Immersioni elementari non proprie oltre L(V λ+1 )

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1 oltre L(V λ+1 ) 26 gennaio 2010

2 ZFC e ZF sono ormai considerati i sistemi assiomatici standard,

3 ZFC e ZF sono ormai considerati i sistemi assiomatici standard, ma sono troppo deboli, totalmente inadeguati a maneggiare l infinito.

4 ZFC e ZF sono ormai considerati i sistemi assiomatici standard, ma sono troppo deboli, totalmente inadeguati a maneggiare l infinito. Basti pensare a CH, o all esponenziazione cardinale in generale.

5 ZFC e ZF sono ormai considerati i sistemi assiomatici standard, ma sono troppo deboli, totalmente inadeguati a maneggiare l infinito. Basti pensare a CH, o all esponenziazione cardinale in generale. Nel corso degli anni sono stati proposti diversi assiomi per descrivere l universo oltre V ω.

6 ZFC e ZF sono ormai considerati i sistemi assiomatici standard, ma sono troppo deboli, totalmente inadeguati a maneggiare l infinito. Basti pensare a CH, o all esponenziazione cardinale in generale. Nel corso degli anni sono stati proposti diversi assiomi per descrivere l universo oltre V ω. Alcuni di questi sono riuniti sotto il nome di Large Cardinal Hypothesis.

7 Teorema L esistenza di un cardinale inaccessibile è equiconsistente con la misurabilità degli insiemi proiettivi in R.

8 Teorema L esistenza di un cardinale inaccessibile è equiconsistente con la misurabilità degli insiemi proiettivi in R. Teorema (Solovay) L esistenza di un cardinale misurabile è equiconsistente con Ogni misura Boreliana su B([0, 1]) può essere estesa ad una misura su P([0, 1]).

9 Teorema L esistenza di un cardinale inaccessibile è equiconsistente con la misurabilità degli insiemi proiettivi in R. Teorema (Solovay) L esistenza di un cardinale misurabile è equiconsistente con Ogni misura Boreliana su B([0, 1]) può essere estesa ad una misura su P([0, 1]). Teorema Esiste un cardinale misurabile se e soltanto se esiste un cardinale κ ed esiste un omomorfismo non banale h : Z κ /Z <κ Z.

10 Teorema L esistenza di un cardinale inaccessibile è equiconsistente con la misurabilità degli insiemi proiettivi in R. Teorema (Solovay) L esistenza di un cardinale misurabile è equiconsistente con Ogni misura Boreliana su B([0, 1]) può essere estesa ad una misura su P([0, 1]). Teorema Esiste un cardinale misurabile se e soltanto se esiste un cardinale κ ed esiste un omomorfismo non banale h : Z κ /Z <κ Z. Teorema (Martin-Steel) Tutti i giochi infiniti su {0, 1} sono determinati è equiconsistente con l esistenza di ω cardinali di Woodin.

11 Principio di Vopěnka 0 esiste 0=1 I1-I3 supercompatto misurabile inaccessibile I0 Woodin

12 Cardinale di Reinhardt κ è un cardinale di Reinhardt se esiste j : V V tale che κ è il punto critico di j

13 Cardinale di Reinhardt κ è un cardinale di Reinhardt se esiste j : V V tale che κ è il punto critico di j, ovvero il più piccolo tale che j(κ) > κ.

14 Cardinale di Reinhardt κ è un cardinale di Reinhardt se esiste j : V V tale che κ è il punto critico di j, ovvero il più piccolo tale che j(κ) > κ. Teorema (Kunen, 1971) Se j : V M, allora M V.

15 Cardinale di Reinhardt κ è un cardinale di Reinhardt se esiste j : V V tale che κ è il punto critico di j, ovvero il più piccolo tale che j(κ) > κ. Teorema (Kunen, 1971) Se j : V M, allora M V. Corollario Se j : V η V η, allora η < λ + 2, dove λ è l estremo superiore della sequenza critica di j, definita come κ 0 = crt(j), κ n+1 = j(κ n ).

16 Cardinale di Reinhardt κ è un cardinale di Reinhardt se esiste j : V V tale che κ è il punto critico di j, ovvero il più piccolo tale che j(κ) > κ. Teorema (Kunen, 1971) Se j : V M, allora M V. Corollario Se j : V η V η, allora η < λ + 2, dove λ è l estremo superiore della sequenza critica di j, definita come κ 0 = crt(j), κ n+1 = j(κ n ). Questo porta naturalmente a definire un nuovo tipo di assiomi, chiamati rank-to-rank:

17 I3: Esiste un immersione elementare j : V λ V λ.

18 I3: Esiste un immersione elementare j : V λ V λ. I1: Esiste un immersione elementare j : V λ+1 V λ+1.

19 I3: Esiste un immersione elementare j : V λ V λ. I1: Esiste un immersione elementare j : V λ+1 V λ+1. Dopo le prime perplessità, questo nuovo tipo di assiomi (rank-to-rank) ebbe successo:

20 I3: Esiste un immersione elementare j : V λ V λ. I1: Esiste un immersione elementare j : V λ+1 V λ+1. Dopo le prime perplessità, questo nuovo tipo di assiomi (rank-to-rank) ebbe successo: Teorema (Martin, 1980) I2 Tutti gli insiemi Π 1 2 sono determinati.

21 I3: Esiste un immersione elementare j : V λ V λ. I1: Esiste un immersione elementare j : V λ+1 V λ+1. Dopo le prime perplessità, questo nuovo tipo di assiomi (rank-to-rank) ebbe successo: Teorema (Martin, 1980) I2 Tutti gli insiemi Π 1 2 sono determinati. In breve si scoprì che i risultati trovati erano equiconsistenti con ipotesi molto minori, e tuttora si stanno ricercando risultati di equiconsistenza.

22 Definizione I0: Esiste un immersione elementare j : L(V λ+1 ) L(V λ+1 ) con punto critico minore di λ.

23 Definizione I0: Esiste un immersione elementare j : L(V λ+1 ) L(V λ+1 ) con punto critico minore di λ. Anche questa ipotesi fu usata per dimostrare risultati di determinatezza, ma ha dato risultati molto interessanti sulla struttura di L(V λ+1 ).

24 Definizione I0: Esiste un immersione elementare j : L(V λ+1 ) L(V λ+1 ) con punto critico minore di λ. Anche questa ipotesi fu usata per dimostrare risultati di determinatezza, ma ha dato risultati molto interessanti sulla struttura di L(V λ+1 ). Poiché la cofinalità di λ è ω, V λ+1 è molto simile a V ω+1, ovvero R

25 Definizione I0: Esiste un immersione elementare j : L(V λ+1 ) L(V λ+1 ) con punto critico minore di λ. Anche questa ipotesi fu usata per dimostrare risultati di determinatezza, ma ha dato risultati molto interessanti sulla struttura di L(V λ+1 ). Poiché la cofinalità di λ è ω, V λ+1 è molto simile a V ω+1, ovvero R (è possibile definirvi una teoria descrittiva, comprese caratterizzazioni con alberi).

26 Definizione I0: Esiste un immersione elementare j : L(V λ+1 ) L(V λ+1 ) con punto critico minore di λ. Anche questa ipotesi fu usata per dimostrare risultati di determinatezza, ma ha dato risultati molto interessanti sulla struttura di L(V λ+1 ). Poiché la cofinalità di λ è ω, V λ+1 è molto simile a V ω+1, ovvero R (è possibile definirvi una teoria descrittiva, comprese caratterizzazioni con alberi). Quindi L(V λ+1 ) è molto simile ad L(R).

27 Definizione I0: Esiste un immersione elementare j : L(V λ+1 ) L(V λ+1 ) con punto critico minore di λ. Anche questa ipotesi fu usata per dimostrare risultati di determinatezza, ma ha dato risultati molto interessanti sulla struttura di L(V λ+1 ). Poiché la cofinalità di λ è ω, V λ+1 è molto simile a V ω+1, ovvero R (è possibile definirvi una teoria descrittiva, comprese caratterizzazioni con alberi). Quindi L(V λ+1 ) è molto simile ad L(R). Incredibilmente, L(V λ+1 ) sotto I0 è molto simile a L(R) sotto AD.

28 Ecco degli esempi: L(R) L(V λ+1 )

29 Ecco degli esempi: L(R) L(V λ+1 ) DC

30 Ecco degli esempi: L(R) L(V λ+1 ) DC DC λ

31 Ecco degli esempi: L(R) L(V λ+1 ) DC DC λ Θ è regolare

32 Ecco degli esempi: L(R) L(V λ+1 ) DC DC λ Θ è regolare Θ L(V λ+1) è regolare

33 Ecco degli esempi: L(R) L(V λ+1 ) DC DC λ Θ è regolare Θ L(V λ+1) è regolare (AD) ω 1 è misurabile

34 Ecco degli esempi: L(R) L(V λ+1 ) DC DC λ Θ è regolare Θ L(V λ+1) è regolare (AD) ω 1 è misurabile (I0) λ + è misurabile

35 Ecco degli esempi: L(R) L(V λ+1 ) DC DC λ Θ è regolare Θ L(V λ+1) è regolare (AD) ω 1 è misurabile (I0) λ + è misurabile (AD)Coding Lemma

36 Ecco degli esempi: L(R) L(V λ+1 ) DC DC λ Θ è regolare Θ L(V λ+1) è regolare (AD) ω 1 è misurabile (I0) λ + è misurabile (AD)Coding Lemma (I0) Coding Lemma

37 Ecco degli esempi: L(R) L(V λ+1 ) DC DC λ Θ è regolare Θ L(V λ+1) è regolare (AD) ω 1 è misurabile (I0) λ + è misurabile (AD)Coding Lemma (I0) Coding Lemma I0, dunque, dà un esempio di Higher Determinacy Axiom.

38 Ecco degli esempi: L(R) L(V λ+1 ) DC DC λ Θ è regolare Θ L(V λ+1) è regolare (AD) ω 1 è misurabile (I0) λ + è misurabile (AD)Coding Lemma (I0) Coding Lemma I0, dunque, dà un esempio di Higher Determinacy Axiom. È possibile trovare assiomi più forti, non inconsistenti?

39 Ecco degli esempi: L(R) L(V λ+1 ) DC DC λ Θ è regolare Θ L(V λ+1) è regolare (AD) ω 1 è misurabile (I0) λ + è misurabile (AD)Coding Lemma (I0) Coding Lemma I0, dunque, dà un esempio di Higher Determinacy Axiom. È possibile trovare assiomi più forti, non inconsistenti? Lo spazio fra I0 e l inconsistenza è un territorio inesplorato.

40 Il criterio di riferimento per la definizione di nuovi assiomi è la ricerca di Higher Determinacy.

41 Il criterio di riferimento per la definizione di nuovi assiomi è la ricerca di Higher Determinacy. Per esempio, si potrebbe trovare un assioma equivalente alla determinatezza in L(A, R), con A R.

42 Il criterio di riferimento per la definizione di nuovi assiomi è la ricerca di Higher Determinacy. Per esempio, si potrebbe trovare un assioma equivalente alla determinatezza in L(A, R), con A R. Non è immediato dimostrare che, dato X V λ+1, l esistenza di un immersione elementare j : L(X, V λ+1 ) L(X, V λ+1 ) dà risultati simili a L(R, A) sotto AD, con A R.

43 Il criterio di riferimento per la definizione di nuovi assiomi è la ricerca di Higher Determinacy. Per esempio, si potrebbe trovare un assioma equivalente alla determinatezza in L(A, R), con A R. Non è immediato dimostrare che, dato X V λ+1, l esistenza di un immersione elementare j : L(X, V λ+1 ) L(X, V λ+1 ) dà risultati simili a L(R, A) sotto AD, con A R. Definizione Un immersione elementare j : L(X, V λ+1 ) L(X, V λ+1 ), con X V λ+1 è propria se i suoi punti fissi sono cofinali in Θ L(X,V λ+1).

44 Il criterio di riferimento per la definizione di nuovi assiomi è la ricerca di Higher Determinacy. Per esempio, si potrebbe trovare un assioma equivalente alla determinatezza in L(A, R), con A R. Non è immediato dimostrare che, dato X V λ+1, l esistenza di un immersione elementare j : L(X, V λ+1 ) L(X, V λ+1 ) dà risultati simili a L(R, A) sotto AD, con A R. Definizione Un immersione elementare j : L(X, V λ+1 ) L(X, V λ+1 ), con X V λ+1 è propria se i suoi punti fissi sono cofinali in Θ L(X,V λ+1). Se j : L(X, V λ+1 ) L(X, V λ+1 ) è propria, allora valgono le proprietà della determinatezza.

45 Woodin ha creato una sequenza di nuovi assiomi, con lo scopo di cercare un equivalente di AD R.

46 Woodin ha creato una sequenza di nuovi assiomi, con lo scopo di cercare un equivalente di AD R. La chiave di questa ricerca è una sequenza di sottoinsiemi di V λ+2 che mimi la costruzione del minimum model per AD R :

47 Woodin ha creato una sequenza di nuovi assiomi, con lo scopo di cercare un equivalente di AD R. La chiave di questa ricerca è una sequenza di sottoinsiemi di V λ+2 che mimi la costruzione del minimum model per AD R : V λ+1 E α V λ+2 ;

48 Woodin ha creato una sequenza di nuovi assiomi, con lo scopo di cercare un equivalente di AD R. La chiave di questa ricerca è una sequenza di sottoinsiemi di V λ+2 che mimi la costruzione del minimum model per AD R : V λ+1 E α V λ+2 ; se β < α allora E β E α ;

49 Woodin ha creato una sequenza di nuovi assiomi, con lo scopo di cercare un equivalente di AD R. La chiave di questa ricerca è una sequenza di sottoinsiemi di V λ+2 che mimi la costruzione del minimum model per AD R : V λ+1 E α V λ+2 ; se β < α allora E β E α ; E 0 = L(V λ+1 ) V λ+2 ;

50 Woodin ha creato una sequenza di nuovi assiomi, con lo scopo di cercare un equivalente di AD R. La chiave di questa ricerca è una sequenza di sottoinsiemi di V λ+2 che mimi la costruzione del minimum model per AD R : V λ+1 E α V λ+2 ; se β < α allora E β E α ; E 0 = L(V λ+1 ) V λ+2 ; per ogni α esiste X V λ+1 tale che L(E α+1 ) = L(X, V λ+1 );

51 Woodin ha creato una sequenza di nuovi assiomi, con lo scopo di cercare un equivalente di AD R. La chiave di questa ricerca è una sequenza di sottoinsiemi di V λ+2 che mimi la costruzione del minimum model per AD R : V λ+1 E α V λ+2 ; se β < α allora E β E α ; E 0 = L(V λ+1 ) V λ+2 ; per ogni α esiste X V λ+1 tale che L(E α+1 ) = L(X, V λ+1 ); E α+2 = L((X, V λ+1 ) ) V λ+2 ;

52 Woodin ha creato una sequenza di nuovi assiomi, con lo scopo di cercare un equivalente di AD R. La chiave di questa ricerca è una sequenza di sottoinsiemi di V λ+2 che mimi la costruzione del minimum model per AD R : V λ+1 E α V λ+2 ; se β < α allora E β E α ; E 0 = L(V λ+1 ) V λ+2 ; per ogni α esiste X V λ+1 tale che L(E α+1 ) = L(X, V λ+1 ); E α+2 = L((X, V λ+1 ) ) V λ+2 ; per ogni α < Υ esiste un immersione elementare j : L(E α ) L(E α ).

53 Nel caso in cui L(E 0 α) V = HOD Vλ+1, se j : L(E 0 α) L(E 0 α) è propria, allora ne seguono le proprietà di determinatezza.

54 Nel caso in cui L(E 0 α) V = HOD Vλ+1, se j : L(E 0 α) L(E 0 α) è propria, allora ne seguono le proprietà di determinatezza. Ma la definizione di immersione elementare propria è sensata? Il concetto di immersione elementare non propria potrebbe essere inconsistente?

55 Nel caso in cui L(E 0 α) V = HOD Vλ+1, se j : L(E 0 α) L(E 0 α) è propria, allora ne seguono le proprietà di determinatezza. Ma la definizione di immersione elementare propria è sensata? Il concetto di immersione elementare non propria potrebbe essere inconsistente? Teorema ogni j : L(V λ+1 ) L(V λ+1 ) è propria;

56 Nel caso in cui L(E 0 α) V = HOD Vλ+1, se j : L(E 0 α) L(E 0 α) è propria, allora ne seguono le proprietà di determinatezza. Ma la definizione di immersione elementare propria è sensata? Il concetto di immersione elementare non propria potrebbe essere inconsistente? Teorema ogni j : L(V λ+1 ) L(V λ+1 ) è propria; se β è successore, allora ogni j : L(E 0 β ) L(E 0 β ) è propria;

57 Nel caso in cui L(E 0 α) V = HOD Vλ+1, se j : L(E 0 α) L(E 0 α) è propria, allora ne seguono le proprietà di determinatezza. Ma la definizione di immersione elementare propria è sensata? Il concetto di immersione elementare non propria potrebbe essere inconsistente? Teorema ogni j : L(V λ+1 ) L(V λ+1 ) è propria; se β è successore, allora ogni j : L(E 0 β ) L(E 0 β ) è propria; se β è limite e ha cofinalità maggiore di ω, allora ogni j : L(E 0 β ) L(E 0 β ) è propria.

58 Per trovare risposta a questa domanda occorre un analisi approfondita di un particolare tipo di ordinali,

59 Per trovare risposta a questa domanda occorre un analisi approfondita di un particolare tipo di ordinali, ovvero gli α tali che L(E 0 α) V = HOD Vλ+1

60 Per trovare risposta a questa domanda occorre un analisi approfondita di un particolare tipo di ordinali, ovvero gli α tali che L(E 0 α) V = HOD Vλ+1, ma non esiste X V λ+1 tale che L(E 0 α) = L(X, V λ+1 ).

61 Per trovare risposta a questa domanda occorre un analisi approfondita di un particolare tipo di ordinali, ovvero gli α tali che L(E 0 α) V = HOD Vλ+1, ma non esiste X V λ+1 tale che L(E 0 α) = L(X, V λ+1 ). Tali L(E 0 α), infatti, hanno molte proprietà in comune con L(V λ+1 ), ma hanno una struttura logica più complessa, permettendo l esistenza di molte immersioni al proprio interno. Teorema

62 Per trovare risposta a questa domanda occorre un analisi approfondita di un particolare tipo di ordinali, ovvero gli α tali che L(E 0 α) V = HOD Vλ+1, ma non esiste X V λ+1 tale che L(E 0 α) = L(X, V λ+1 ). Tali L(E 0 α), infatti, hanno molte proprietà in comune con L(V λ+1 ), ma hanno una struttura logica più complessa, permettendo l esistenza di molte immersioni al proprio interno. Teorema Sia α il minimo tale che L((E α ) ) V λ+2 = E α.

63 Per trovare risposta a questa domanda occorre un analisi approfondita di un particolare tipo di ordinali, ovvero gli α tali che L(E 0 α) V = HOD Vλ+1, ma non esiste X V λ+1 tale che L(E 0 α) = L(X, V λ+1 ). Tali L(E 0 α), infatti, hanno molte proprietà in comune con L(V λ+1 ), ma hanno una struttura logica più complessa, permettendo l esistenza di molte immersioni al proprio interno. Teorema Sia α il minimo tale che L((E α ) ) V λ+2 = E α. Allora esiste un immersione elementare non propria j : L(E α ) L(E α ).

64 Però α è parzialmente non proprio, ovvero esistono anche immersioni proprie j : L(E 0 α) L(E 0 α), quindi la struttura di Higher Determinacy è mantenuta in L(E 0 α).

65 Però α è parzialmente non proprio, ovvero esistono anche immersioni proprie j : L(E 0 α) L(E 0 α), quindi la struttura di Higher Determinacy è mantenuta in L(E 0 α). Esistono β totalmente non propri?

66 Però α è parzialmente non proprio, ovvero esistono anche immersioni proprie j : L(E 0 α) L(E 0 α), quindi la struttura di Higher Determinacy è mantenuta in L(E 0 α). Esistono β totalmente non propri? Teorema Sia β tale che L(E 0 β ) V = HOD V λ+1 e ot{γ < β : (E 0 γ ) = (E 0 β ) L + γ } = λ.

67 Però α è parzialmente non proprio, ovvero esistono anche immersioni proprie j : L(E 0 α) L(E 0 α), quindi la struttura di Higher Determinacy è mantenuta in L(E 0 α). Esistono β totalmente non propri? Teorema Sia β tale che L(E 0 β ) V = HOD V λ+1 e ot{γ < β : (E 0 γ ) = (E 0 β ) L + γ } = λ. Allora ogni immersione elementare j : L(E β ) L(E β ) è non propria.

68 Però α è parzialmente non proprio, ovvero esistono anche immersioni proprie j : L(E 0 α) L(E 0 α), quindi la struttura di Higher Determinacy è mantenuta in L(E 0 α). Esistono β totalmente non propri? Teorema Sia β tale che L(E 0 β ) V = HOD V λ+1 e ot{γ < β : (E 0 γ ) = (E 0 β ) L + γ } = λ. Allora ogni immersione elementare j : L(E β ) L(E β ) è non propria. Poiché ot{γ < α : (E 0 γ ) = (E 0 α) L + γ } = α, se α esiste allora esiste anche un tale β.

69 Altri risultati portano a delineare la diversa natura di α e β

70 Altri risultati portano a delineare la diversa natura di α e β: Teorema Sia α il minimo tale che L((E α ) ) V λ+2 = E α, e sia k : L(E 0 α) L(E 0 α).

71 Altri risultati portano a delineare la diversa natura di α e β: Teorema Sia α il minimo tale che L((E α ) ) V λ+2 = E α, e sia k : L(E 0 α) L(E 0 α). Allora esistono 2 λ immersioni (o proprie) j : L(E 0 α) L(E 0 α) tali he j V λ+1 = k V λ+1.

72 Altri risultati portano a delineare la diversa natura di α e β: Teorema Sia α il minimo tale che L((E α ) ) V λ+2 = E α, e sia k : L(E 0 α) L(E 0 α). Allora esistono 2 λ immersioni (o proprie) j : L(E 0 α) L(E 0 α) tali he j V λ+1 = k V λ+1. Teorema Sia β tale che L(Eβ 0) V = HOD V λ+1 e ot{γ < β : (Eγ 0 ) = (Eβ 0) L + γ } = λ, e siano j, k : L(Eβ 0) L(E β 0 ) tali che j V λ+1 = k V λ+1.

73 Altri risultati portano a delineare la diversa natura di α e β: Teorema Sia α il minimo tale che L((E α ) ) V λ+2 = E α, e sia k : L(E 0 α) L(E 0 α). Allora esistono 2 λ immersioni (o proprie) j : L(E 0 α) L(E 0 α) tali he j V λ+1 = k V λ+1. Teorema Sia β tale che L(Eβ 0) V = HOD V λ+1 e ot{γ < β : (Eγ 0 ) = (Eβ 0) L + γ } = λ, e siano j, k : L(Eβ 0) L(E β 0 ) tali che j V λ+1 = k V λ+1. Allora j = k.