 vale che Quindi da qui si deduce che Lemma 3: Dim: per induzione su : - - passo induttivo: (assioma 5) (ipotesi induttiva) Lemma 4: Dim: devo mostrare che per induzione su - per l assioma 4; - passo induttivo: (assioma 5) (ipotesi induttiva) Lemma 5 (proprietà commutativa dell addizione): Dim: per induzione su - per l assioma 4, per il lemma 3; - passo induttivo: (assioma 5)

6 (ipotesi induttiva) (lemma 2) (lemma 1) (lemma 4) (lemma 1) (lemma 2) Lemma 6 (proprietà di cancellazione della somma): se e solo se Dim: per induzione su - e per l assioma 4 si ha - passo induttivo: per il lemma 2 si ha, per il lemma 1 si ha ovvero per il lemma 2 Per l assioma 3 la funzione è iniettiva, quindi si ha Per ipotesi induttiva allora si ha Lemma 7 (proprietà distributiva): Dim: per induzione su - per l assioma 4, per l assioma 6 passo induttivo: (lemma 2) (ipotesi induttiva) (ipotesi induttiva) (lemma 2) (ipotesi induttiva) Lemma 8 (proprietà distributiva): Dim: per induzione su - per l assioma 6, sempre per l assioma 6 passo induttivo: (lemma 2) (lemma 7) (ipotesi induttiva), (lemma 2) (lemma 7) Lemma 9 (proprietà associativa del prodotto): Dim: per induzione su - per l assioma 6, sempre per l assioma 6 passo induttivo:

7 (assioma 7) (ipotesi induttiva) (lemma 7) (assioma 7) Lemma 10: Dim: per induzione su - passo induttivo: (assioma 7) (ipotesi induttiva) Lemma 11: Dim: per induzione su - - passo induttivo: (lemma 2) (lemma 7) (ipotesi induttiva) (lemma 2) Lemma 12 (proprietà commutativa del prodotto): Dim: per induzione su : - per l assioma 6, per il lemma 10 passo induttivo: (assioma 7) (ipotesi induttiva) (lemma 2) (lemma 8) (lemma 11) Lemma 13: la relazione è un ordine totale Dim: devo far vedere che soddisfa le proprietà riflessiva, antisimmetrica, transitiva e di totalità: - riflessiva: se esiste tale che, basta prendere e per l assioma 4 vale la proprietà antisimmetrica: supponiamo che e, quindi esistono e tali che e Allora si ha che, per il lemma 5 e per il lemma 6 si deve avere che e quindi e quindi - transitiva: supponiamo che e allora esistono e tali che e Allora si ha che, da cui per il lemma 6 e cioè - totalità: dimostro per induzione su che presi vale o è vera passo induttivo: devo mostrare che vale o : se, si ha che è vera; se 0, allora per l assioma 2 esiste tale che, quindi avrei da decidere quale

8 vale fra e è vera, ma so che una di queste vale per ipotesi induttiva Lemma 14: o è dispari ovvero un numero è pari Dim: supponiamo per assurdo che valgano entrambe, allora avrei, per il lemma 6 applicato due volte avrei quindi che è un assurdo Esercizio 333 Un esempio di immersione elementare è la funzione tale che Siano e le relative -strutture, verifico la proprietà di immersione elementare : prima però noto che vale, infatti supponiamo che (per definizione, dove è l insieme delle variabili) e che allora si ha vera perché, visto che supponiamo che, poiché si ha che Inoltre poiché è definito sull universo di, si ha che Quindi è un immersione elementare Esercizio 335 Per ipotesi vale che per ogni -formula e per ogni assegnamento su, Se come prendo in particolare un enunciato, la sua validità non dipende dall assegnamento, quindi si ha, ovvero che per definizione Esercizio 336 Siano e due -strutture, esse sono elementarmente equivalenti perché isomorfe (infatti basta considerare l isomorfismo tale che ) e sia la formula

9 Si ha che, ma e quindi non c è un immersione elementare Analogamente se considero come la formula si ha che, ma Verifico che è un isomorfismo: - iniettiva: - surgettiva: sì perché ogni elemento di è associato ad un elemento di, il suo opposto - omomorfismo: Esercizio 337 Siano e due -strutture, dove è l insieme dei numeri pari naturali e perché isomorfe (basta considerare l isomorfismo tale che ) Sia la formula, si ha che, ma, quindi non c è un immersione elementare Verifico che è un isomorfismo: - iniettiva: - surgettiva: sì perché ogni elemento di è associato ad un elemento di, la sua metà - omomorfismo: Esercizio 346 : supponiamo che sia un ultrafiltro e che Supponiamo per assurdo che e Allora per la proprietà 1 della proposizione 344 si ha che e Per la proprietà 3 della definizione 342 si ha che ma, quindi sempre per la proprietà 3 avrei che (, ma questo è assurdo perché va contro la proprietà 1 della definizione 342 : supponiamo che valga la proprietà e supponiamo per ipotesi che Devo far vedere che La contro nominale della proprietà di sopra è e Supponiamo per assurdo che, allora per la contro nominale, ma quindi avrei che contro la proprietà 1 della definizione 342, assurdo

10 Esercizio 347 : supponiamo per ipotesi che, allora esiste un insieme tale che, per esempio, e Poiché è ultrafiltro allora per definizione Quindi ho trovato due insiemi disgiunti tali che, e supponiamo che esistano due insiemi tali che, e Devo far vedere che o supponiamo per assurdo che e che allora per la proprietà 3 della definizione 342 si ha che, ma per ipotesi, quindi avrei contro la proprietà 1 della definizione 342, assurdo Quindi vale o e quindi perché esiste almeno un insieme che sta in uno ma non nell altro Esercizio 351 0) Per definizione Denoto con questo insieme; sia, poiché è ultrafiltro si ha che è l insieme 1) Per quello che è stato dimostrato al punto sopra si ha che per ogni vale Potrebbero però esserci altri indici per cui vale questa uguaglianza, ma vale Chiamo con l insieme di tutti gli indici per cui vale, quindi } Per quanto detto sopra vale che e poiché e è ultrafiltro si ha che e quindi per definizione vale 2) Chiamando con e con (, devo dimostrare che

11 Esercizio 353 : supponiamo che vale che Allora poiché e è ultrafiltro si ha che supponiamo che vale che Allora poiché e è ultrafiltro si ha che Dimostro per induzione sulla costruzione del termine : - è una variabile : sono uguali per definizione - è un simbolo di costante : e queste due cose e anche queste due cose sono uguali per definizione - è un simbolo di funzione con termini: dove per ipotesi induttiva e ( Esercizio 415 Supponiamo per ipotesi che e che, allora per il teorema di deduzione 412 si ha che e che Poiché è un istanza di tautologia, si ha che la dimostra Quindi per modus ponens si ha che ( e per modus ponens ancora si ha che

12 Verifico che è istanza di tautologia: