TEORIA degli INSIEMI 1

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1 TORIA degli INSIMI 1

2 INDIC Premessa Generalità Parte di un insieme. Insieme delle parti di un insieme Unione, intersezione, complementare Prodotto di insiemi. Relazioni Relazioni funzionali e funzioni Immagini dirette ed immagini reciproche Applicazioni composte Famiglie di elementi di un insieme Applicazioni invertibili

3 Premessa. Introdotti i seguenti simboli logici (negazione) (disgiunzione) (congiunzione) (implicazione) (equivalenza) l uso che di essi si fa è detto in quanto segue. Siano A e B due proposizioni, valgono le seguenti convenzioni: La scrittura A si legge non A ed esprime che: non è vera A La scrittura A B si legge A o B ed esprime che: è vera almeno una delle due proposizioni A e B La scrittura A B si legge A e B ed esprime che: è vera sia A che B La scrittura A B si legge A implica B ed esprime che: se A è vera allora è vera B. La scrittura A B si legge A equivale B ed esprime che: A è vera se e solo se è vera B. È utile l introduzione dei due seguenti operatori logici (quantificatore esistenziale) (quantificatore universale) che si leggono rispettivamente esiste un e per ogni, oltre che dei simboli ' (si legge tale che ) : (si legge risulta ) 3

4 1- Generalità. La teoria degli insiemi si occupa dello studio di quegli enti costituiti da oggetti, che prendono il nome di insiemi. Gli oggetti da cui è costituito un insieme diconsi elementi dell insieme. Se è un insieme, per esprimere che un oggetto x è un elemento di si scrive x e si legge x è un elemento di oppure x appartiene ad. La circostanza che x non è elemento di si traduce nella scrittura x che si legge x non è elemento di oppure x non appartiene ad Se a e b sono lettere che denotano oggetti, le scritture: a b e a b indicano rispettivamente che: a e b denotano lo stesso oggetto, a e b denotano oggetti diversi. Pertanto, se A e B sono insiemi, risulta: A B x A x B Se P è una proprietà attribuibile agli elementi di un insieme, per indicare che la proprietà P è vera per l elemento x di si scrive P(x) mentre l insieme degli elementi di per i quali è vera P si denota nel seguente modo: x P x. Dopodichè hanno un senso compiuto le scritture x : P x e x ' P x che esprimono rispettivamente che per ogni elemento x di risulta che la proprietà P è vera per x e esiste un elemento x di tale che la proprietà P è vera per x. Se invece è scritto: x X P( x) vorrà dire esiste uno ed un solo elemento x di X per cui vale P(x). 4

5 2 PART DI UN INSIM. INSIM DLL PARTI DI UN INSIM. Si da la seguente Definizione 1. Se ed F sono insiemi, si dice che è contenuto in F, e si scrive F se ogni elemento di è anche elemento di F. Osservazione. Per definizione si ha dunque che: ( F ) ( x : x F ), o in altri termini: ( F ) (( x ) ( x F)). Se F si dice anche che è legato ad F dalla relazione di inclusione. Dalla definizione 1 segue ovviamente la: Proposizione 1. Se, F, G, sono insiemi, risulta 1. (( F) ( F G) ( G) ( proprietà transitiva dell ' inclusione ); ( proprietà di uguaglianza ). 2. ( F) ( F) ( F ) La 2) fornisce un criterio di uguaglianza fra insiemi al quale si ricorre frequentemente. Definizione 2. Se è un insieme, dicesi sottoinsieme o parte di ogni insieme contenuto in. L insieme i cui elementi sono tutti e soli i sottoinsiemi di è detto insieme delle parti di e viene denotato con il simbolo. Pertanto risulta Tra gli elementi di A A figura l insieme ; inoltre si assume che sia elemento di la parte di priva di oggetti che prende il nome di parte vuota di. Si può dimostrare che la parte vuota di un insieme non differisce dalla parte vuota di un qualunque altro insieme. In tal senso si parla del cosiddetto insieme vuoto, intendendo con ciò la parte vuota di un qualunque insieme. Detto insieme si denota con il simbolo. Pertanto, se è un insieme, si ha:. Se x è un oggetto esiste un insieme costituito dal solo oggetto x; esso chiamasi insieme ridotto al x. solo elemento x e si denota con Pertanto, per ogni x risulta: x, come segue facilmente dall equivalenza: 3. ( y x ) ( y x) valida qualunque siano gli oggetti x ed y. Si osservi che dalla (3), a causa della (2), segue: ( x y ) ( x y ). 4. 5

6 3 UNION, INTRSZION, COMPLMNTAR. PARTIZION DI UN INSIM. Sussiste la seguente Definizione 1 Se ed F sono insiemi, esiste un ulteriore insieme, denotato con F e detto unione di ed F, i cui elementi sono gli oggetti che appartengono ad almeno uno degli insiemi ed F. Quindi x Fx x F. Si definisce insieme intersezione di ed F l insieme costituito dagli oggetti che appartengono sia ad che ad F e si denota con F. Quindi: x F x x F. Definizione 2. Due insiemi ed F diconsi disgiunti se: F ossia se non esiste alcun oggetto che appartiene ad entrambi gli insiemi ed F. Dalla Definizione 1 di questo numero e della Definizione. 1 del n. 2 segue la seguente Proposizione 1 Siano, F e G insiemi. Allora risulta: (1) ; ; (2) F F ; F F ; (3) F ; F ed anche F F ; F F ; G G F G F (4) GF G F G ; ; (5) F F F; F F ; (6) F G F G F G ; (7) F G F G ; F G F G (8) F G F G ; F G F G F G F G F G; ; La prima e la seconda della (2) prendono il nome rispettivamente di proprietà commutativa dell unione di insiemi e proprietà commutativa dell intersezione di insiemi. La prima e la seconda della (5) prendono il nome rispettivamente di proprietà associativa dell unione di insiemi e proprietà associativa dell intersezione di insiemi. La prima della (7) dicesi proprietà distributiva della intersezione rispetto all unione di insiemi, mentre la seconda della (7) dicesi proprietà distributiva della unione rispetto alla intersezione di insiemi. Osservazione. Dalla (3), per la proprietà transitiva dell inclusione, segue F F Inoltre, se A è una parte di (cfr. Definizione. 2, n.2) da (5) si ha A e A A oltre ad essere: e 6

7 Si conviene di denotare con F G l unico insieme con il quale coincidono, per (6), tanto l insieme F G F G. Analogamente si indica con F G quanto l insieme l unico insieme al quale risultano uguali, per (6), gli insiemi F G e F G. Si passa ora a dare la seguente: Definizione 3- Se è un insieme ed A una sua parte, dicesi complementare rispetto ad di A (oppure complementare di A rispetto ad ) l insieme A x x A Osservazione. È ovvio che: A Osservazione. A volte, quando non v è luogo ad equivoci, nell indicare il complementare rispetto A. ad di A si tace l insieme e si scrive semplicemente Dalla definizione ora data consegue la: Proposizione.2- Se A e B sono parti di un insieme si ha: ; A A ; 4. A A ; 5. A B B A ; 6. A B A B; 7. A B A B; 8. A B A B ; 9. (proprietà involutoria del complementare); A B B A A B. Dim. Ci si limita a dimostrare le proprietà (8) e (9). Quanto alla (8), supposto A B, sia x A. Allora x ma x B altrimenti x apparterrebbe ad A B, contro l ipotesi. Pertanto x B e dunque A B. Viceversa, se A B, allora successivamente A B. Infatti se, per assurdo, si suppone A Be quindi x A e x B x B. Ciò dimostra completamente la (8). Quanto alla (9) si supponga che A B mentre, essendo per ipotesi, A B, risulta x B. Allora se x B ossia, x e x B. Da x segue x A B e quindi x appartiene ad almeno uno degli insiemi A e B. Poiché x B, necessariamente x A e quindi B A. 7

8 D altra parte se donde, per la (6) da ciò segue. B A, si ha anche per (2) che B A A B Da cui per (1) e (2), AB. Con ciò è dimostrata la (9)., e quindi, per (8), A B, A B. Osservazione. Da (8) e (9) consegue che: A B A B A B La suddetta equivalenza,in grazie a (3) e (4),esprime che l unica parte A di tale che A B A B è l insieme B. Ovviamente se AB allora B A B A. Si dà la seguente ulteriore Definizione 4 - Sia un insieme ed A una parte di. Per ogni parte X di dicesi traccia di X su A l insieme: X A A X. Se X e Y sono parti di sussistono le seguenti proprietà: X Y X Y ; 1) A A 2) A A A 3) C X C X A X Y X Y ;. A A A Definizione 5 - Se è un insieme, A una parte di e B A X ' B X. A dicesi traccia di su A l insieme Definizione 6. Siano è un insieme e ( A i ) i I una famiglia di sottoinsiemi di. Si dice che ( A i ) i I è una partizione dell insieme se: 1. i I : Ai ; 2. i, j I, coni j : Ai Aj ; 3. Ai A1 A2... Ai.... ii A 8

9 4 PPRODOTTTTO DII IINSSIIMII RLLAZZIIONII Sussiste la seguente: Definizione 1 Se x ed y sono oggetti, dicesi coppia non ordinata definita da x ed y l insieme x, y x y. Osservazione. Dalla proprietà commutativa dell unione di insiemi (cfr. prop. N.3) segue che x, y y, x Alla definizione di coppia non ordinata si fa seguire quella di coppia ordinata. Definizione 2 Se x e y sono oggetti qualsiasi, dicesi coppia ordinata di prima coordinata x e di seconda ordinata y la coppia non ordinata ( x, y) x, x, y Se z è un ulteriore oggetto, dicesi terna ordinata di prima coordinata x, di seconda coordinata y e di terza coordinata z, la coppia ordinata x, y, z x, y, z. Osservazione. Si osservi che la coppia ordinata ( xy, ) di prima coordinata x e di seconda coordinata y è anche uguale alle coppie non ordinate x, y, x, x, y, x, y, x, x d ora ci si limita ad enunciare il seguente fondamentale criterio di uguaglianza delle coppie ordinate. Proposizione. 1- Se x1, y1, x2, y 2 indicano oggetti, allora risulta: Dopo di ciò si da la seguente x, y x, y x x y y Definizione 3- Se ed F sono insiemi, dicesi prodotto dell insieme per l insieme F l insieme, denotato con F di tutte le coppie ordinate ( xy, ) tali che x ed y F. Gli insiemi ed F prendono il nome rispettivamente di primo fattore e di secondo fattore del prodotto F. Osservazione. In generale risulta come si evince dalla (5) della seguente F F Proposizione 2- Siano, F, 1 e F 1 insiemi generici. Allora risulta: 9

10 (1) F F ; (2) F F ; (3) 0: se F F F F F ; (4) se F 0: F F F F ; (5) se F F F F (6) F 1 F1 1 F F1 ; (7) F 1 F1 1 F F1 ; (8) F F ; 0:, (9) F F La definizione di prodotto di due insiemi è indispensabile per poter dare la seguente: Definizione 4. Se ed F sono insiemi, dicesi relazione tra elementi di ed elementi di F ogni parte del prodotto F. Ogni relazione tra elementi ed elementi di dicesi relazione (binaria) su. Convenzione- Se R è una relazione tra elementi di ed elementi di F, ossia R F, la scrittura xry è sostitutiva dall altra ( x, y) R. Se ed F sono insiemi, un esempio di relazione tra elementi di ed elementi di F è data dal prodotto F. Inoltre la relazione su x, y x y dicesi diagonale di. Le proprietà di cui può godere una relazione R su sono fondamentalmente le seguenti (10) x : x R x (proprietà riflessiva); (11) x: x non è in relazione con x (proprietà antiriflessiva); (12) x, y 2 : xry yrx (13) x, y, z 3 : x R y, y R z x R z (14) x, y 2 : x R y, y R x x y (proprietà simmetrica); (proprietà transitiva); (proprietà antisimmetrica) Definizione 5. Se R è una relazione tra elementi di ed elementi di F, e se X è una parte di, dicesi sezione di R relativa ad X l insieme Se x R( X ) yf x X ' x, y R, dicesi sezione di R relativa ad x la sezione di R relativa ad x, e si denota con R(x). 10

11 Osservazione. Risulta ovviamente R( x) yf / x, y R Di grande utilità per il seguito è la seguente Proposizione 3- Se R ed S sono relazioni tra elementi dell insieme ed elementi dell insieme F, le seguenti proposizioni: a) R S; b) x : R( x) S( x) ; sono equivalenti. Dim. a b Vera la a), sia y Rx dove x è un elemento di. Allora per l oss. alla DF. 5 risulta x, y R e quindi x, y S donde y S x. Ciò dimostra che Rx Sx. In modo analogo si dimostra che Sx Rx e dunque Rx Sx b a Vera la b), si ha: donde la a).., ( ) ( ), x y R y R x y S x x y S 11

12 5- RLLAZZIIONII FFUNZZIIONALLII FFUNZZIIONII Sussiste la seguente: Definizione 1. Se X e Y sono insiemi, dicesi relazione funzionale tra elementi di X ed elementi di Y ogni relazione R tra elementi di X ed elementi di Y che soddisfa la seguente condizione: x X y Y ' xry Osservazione. La condizione precedente è equivalente alle due seguenti condizioni: x X : R x ; xx : Rx formato da un solo elemento. La Definizione 1 da luogo alla seguente fondamentale: Definizione 2. Se X e Y sono due insiemi ed R è una relazione funzionale tra elementi di X ed f X, Y, R prende il nome di applicazione o elementi di Y, la terna ordinata funzione di X in Y. Gli insiemi X e Y prendono il nome, rispettivamente, di insieme di definizione (o di partenza) e di insieme di variabilità (o di arrivo), mentre R prende il nome di grafico dell applicazione f. Osservazione. Se X e Y sono due insiemi, per applicazione o funzione di X in Y s intende un applicazione che abbia X come insieme di definizione ed Y come insieme di arrivo. Definizione 3. Se f X, Y, R è un applicazione di X in Y avente R come grafico, per ogni x X dicesi valore di f in x, e si denota con f x, l unico elemento di Y a cui si riduce Rx (cfr. Oss. Def. 1). Osservazione 1. Per ogni x X risulta x Rf x come risulta dalla definizione di alla Def.5 n.4) e dalla definizione di f xdata nella Def. 4. Rx (cfr. oss. Osservazione 2. Se un applicazione si denota con un complesso di simboli, il valore di tale applicazione nell elemento x del suo insieme di definizione si denota con il suddetto complesso di simboli racchiuso tra parentesi fatto seguire dalla lettera x chiusa entro parentesi. Inoltre se f è un applicazione dell insieme prodotto X Y x, y X Y il nell insieme Z, per ogni valore di f in xy,, anziché essere denotato con, (cfr. Def. 4), viene denotato più semplicemente con f x, y. Poiché il valore, f x y coerentemente con le notazioni assunte f x y di f nell elemento generico xy, dell insieme di definizione X Y dell applicazione f dipende da x X e da y Y si suole anche dire che f è una funzione di due variabili. 12

13 Sussiste la seguente: 6 - IIMMAGIINII DIIRTTTT D IIMMAGIINII RCIIPPROCH. Definizione 1. Sia f : X Y un applicazione di X in Y ed A X. Dicesi immagine diretta di A per f, o mediante f, l insieme: f A y Y x A ' y f x. Osservazione. Dalla definizione ore data d immagine diretta segue facilmente che, se A X e A' Y risulta: Inoltre per ogni x X si ha: f A A' x A: f x A'. f x f x. Nella successiva proposizione vengono elencate le proprietà delle immagini dirette. Proposizione 1- Sia f : X Y un applicazione di X in Y e siano A e B due parti di X. Allora risulta: 1. A f A ; 2. A B f A f B ; 3. f A B f A f B; 4. f A B f A f B. Si da ora la seguente: Definizione 2. Sia f : X Y un applicazione di X in Y e sia A' Y. Dicesi immagine reciproca di A ' mediante f, l insieme: 1 f A' x X f x A'. Convenzione. Se f : X Y è un applicazione di X in Y ed y Y, l immagine reciproca dell insieme y ridotto al solo elemento y mediante f, cioè chiama più brevemente immagine reciproca di y mediante f. 1 f y 1, si denota con f y Nella successiva proposizione vengono elencate le proprietà delle immagini reciproche. Proposizione 2- Sia f : X Y un applicazione di X in Y e siano A ' e B ' due parti di Y. Allora risulta: 1 1. f A' A' f X ; 1 1 ; 2. A' B' f A' f B ' f A' B' f A' f B' ; f A' B' f A' f B' ; f C A' C f A' Y X. e si 13

14 Proposizione 3- Se f : X Y è un applicazione di X in Y risulta: 1 1. A X : A f f A ; 1 A' Y : f f A' A' 2. Definizione 3. Sia f : X Y un applicazione di X in Y, essa dicesi surgettiva se: o, equivalentemente: f X Y y Y x X ' y f x. In tal caso f prende anche il nome di surgezione di X su Y. sempi di applicazioni surgettive e non: Definizione 4. Sia f : X Y un applicazione di X in Y, essa dicesi ingettiva se soddisfa una delle seguenti condizioni equivalenti: x X, x' X, f x f x' x x' ; x X, x' X, x x' f x f x' a. b. ; 1 1 c. y Y : f y oppure f y formato da un solo elemento. 14

15 7 - APPPPLLIICAZZIIONII COMPPOSSTT. Siano f : X Y e g : Y ' Z due applicazioni con Y Y' ; è facile verificare che la relazione R X Z così definita: è una relazione funzionale. Ha senso, pertanto la seguente:, R x z X Z z g f x Definizione 1. Siano X, Y, Y e Z quattro insiemi, con Y Y', f : X Y, g : Y ' Z due applicazioni e R la relazione tra elementi di X e elementi di Z prima definita. Dicesi applicazione composta di f e g (nell ordine indicato), e si denota con g f, l applicazione: X, Z, R. Per definizione l applicazione g f : X Z risulta così definita: x X : g f x g f x Osservazione. Se f : X Y è un applicazione, considerate le applicazioni identiche i e i X Y rispettivamente di X e di Y, tenendo conto del criterio di uguaglianza delle applicazioni (cfr. Prop. 1, n5) e della Def. 1, risulta: 1 f i f, i f f. X Y Proposizione 1 - Siano X, Y, Y e Z quattro insiemi, con Y Y', f : X Y, g : Y ' Z due applicazioni. Si ha che: 1. Se le applicazioni f e g sono ingettive, allora l applicazione composta g f è ingettiva. 2. Se le applicazioni f e g sono surgettive e Y Y', allora l applicazione composta g f è surgettiva. 3. Se le applicazioni f e g sono bigettive e Y Y', allora l applicazione composta g f è bigettiva. Proposizione 2 - Siano X, Y, Y,Z, Z e H sei insiemi, con Y Y' e Z Z', f : X Y, g : Y ' Z h: Z H tre applicazioni. Allora, considerate le applicazioni hg f e hg f di X in H, risulta: h g f h g f. L uguaglianza prende il nome di proprietà associativa delle applicazioni composte. Dim. 15

16 8 - FFAMIIGLLII DII LLMNTTII DII UN IINSSIIM. 16

17 9 - APPPPLLIICAZZIIONII IINVRTTIIBBIILLII. Definizione 1. Siano X e Y due insiemi, f : X Y un applicazione di X in Y; si dice che f è invertibile se esiste un applicazione g : Y X di Y in X che soddisfa le seguenti condizioni: g f ix 1 f g iy o, equivalentemente: x X : g f x x 2. y Y : f gy y Proposizione 1 Se f : X Y è un applicazione di X in Y invertibile, esiste una ed una sola applicazione g : Y X di Y in X che soddisfa le (1). Dim. L esistenza di un applicazione g : Y X che soddisfa le(1) è assicurata dall ipotesi che f è invertibile. Se g ': Y X è un ulteriore applicazione di Y in X tale che: g ' f ix f g ' iy risulta: g ' g ' i g ' f g g ' f g i g g donde e, quindi, l asserto. Y g' La proposizione ora dimostrata permette di dare la seguente: Definizione 2. Siano X e Y due insiemi, f : X Y un applicazione di X in Y invertibile, l unica applicazione g : Y X tale che: g f ix f g iy prende il nome di applicazione inversa dell applicazione f. g Dalle definizioni 1 e 2 segue la: Proposizione 2 Se f : X Y è un applicazione di X in Y invertibile, detta g : Y X l applicazione inversa di f, g è invertibile e ha f come applicazione inversa. Si ha, inoltre, la seguente Proposizione 3 Siano f ': X Y e f '': Y Z due applicazioni rispettivamente di X in Y e di Y in Z invertibili. Allora l applicazione composta f '' f ': X Z è invertibile e, dette g ' e g '' rispettivamente le applicazioni inverse di f ' e f '', l applicazione inversa di f '' f ' è g' g''. Dim. Allo scopo di fornire una caratterizzazione delle applicazioni invertibili si da la seguente: X 17

18 Definizione 3. Siano X e Y due insiemi ed R una relazione tra elementi di X ed elementi di Y R X Y. Dicesi relazione reciproca di R la relazione: tra elementi di Y ed elementi di X. 1,, R y x Y X x y R Dopo di ciò si dimostra la fondamentale Proposizione 4 Se f : X Y è un applicazione di X in Y, le seguenti proposizioni sono equivalenti: a) f è invertibile; b) f è bigettiva; 1 R c) la relazione reciproca del grafico di f è una relazione funzionale tra elementi di Y ed elementi di X. Inoltre, vera una e quindi ciascuna delle suddette proposizioni, detto R il grafico di f, l applicazione inversa della f è l applicazione: Dim. a b 1 g Y, X, R. Dalla proposizione 4 discendono il seguente: Corollario. Ogni applicazione bigettiva è invertibile e la sua applicazione inversa è bigettiva. Dim. Se f è un applicazione bigettiva, essa è, per la prop. 4, invertibile e quindi dotata di applicazione inversa g, che a sua volta risulta invertibile (cfr. proposizione 2) e quindi bigettiva per la proposizione 4. Si dà orala seguente: Definizione 4. Se X e Y sono insiemi, si dice che X è equipotente ad Y, o che X ed Y sono equipotenti, e si scrive: X equip. Y, se esiste un applicazione bigettiva di X in Y. Proposizione 6 Se X, Y e Z sono insiemi, sussistono le seguenti proprietà: 1) X equip. X; 2) X equip. Y Y equip. X ; 3) X equip. Y Y equip. Z X equip. Z ; Dim. ssendo la bigezione canonica ix : X X un applicazione bigettiva di X in X, per la def. 4 è vera la 1). Quanto a 2), se X equip. Y, allora esiste un applicazione bigettiva f : X Y di X in Y. detta g l applicazione inversa di f, g risulta un applicazione bigettiva di Y in X (cfr. corollario alla prop.4). Infine, se X equip. Y e Y equip. Z, esistono due applicazioni bigettive f ': X Y e f '': Y Z, rispettivamente di X in Y e di Y in Z. Allora f '' f ' è un applicazione bigettiva di X in Z (cfr. Prop. 1 n.7) e quindi la (3). 18