TECNICHE DI REGOLARIZZAZIONE IN ELABORAZIONE
|
|
|
- Gabriella Berardi
- 7 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 TECNICHE DI REGOLARIZZAZIONE IN ELABORAZIONE DI IMMAGINI Ivan Gerace, Francesca Martinelli e Patrizia Pucci Università degli Studi di Perugia Giornate di Algebra Lineare e Applicazioni 2009 Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
2 PROBLEMA CONTINUO y(t, z) = Ω ζ(t, ξ, z, η)x(ξ, η) dη dξ (t, z) Ω Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
3 PROBLEMA CONTINUO y(t, z) = x intensità luminosa del piano oggetto Ω y livello di grigio dell immagine riprodotta ζ funzione di dispersione puntuale Ω ζ(t, ξ, z, η)x(ξ, η) dη dξ (t, z) Ω Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
4 PROBLEMA CONTINUO y(t, z) = x intensità luminosa del piano oggetto Ω y livello di grigio dell immagine riprodotta ζ funzione di dispersione puntuale Ω ζ(t, ξ, z, η)x(ξ, η) dη dξ (t, z) Ω ỹ(t, z) = y(t, z) + n(t, z) (t, z) Ω n rumore bianco, Gaussiano, con media nulla e varianza nota Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
5 PROBLEMA CONTINUO y = Ax, x X y Y X, Y spazi di Hilbert A : X Y operatore lineare Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
6 MAL POSIZIONE DEL PROBLEMA Un problema si dice ben posto nel senso di Hadamard se la soluzione esiste Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
7 MAL POSIZIONE DEL PROBLEMA Un problema si dice ben posto nel senso di Hadamard se la soluzione esiste la soluzione è unica Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
8 MAL POSIZIONE DEL PROBLEMA Un problema si dice ben posto nel senso di Hadamard se la soluzione esiste la soluzione è unica la soluzione dipende con continuità dai dati Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
9 REGOLARIZZAZIONE DEL PROBLEMA TH DI PICARD I) Sia A operatore compatto Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
10 REGOLARIZZAZIONE DEL PROBLEMA TH DI PICARD I) Sia A operatore compatto II) {µ ν, ϕ ν, ψ ν } decomposizione ai valori singolari di A Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
11 REGOLARIZZAZIONE DEL PROBLEMA TH DI PICARD I) Sia A operatore compatto II) {µ ν, ϕ ν, ψ ν } decomposizione ai valori singolari di A III) y A(X), con A(X) chiusura di A(X) Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
12 REGOLARIZZAZIONE DEL PROBLEMA TH DI PICARD I) Sia A operatore compatto II) {µ ν, ϕ ν, ψ ν } decomposizione ai valori singolari di A III) y A(X), con A(X) chiusura di A(X) 1 IV) (y, ψ ν ) 2 converge µ 2 ν=1 ν Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
13 REGOLARIZZAZIONE DEL PROBLEMA TH DI PICARD I) Sia A operatore compatto II) {µ ν, ϕ ν, ψ ν } decomposizione ai valori singolari di A III) y A(X), con A(X) chiusura di A(X) 1 IV) (y, ψ ν ) 2 converge µ 2 ν=1 ν Allora x = ν=1 1 µ ν (y, ψ ν )ϕ ν Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
14 METODI DI REGOLARIZZAZIONE Hanno il compito di fornire una approssimazione stabile della soluzione di un problema mal posto. Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
15 METODI DI REGOLARIZZAZIONE Hanno il compito di fornire una approssimazione stabile della soluzione di un problema mal posto. DEFINIZIONE Operatori di regolarizzazione R λ 2 : Y X t.c. lim R λ λ 2 2 = A 1 0 Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
16 METODI DI REGOLARIZZAZIONE Hanno il compito di fornire una approssimazione stabile della soluzione di un problema mal posto. DEFINIZIONE Operatori di regolarizzazione R λ 2 : Y X t.c. lim R λ λ 2 2 = A 1 0 λ parametro di regolarizzazione Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
17 METODI DI REGOLARIZZAZIONE CARATTERIZZAZIONE OPERATORI DI REGOLARIZZAZIONE I) A operatore lineare, compatto, iniettivo Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
18 METODI DI REGOLARIZZAZIONE CARATTERIZZAZIONE OPERATORI DI REGOLARIZZAZIONE I) A operatore lineare, compatto, iniettivo II) {µ ν, ϕ ν, ψ ν } decomposizione ai valori singolari di A Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
19 METODI DI REGOLARIZZAZIONE CARATTERIZZAZIONE OPERATORI DI REGOLARIZZAZIONE I) A operatore lineare, compatto, iniettivo II) {µ ν, ϕ ν, ψ ν } decomposizione ai valori singolari di A III) q: (0, ) (0, A ] R n funzione limitata t.c. - Per ogni λ 2 esiste una costante positiva c(λ 2 ) tale che q(λ 2, µ) c(λ 2 )µ, µ (0, A ), - Per ogni 0 < µ A si ha che lim q(λ 2, µ) = 1. λ 2 0 Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
20 METODI DI REGOLARIZZAZIONE CARATTERIZZAZIONE OPERATORI DI REGOLARIZZAZIONE I) A operatore lineare, compatto, iniettivo II) {µ ν, ϕ ν, ψ ν } decomposizione ai valori singolari di A III) q: (0, ) (0, A ] R n funzione limitata t.c. - Per ogni λ 2 esiste una costante positiva c(λ 2 ) tale che q(λ 2, µ) c(λ 2 )µ, µ (0, A ), - Per ogni 0 < µ A si ha che lim q(λ 2, µ) = 1. λ 2 0 Allora 1 R λ 2y = q(λ 2, µ ν ) (y, ψ ν ) ϕ ν µ ν ν=1 è una soluzione regolarizzata Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
21 REGOLARIZZAZIONE DI TIKHONOV q(λ 2, µ) = µ 2 (λ 2 + µ 2 ) R λ 2 = (λ 2 I + A A) 1 A Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
22 REGOLARIZZAZIONE DI TIKHONOV q(λ 2, µ) = µ 2 (λ 2 + µ 2 ) R λ 2 = (λ 2 I + A A) 1 A La soluzione regolarizzata di Tikhonov equivale a determinare il minimo della funzione energia E(x) = T(x, y) + λ 2 S(x) Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
23 REGOLARIZZAZIONE DI TIKHONOV q(λ 2, µ) = µ 2 (λ 2 + µ 2 ) R λ 2 = (λ 2 I + A A) 1 A La soluzione regolarizzata di Tikhonov equivale a determinare il minimo della funzione energia E(x) = T(x, y) + λ 2 S(x) T(x, y) = Ax y 2 termine di consistenza ai dati Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
24 REGOLARIZZAZIONE DI TIKHONOV q(λ 2, µ) = µ 2 (λ 2 + µ 2 ) R λ 2 = (λ 2 I + A A) 1 A La soluzione regolarizzata di Tikhonov equivale a determinare il minimo della funzione energia E(x) = T(x, y) + λ 2 S(x) T(x, y) = Ax y 2 termine di consistenza ai dati S(x) = O(x) 2 termine di regolarizzazione Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
25 REGOLARIZZAZIONE DI TIKHONOV q(λ 2, µ) = µ 2 (λ 2 + µ 2 ) R λ 2 = (λ 2 I + A A) 1 A La soluzione regolarizzata di Tikhonov equivale a determinare il minimo della funzione energia E(x) = T(x, y) + λ 2 S(x) T(x, y) = Ax y 2 termine di consistenza ai dati S(x) = O(x) 2 termine di regolarizzazione O(x) operatore che rispecchia le proprietà a priori della soluzione Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
26 REGOLARIZZAZIONE DI TIKHONOV q(λ 2, µ) = µ 2 (λ 2 + µ 2 ) R λ 2 = (λ 2 I + A A) 1 A La soluzione regolarizzata di Tikhonov equivale a determinare il minimo della funzione energia E(x) = T(x, y) + λ 2 S(x) T(x, y) = Ax y 2 termine di consistenza ai dati S(x) = O(x) 2 termine di regolarizzazione O(x) operatore che rispecchia le proprietà a priori della soluzione λ parametro di regolarizzazione Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
27 PROBLEMA DISCRETO y = Ax + n Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
28 PROBLEMA DISCRETO y = Ax + n x R nm immagine originale y R nm immagine osservata n R nm rumore bianco, Gaussiano con media zero e varianza σ 2 nota A R nm R nm Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
29 PROBLEMA DISCRETO SOLUZIONE REGOLARIZZATA x = arg min E(x) x E(x) = T(x, y) + λ 2 S(x), Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
30 PROBLEMA DISCRETO SOLUZIONE REGOLARIZZATA x = arg min E(x) x E(x) = T(x, y) + λ 2 S(x), T(x, y) = y Ax 2 termine di consistenza con i dati S(x) = O(x) 2 termine di regolarizzazione O operatore legato alle proprietà note a priori della soluzione λ 2 parametro di regolarizzazione Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
31 VINCOLO DI SMOOTHNESS Se si impone un vincolo di smoothness sulla soluzione: S(x) = c C k (D k cx) 2 Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
32 VINCOLO DI SMOOTHNESS Se si impone un vincolo di smoothness sulla soluzione: S(x) = c C k (D k cx) 2 c è una clique di ordine k Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
33 VINCOLO DI SMOOTHNESS Se si impone un vincolo di smoothness sulla soluzione: S(x) = c C k (D k cx) 2 c è una clique di ordine k D k c è la derivata finita di ordine k associato alla clique c Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
34 VINCOLO DI SMOOTHNESS Se si impone un vincolo di smoothness sulla soluzione: S(x) = c C k (D k cx) 2 c è una clique di ordine k D k c è la derivata finita di ordine k associato alla clique c C k è l insieme di tutte le clique di ordine k dell immagine Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
35 PRESERVAZIONE DELLE DISCONTINUITÀ pixel
36 PRESERVAZIONE DELLE DISCONTINUITÀ pixel elementi di linea orizzontali
37 PRESERVAZIONE DELLE DISCONTINUITÀ pixel elementi di linea orizzontali elementi di linea verticali Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
38 PRESERVAZIONE DELLE DISCONTINUITÀ S(x, b) = c C k [(D k cx) 2 b c + β(b c )] Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
39 PRESERVAZIONE DELLE DISCONTINUITÀ S(x, b) = c C k [(D k cx) 2 b c + β(b c )] b c B è la variabile di linea corrispondente alla clique c, Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
40 PRESERVAZIONE DELLE DISCONTINUITÀ S(x, b) = c C k [(D k cx) 2 b c + β(b c )] b c B è la variabile di linea corrispondente alla clique c, β : C k R è una funzione decrescente Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
41 PRESERVAZIONE DELLE DISCONTINUITÀ S(x, b) = c C k [(D k cx) 2 b c + β(b c )] b c B è la variabile di linea corrispondente alla clique c, β : C k R è una funzione decrescente b è il vettore degli elementi di linea Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
42 FUNZIONE ENERGIA: ESPRESSIONE GENERALE 3 E(x, b) = T(x, y) + λ 2 i S (i) (x, b (i) ), i=1 Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
43 FUNZIONE ENERGIA: ESPRESSIONE GENERALE 3 E(x, b) = T(x, y) + λ 2 i S (i) (x, b (i) ), 3 b = (b (1), b (2), b (3) ) B = R t, t = C (i), b (i) R C(i) i=1 i=1 Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
44 FUNZIONE ENERGIA: ESPRESSIONE GENERALE E(x, b) = T(x, y) + 3 λ 2 i S (i) (x, b (i) ), i=1 b = (b (1), b (2), b (3) ) B = R t, t = S (i) (x, b) = c C (i) 3 C (i), b (i) R C(i) i=1 [ ] (D i c(x)) 2 b (i) c + β (i) (b (i) c ) Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
45 FUNZIONE ENERGIA: ESPRESSIONE GENERALE E(x, b) = T(x, y) + 3 λ 2 i S (i) (x, b (i) ), i=1 b = (b (1), b (2), b (3) ) B = R t, t = S (i) (x, b) = c C (i) 3 C (i), b (i) R C(i) i=1 [ ] (D i c(x)) 2 b (i) c + β (i) (b (i) c ) CASO BOOLEANO b (i) c B = {0, 1} Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
46 MINIMIZZAZIONE DELLA FUNZIONE ENERGIA b (x) = arg min E(x, b), b B x = arg min E(x, b (x)), x DEFINIZIONE Si definisce energia duale [Geman, Reynolds,1992] E d (x ) = inf E(x, b), b B C k Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
47 ENERGIA DUALE E d (x) = T(x, y) + 3 i=1 λ i 2 S (i) d (x) Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
48 ENERGIA DUALE E d (x) = T(x, y) + S (i) d (x) = c C (i) g (i) 3 i=1 λ i 2 S (i) d (x) ( (D i c x ) 2 ) Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
49 ENERGIA DUALE E d (x) = T(x, y) + S (i) d (x) = c C (i) g (i) g (i) (t) = inf b (i) c {b (i) R 3 i=1 λ i 2 S (i) d (x) ( (D i c x ) 2 ) c t 2 + β (i) (b (i) c )} Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
50 ENERGIA DUALE E d (x) = T(x, y) + S (i) d (x) = c C (i) g (i) g (i) (t) = inf b (i) c {b (i) R 3 i=1 λ i 2 S (i) d (x) ( (D i c x ) 2 ) c t 2 + β (i) (b (i) c )} g (i) funzioni di interazione Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
51 CASO BOOLEANO Se b B = {0, 1} e β(b) = κ 2 (1 b) { g(t) = inf{t 2, κ 2 t } = 2, se t < κ κ 2, altrimenti. κ soglia di discontinuità Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
52 CORRISPONDENZA TRA β E g g(t) = inf b c R {b ct 2 + β(b c )} Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
53 CORRISPONDENZA TRA β E g β t.c. β : R R g(t) = inf b c R {b ct 2 + β(b c )} Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
54 CORRISPONDENZA TRA β E g β t.c. β : R R g(t) = inf b c R {b ct 2 + β(b c )} β 0, β(b) 0 b R, β è una funzione non crescente Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
55 CORRISPONDENZA TRA β E g β t.c. β : R R g(t) = inf b c R {b ct 2 + β(b c )} β 0, β(b) 0 b R, β è una funzione non crescente β è convessa Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
56 CORRISPONDENZA TRA β E g β t.c. β : R R g(t) = inf b c R {b ct 2 + β(b c )} β 0, β(b) 0 b R, β è una funzione non crescente β è convessa se b 0, β(b) < + se e soltanto se b > 0 Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
57 CORRISPONDENZA TRA β E g β t.c. β : R R g(t) = inf b c R {b ct 2 + β(b c )} β 0, β(b) 0 b R, β è una funzione non crescente β è convessa se b 0, β(b) < + se e soltanto se b > 0 lim b + β(b) = 0, lim β(b) = β(0) > 0 b 0 + Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
58 CORRISPONDENZA TRA β E g β t.c. β : R R g(t) = inf b c R {b ct 2 + β(b c )} β 0, β(b) 0 b R, β è una funzione non crescente β è convessa se b 0, β(b) < + se e soltanto se b > 0 lim b + β(b) = 0, lim β(b) = β(0) > 0 b 0 + Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
59 CORRISPONDENZA TRA β E g DEFINIZIONE [ROCKAFELLAR,1970] Sia f una funzione definita in R, la funzione è chiamata coniugata di f. f (y) = sup{xy f (x)} y R x R Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
60 CORRISPONDENZA TRA β E g DEFINIZIONE [ROCKAFELLAR,1970] Sia f una funzione definita in R, la funzione è chiamata coniugata di f. f (y) = sup{xy f (x)} y R x R PROPRIETÀ Sia f una funzione propria, chiusa e convessa in R. f è una funzione propria, chiusa e convessa e la coniugata f di f coincide con f. Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
61 CORRISPONDENZA TRA β E g β (t) = sup{bt β(b)} = inf { bt + β(b)} t R b R b R Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
62 CORRISPONDENZA TRA β E g β (t) = sup{bt β(b)} = inf { bt + β(b)} t R b R b R β è una funzione convessa semi continua inferiormente Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
63 CORRISPONDENZA TRA β E g β (t) = sup{bt β(b)} = inf { bt + β(b)} t R b R b R β è una funzione convessa semi continua inferiormente f (t) := β ( t) = inf {bt + β(b)} = inf {bt + β(b)} t R b R b R + 0 Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
64 CORRISPONDENZA TRA β E g β (t) = sup{bt β(b)} = inf { bt + β(b)} t R b R b R β è una funzione convessa semi continua inferiormente f (t) := β ( t) = inf {bt + β(b)} = inf {bt + β(b)} t R b R b R + 0 f è una funzione concava semi continua superiormente Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
65 CORRISPONDENZA TRA β E g β (t) = sup{bt β(b)} = inf { bt + β(b)} t R b R b R β è una funzione convessa semi continua inferiormente f (t) := β ( t) = inf {bt + β(b)} = inf {bt + β(b)} t R b R b R + 0 f è una funzione concava semi continua superiormente g(t) = inf b R {bt2 + β(b)} f (t) = g( t), t 0 Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
66 CORRISPONDENZA TRA β E g lim (bt + β(b)) = b + se t < 0 0 se t = 0 + se t > 0, Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
67 CORRISPONDENZA TRA β E g lim (bt + β(b)) = b + se t < 0 0 se t = 0 + se t > 0 f (t) = t < 0, Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
68 CORRISPONDENZA TRA β E g lim (bt + β(b)) = b + se t < 0 0 se t = 0 + se t > 0 f (t) = t < 0, { g( t), se t 0 f (t) =, altrimenti Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
69 CORRISPONDENZA TRA β E g lim (bt + β(b)) = b + se t < 0 0 se t = 0 + se t > 0 f (t) = t < 0, { g( t), se t 0 f (t) =, altrimenti f (0) = g(0) = 0 Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
70 CORRISPONDENZA TRA β E g lim (bt + β(b)) = b + se t < 0 0 se t = 0 + se t > 0 f (t) = t < 0, { g( t), se t 0 f (t) =, altrimenti f (0) = g(0) = 0 concavità + semi continuità superiore di f f C(R + ) Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
71 CORRISPONDENZA TRA β E g g è pari Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
72 CORRISPONDENZA TRA β E g g è pari g C(R) poichè lim f (t) = f (0) t 0 + Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
73 CORRISPONDENZA TRA β E g g è pari g C(R) poichè lim f (t) = f (0) t 0 + f non decrescente in R g non decrescente in R + 0 Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
74 CORRISPONDENZA TRA β E g g è pari g C(R) poichè lim f (t) = f (0) t 0 + f non decrescente in R g non decrescente in R + 0 β(0) > 0, f non decrescente 0 < β(0) = sup{ β (t)} = sup f (t) = lim f (t) + quindi g 0 t R t R t + Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
75 CORRISPONDENZA TRA β E g g è pari g C(R) poichè lim f (t) = f (0) t 0 + f non decrescente in R g non decrescente in R + 0 β(0) > 0, f non decrescente 0 < β(0) = sup{ β (t)} = sup f (t) = t R t R f (t) lim = 0 t + t lim f (t) + quindi g 0 t + Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
76 CORRISPONDENZA TRA β E g g è pari g C(R) poichè lim f (t) = f (0) t 0 + f non decrescente in R g non decrescente in R + 0 β(0) > 0, f non decrescente 0 < β(0) = sup{ β (t)} = sup f (t) = t R t R f (t) lim = 0 t + t OSSERVAZIONE Non è restrittivo scegliere β convessa lim f (t) + quindi g 0 t + Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
77 CORRISPONDENZA TRA β E g TEOREMA [GERACE, M. E PUCCI] Sia β : R R tale che I) g(t) = inf b R {bt2 + β(b)} t R. II) β 0, β(b) 0 b R, β è una funzione non crescente e convessa; III) se b 0, β(b) < + se e soltanto se b > 0; IV) lim b + β(b) = 0, lim β(b) = β(0) > 0. b 0 + Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
78 CORRISPONDENZA TRA β E g TEOREMA [GERACE, M. E PUCCI] Sia β : R R tale che I) g(t) = inf b R {bt2 + β(b)} t R. II) β 0, β(b) 0 b R, β è una funzione non crescente e convessa; III) se b 0, β(b) < + se e soltanto se b > 0; IV) lim β(b) = 0, lim β(b) = β(0) > 0. b + b 0 + Allora esiste g : R R tale che V) g(t) = inf b R {bt2 + β(b)} t R; VI) g(0) = 0, g 0, g è una funzione pari, continua non decrescente in R + 0 { ; g( t), se t 0 f (t) VII) la funzione f (t) = è concava e lim = 0., altrimenti t + t Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
79 TEOREMA DI DUALITÀ B, β? g B insieme dei valori di una variabile di linea β funzione peso delle variabili di linea nell energia primale g funzione di interazione nell energia duale Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
80 TEOREMA DI DUALITÀ Geman e Reynolds, 1992 Charbonnier, Blanc-Féraud, Aubert e Barlaud, 1997 Boccuto, Discepoli, Gerace, Pandolfi e Pucci, 2002 Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
81 TEOREMA [GERACE, M. E PUCCI] I) II) III) IV) V) VI) Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
82 IMPLICAZIONE INVERSA ϑ(t) = f (t) t R Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
83 IMPLICAZIONE INVERSA ϑ(t) = f (t) t R β(b) := ϑ ( b) b R Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
84 IMPLICAZIONE INVERSA ϑ(t) = f (t) t R β(b) := ϑ ( b) b R β(b) = sup{ bt ϑ(t)} = sup{ bt + f (t)} = sup t R t R t R + 0 { bt + f (t)} b R Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
85 IMPLICAZIONE INVERSA ϑ(t) = f (t) t R β(b) := ϑ ( b) b R β(b) = sup{ bt ϑ(t)} = sup{ bt + f (t)} = sup t R t R t R + 0 { bt + f (t)} b R θ(t) = θ (t) t R f (t) = inf b R {bt + ϑ (b)} t R Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
86 g(t) Th Th Th Th GR CBAB BDGPP GM Variazione Totale t no no si si Bouman e Sauer t α, 1 α 2 no no no si Perona e Malik exp( t 2 ) + 1 si si si si t Geman e McClure 2 si si si si 1+t 2 Hebert e Leahy log(1 + t 2 ) no si si si Aubert et a 1 + t 2 1 no si si si Blake e Zissermann inf{t 2, κ 2 } si no si si Shulman e Hervé inf{t 2, 2κt κ 2 } no no si si Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
87 INIBIZIONE DI LINEE PARALLELE Immagine Osservata Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
88 INIBIZIONE DI LINEE PARALLELE Elementi di Linea Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
89 INTERAZIONI TRA LE VARIABILI DI LINEA 3 3 E(x, b) = T(x, y) + λ 2 i S (i) (x, b (i) ) + λ 2 i Q (i) (b) i=1 i=1 Q (i) (b) = c Γ ρ(b c, b c k ) Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
90 INTERAZIONI TRA LE VARIABILI DI LINEA 3 3 E(x, b) = T(x, y) + λ 2 i S (i) (x, b (i) ) + λ 2 i Q (i) (b) i=1 i=1 Q (i) (b) = c Γ ρ(b c, b c k ) S (i) (x, b) = E(x, b) = T(x, y) + c C (i) 3 λ i 2 S (i) (x, b (i) ) i=1 [ ] (D i (x)) 2 b (i) c + β (i) (b (i) c ) + ρ(b (i) c, µ(d i c 1 (x))) Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
91 INTERAZIONI TRA LE VARIABILI DI LINEA ENERGIA DUALE E d (x) = T(x, y) + 3 i=1 λ i 2 S (i) d (x) Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
92 INTERAZIONI TRA LE VARIABILI DI LINEA ENERGIA DUALE E d (x) = T(x, y) + 3 i=1 λ i 2 S (i) d (x) S (i) d (x) = ψ (i) (( D i c x, D i )) c ix c C (i) ψ (i) (t 1, t 2 ) = inf b i c R {bi ct γ (i) (b i c, t 2 )} γ (i) (b, t) = β (i) (b) + ρ(b, µ(t)). Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
93 INTERAZIONI TRA LE VARIABILI DI LINEA ENERGIA DUALE E d (x) = T(x, y) + 3 i=1 λ i 2 S (i) d (x) S (i) d (x) = ψ (i) (( D i c x, D i )) c ix c C (i) ψ (i) (t 1, t 2 ) = inf b i c R {bi ct γ (i) (b i c, t 2 )} γ (i) (b, t) = β (i) (b) + ρ(b, µ(t)). ψ (i) funzioni di interazione Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
94 CASO BOOLEANO b c B = {0, 1} β(b) = κ(1 b) ρ(b 1, b 2 ) = ε(1 b 1 )(1 b 2 ) t 1 2, t 1 < κ κ 2, t 1 κ, ψ(t 1, t 2 ) = t 2 1, t 1 < κ (κ ) 2, t 1 κ, κ soprasoglia di discontinuità t 2 < κ t 2 κ, Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
95 TEOREMA DI DUALITÀ B, β, ρ? ψ B insieme dei valori di una variabile di linea β funzione peso delle variabili di linea nell energia primale ρ funzione che rappresenta le interazioni tra le variabili di linea nell energia primale ψ funzione di interazione nell energia duale Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
96 TEOREMA DI DUALITÀ TEOREMA [GERACE, M. E PUCCI] Sia ψ : R R R tale che I) ψ(0, ) = 0, ψ(t 1, ) 0, ψ(t 1, ) è una funzione pari, continua non decrescente in R + 0 ; { ψ( t1, t II) la funzione φ(t 1, t 2 ) = 2 ), se t 1 0 è concava t, altrimenti 2 R. III) φ(, t 2 ) sia pari, continua e non decrescente in R + 0 ; Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
97 TEOREMA DI DUALITÀ TEOREMA [GERACE, M. E PUCCI] Sia ψ : R R R tale che I) ψ(0, ) = 0, ψ(t 1, ) 0, ψ(t 1, ) è una funzione pari, continua non decrescente in R + 0 ; { ψ( t1, t II) la funzione φ(t 1, t 2 ) = 2 ), se t 1 0 è concava t, altrimenti 2 R. III) φ(, t 2 ) sia pari, continua e non decrescente in R + 0 ; Sia γ : R R tale che IV) ψ(t 1, t 2 ) = inf b R {bt2 1 + γ(b, t 2 )} (t 1, t 2 ) R R. V) γ(b, ) 0, γ(b, ) 0 b R, β è non crescente e convessa; VI) se b 0, γ(b, ) < + se e soltanto se b > 0; VII) lim γ(b, ) = 0, lim γ(b, ) = γ(0, ) > 0. b + b 0 + VIII) γ(, t 2 ) è pari, continua e non decrescente in R + 0. Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
98 TEOREMA DI DUALITÀ TEOREMA [GERACE, M. E PUCCI] I) II) III) IV) V) VI) VII) VIII) Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
99 MINIMIZZAZIONE DELL ENERGIA DUALE ALGORITMO GNC (GRADUATED NON CONVEXITY) Si determina una famiglia {E (p) d } p di funzioni che approssimano E d, in modo tale che la prima sia convessa e l ultima coincida con E d. Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
100 MINIMIZZAZIONE DELL ENERGIA DUALE ALGORITMO GNC (GRADUATED NON CONVEXITY) Si determina una famiglia {E (p) d } p di funzioni che approssimano E d, in modo tale che la prima sia convessa e l ultima coincida con E d. RICHIESTA Ogni funzione approssimante E (p) d verifica le ipotesi del Teorema di Dualità Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
101 RESTAURO DI IMMAGINI SFUOCATE A effetto di sfocatura dell immagine y immagine osservata n rumore che corrompe l immagine x immagine originale y = Ax + n Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
102 RESTAURO DI IMMAGINI SFUOCATE A effetto di sfocatura dell immagine y immagine osservata n rumore che corrompe l immagine x immagine originale y = Ax + n Immagine originale Immagine osservata Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
103 ENERGIA DUALE E d (x) = T(x, y) + λ 2 S d (x) S d (x) = ψ (( D 1 cx, D 1 c 1x )) c C Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
104 ENERGIA DUALE E d (x) = T(x, y) + λ 2 S d (x) S d (x) = ψ (( D 1 cx, D 1 c 1x )) c C Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
105 ALGORITMO GNC Prima approssimazione convessa x !100!200!300!300!200! Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
106 RISULTATI SPERIMENTALI Immagine Osservata Immagine Stimata Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
107 RISULTATI SPERIMENTALI Immagine Osservata Immagine Stimata Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
108 RISULTATI SPERIMENTALI Immagine Osservata Immagine Stimata Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
109 Grazie Martinelli (Università degli Studi di Perugia) GALN / 39
! # %# & # & # #( # & % & % ( & )!+!,!++
! # %# & # & # #( # &! # % & % ( & )!+!,!++ ! # % & & ( ) +,.! / ( # / # % & ( % &,. %, % / / 0 & 1.. #! # ) ) + + + +) #!! # )! # # #.. & & 8. 9 1... 8 & &..5.... < %. Α < & & &. & % 1 & 1.. 8. 9 1.
Matematica per l Economia Sottoinsieme L-Z Dipartimento di Economia Universitá degli Studi di Bari 3) FUNZIONI. Giovanni Villani
Matematica per l Economia Sottoinsieme L-Z Dipartimento di Economia Universitá degli Studi di Bari 3) FUNZIONI Giovanni Villani FUNZIONI Definizione 1 Assegnati due insiemi A e B, si definisce funzione
Università degli Studi di Milano
Università degli Studi di Milano Laurea in Sicurezza dei sistemi e delle reti informatiche Note di Matematica STEFANO FERRARI Fondamenti di informatica per la sicurezza Note di Matematica Pagina 2 di 8
Massimo e minimo limite di successioni
Massimo e minimo limite di successioni 1 Premesse Definizione 1.1. Definiamo R esteso l insieme R = R { } {+ }. In R si estende l ordinamento tra numeri reali ponendo < a < +, a R. In base a tale definizione,
Macchine parallele M 1 M 2 M 3 J 1 J 2 LAVORI J 3 J 4
Macchine parallele M 1 J 1 J 2 LAVORI M 2 J 3 J 4 M 3 Macchine parallele Scheduling su macchine parallele scorrelate R C max Descrizione del problema n lavori devono essere processati da m macchine diverse
OTTIMIZZAZIONE LINEARE MULTICRITERIO
OTTIMIZZAZIONE LINEARE MULTICRITERIO NOTAZIONE Siano x ed y vettori di R n indicati estesamente con x x x x 1 Μ i Μ n, y y1 Μ yi Μ y n e si ponga N = {1,2,, n}. Scriveremo allora: x y ( x è diverso da
PROGRAMMAZIONE LINEARE E DUALITA'
PROGRAMMAZIONE LINEARE E DUALITA' 1) Dati i punti di R 2 (1, 2), (1, 4), (2, 3), (3, 5), (4, 1), (4, 2), (5, 5), (6, 2), (6, 5). Determinare graficamente: A - L'involucro convesso di tali punti. B - Quali
Alcuni Teoremi sulle funzioni continue e uniforme continuità
Alcuni Teoremi sulle funzioni continue e uniforme continuità Teorema 0. Una funzione f(x) è continua in x 0 se e solo se per ogni sucessione {x n } dom(f) con x n x 0 dom(f), risulta f(x n ) f(x 0 ). (Non
Laurea in Informatica e Tecnologie per la Produzione del Software Corso di Analisi Matematica Successioni e loro limiti
Laurea in Informatica e Tecnologie per la Produzione del Software Corso di Analisi Matematica Successioni e loro limiti Docente: Anna Valeria Germinario Università di Bari A.V.Germinario (Università di
Probabilità e Statistica Esercizi
Corso di PIANIFICAZIONE DEI TRASPORTI 1 ing. Antonio Comi Marzo 2006 Probabilità e Statistica Esercizi 1 Variabile aleatoria X(E): funzione che associa ad un evento E dello spazio delle prove un numero
Esercizi di Programmazione Lineare - Dualità
Esercizi di Programmazione Lineare - Dualità Esercizio n1 Dato il seguente problema 3 + 3 2 2 + a scriverne il duale; b risolvere il duale (anche geometricamente indicando cosa da esso si può dedurre sul
Capitolo 3: Ottimizzazione non vincolata parte III. E. Amaldi DEI, Politecnico di Milano
Capitolo 3: Ottimizzazione non vincolata parte III E. Amaldi DEI, Politecnico di Milano 3.4 Metodi di ricerca unidimensionale In genere si cerca una soluzione approssimata α k di min g(α) = f(x k +αd k
Funzioni derivabili (V. Casarino)
Funzioni derivabili (V. Casarino) Esercizi svolti 1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in = 0 delle funzioni: a) 5 b) 3 4 c) + 1 d) sin. ) Scrivere l equazione della retta tangente
Statistica Metodologica Avanzato Test 1: Concetti base di inferenza
Test 1: Concetti base di inferenza 1. Se uno stimatore T n è non distorto per il parametro θ, allora A T n è anche consistente B lim Var[T n] = 0 n C E[T n ] = θ, per ogni θ 2. Se T n è uno stimatore con
DERIVATA DI UNA FUNZIONE REALE. In quanto segue denoteremo con I un intervallo di IR e con f una funzione di I in IR.
DERIVATA DI UNA FUNZIONE REALE 1. Definizioni. In quanto segue denoteremo con I un intervallo di IR e con f una funzione di I in IR. DEFINIZIONE 1. Sia x 0 un elemento di I. Per ogni x (I \ {x 0 }) consideriamo
Calcolo differenziale 2: Massimi e minimi. Studio di una funzione. (M.S.Bernabei & H. Thaler)
Calcolo differenziale 2: Massimi e minimi. Studio di una funzione. (M.S.Bernabei & H. Thaler) Studio di una funzione Funzioni crescenti e decrescenti Una funzione f é crescente nell intervallo (a, b) se
Disuguaglianza di Cramér-Rao
Disuguaglianza di Cramér-Rao (Appunti per gli studenti Silvano Holzer Dipartimento di Scienze Economiche, Aziendali, Matematiche e Statistiche Bruno de Finetti Università degli studi di Trieste Un esperimento
CORSO DI ANALISI MATEMATICA 2 SOLUZIONI ESERCIZI PROPOSTI 15/04/2013
CORSO DI ANALISI MATEMATICA SOLUZIONI ESERCIZI PROPOSTI 5/04/03 D.BARTOLUCCI, D.GUIDO. Integrali Impropri Esercizio. (CRITERIO DEL CONFRONTO). Dimostrare che se f : (a, b] R e g(x) : (a, b] R sono integrabili
Programmazione Lineare
Programmazione Lineare Andrea Scozzari a.a. 2012-2013 March 14, 2013 Andrea Scozzari (a.a. 2012-2013) Programmazione Lineare March 14, 2013 1 / 18 Metodo del Simplesso Dato un problema di PL in forma standard
Un introduzione alla statistica asintotica attraverso una generalizzazione del Teorema Limite Centrale. Università di Pisa 18 Settembre 2015
Un introduzione alla statistica asintotica attraverso una generalizzazione Candidato: Relatore: Maurizio Pratelli Università di Pisa 18 Settembre 2015 Sezioni 1. Prime definizioni riguardo la statistica
Laurea in Informatica Corso di Analisi Matematica Calcolo differenziale per funzioni di una variabile
Laurea in Informatica Corso di Analisi Matematica Calcolo differenziale per funzioni di una variabile Docente: Anna Valeria Germinario Università di Bari A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica
Esercizi su ottimizzazione vincolata
Esercizi su ottimizzazione vincolata 1. Rispondere alle seguenti domande (a) Quando un vincolo di disuguaglianza è detto attivo? (b) Cosa è l insieme delle soluzioni ammissibili? Gli algoritmi di ricerca
a) Determinare il dominio, i limiti agli estremi del dominio e gli eventuali asintoti di f. Determinare inoltre gli zeri di f e studiarne il segno.
1 ESERCIZI CON SOLUZIONE DETTAGLIATA Esercizio 1. Si consideri la funzione f(x) = e x 3e x +. a) Determinare il dominio, i limiti agli estremi del dominio e gli eventuali asintoti di f. Determinare inoltre
APPROSSIMAZIONE di FUNZIONI
APPROSSIMAZIONE di FUNZIONI Francesca Pelosi Dipartimento di Sc. Matematiche ed Informatiche, Università di Siena CALCOLO NUMERICO a.a. 26 27 APPROSSIMAZIONE di FUNZIONI p.1/3 APPROSSIMAZIONE di FUNZIONI:
Si consideri il seguente tableau ottimo di un problema di programmazione lineare
ESERCIZIO 1 Si consideri il seguente tableau ottimo di un problema di programmazione lineare -25/3 0 4/3 19/6 9/2 0 0 0 7/6 1 0 1-1/2-3/2 1 0 0 3/2 11/3 1-2/3-1/3 0 0 0 0 2/3 2/3 0 1/3 1/6-1/2 0 1 0 7/6
Derivazione Numerica
Derivazione Numerica I metodi alle differenze finite sono basati sull approssimazione numerica di derivate parziali. Per questo consideriamo come problema iniziale quello di approssimare le derivate di
Dispense del Corso di Analisi III Corso di Laurea Triennale in Matematica Università di Firenze. Prof. Rolando Magnanini
Dispense del Corso di Analisi III Corso di Laurea Triennale in Matematica Università di Firenze Prof. Rolando Magnanini Dipartimento di Matematica U. Dini, Università di Firenze, viale Morgagni 67/A, 50134
Analisi della correlazione canonica
Analisi della correlazione canonica Su un collettivo di unità statistiche si osservano due gruppi di k ed m variabili L analisi della correlazione canonica ha per obiettivo lo studio delle relazioni di
Funzioni Monotone. una funzione f : A B. si dice
Funzioni Monotone una funzione f : A B si dice strettamente crescente: 1, 2 A, 1 < 2 f( 1 ) < f( 2 ). crescente: 1, 2 A, 1 < 2 f( 1 ) f( 2 ). strettamente decrescente: 1, 2 A, 1 < 2 f( 1 ) > f( 2 ). decrescente:
A Analisi Matematica 1 (Corso di Laurea in Informatica e Bioinformatica) Simulazione compito d esame
COGNOME NOME Matr. A Analisi Matematica (Corso di Laurea in Informatica e Bioinformatica) Firma dello studente Tempo: 3 ore. Prima parte: test a risposta multipla. Una ed una sola delle 4 affermazioni
0.1 Arco di curva regolare
.1. ARCO DI CURVA REGOLARE 1.1 Arco di curva regolare Se RC(O, i, j, k ) è un riferimento cartesiano fissato per lo spazio euclideo E, e se v (t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k è una funzione a valori vettoriali
COMPLEMENTI DI ANALISI MATEMATICA DI BASE. Prova scritta del 26 gennaio 2005
Prova scritta del 26 gennaio 2005 Esercizio 1. Posto B = x R 2 : x 2 2}, sia f n } una successione di funzioni (misurabili e) integrabili in B tali che f n f q.o. in B e, per ogni n N, f n (x) 2 x 3 per
A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, Matematica Numerica 3a Edizione. Springer, Milano Errata Corrige 16 aprile 2013
A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, Matematica umerica 3a Edizione. Springer, Milano 2008 1 Errata Corrige 16 aprile 2013 pag. 29: suggerimento per lo svolgimento dell Es. 4. Osservare che I + B = 2I (I
Leggi di capitalizzazione e di attualizzazione
Sommario Alcuni appunti di supporto al corso di Matematica Finanziaria (L-Z) Facoltà di Economia & Management- Università di Ferrara Sommario Parte I: Funzioni di capitalizzazione Parte II: Capitalizzazione
Autovalori ed autovettori di una matrice
Autovalori ed autovettori di una matrice Lucia Gastaldi DICATAM http://www.ing.unibs.it/gastaldi/ Indice 1 Definizioni di autovalori ed autovettori Autovalori ed autovettori 2 Metodo delle potenze 3 Calcolo
Analisi Matematica II - INGEGNERIA Gestionale - B 20 luglio 2017 Cognome: Nome: Matricola:
Analisi Matematica II - INGEGNERIA Gestionale - B luglio 7 Cognome: Nome: Matricola: IMPORTANTE: Giustificare tutte le affermazioni e riportare i calcoli essenziali Esercizio [8 punti] Data la matrice
Metodi per il calcolo degli zeri di funzioni non lineari
Metodi per il calcolo degli zeri di funzioni non lineari N. Del Buono 1 Introduzione Le radici di un equazione non lineare f(x) = 0 non possono, in generale, essere espresse esplicitamente e anche quando
Corso di Analisi Matematica Successioni e loro limiti
Corso di Analisi Matematica Successioni e loro limiti Laurea in Informatica e Comunicazione Digitale A.A. 2013/2014 Università di Bari ICD (Bari) Analisi Matematica 1 / 30 1 Definizione di successione
CORSO DI ANALISI MATEMATICA 2 SOLUZIONI ESERCIZI PROPOSTI 18/03/2013
CORSO DI ANALISI MATEMATICA SOLUZIONI ESERCIZI PROPOSTI 8/03/03 D.BARTOLUCCI, D.GUIDO. La continuità uniforme I ESERCIZIO: Dimostrare che la funzione f(x) = x 3, x A = (, ] non è uniformemente continua
Corso di Analisi Matematica Calcolo differenziale per funzioni di una variabile
Corso di Analisi Matematica Calcolo differenziale per funzioni di una variabile Laurea in Informatica e Comunicazione Digitale A.A. 2013/2014 Università di Bari ICD (Bari) Analisi Matematica 1 / 41 1 Derivata
Modelli lineari generalizzati
Modelli lineari generalizzati Estensione del modello lineare generale Servono allo studio della dipendenza in media di una variabile risposta da una o più variabili antecedenti Vengono attenuate alcune
1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in x = 0 delle funzioni: c) x + 1 d)x sin x.
Funzioni derivabili Esercizi svolti 1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in x = 0 delle funzioni: a)2x 5 b) x 3 x 4 c) x + 1 d)x sin x. 2) Scrivere l equazione della retta tangente
Richiami di algebra delle matrici a valori reali
Richiami di algebra delle matrici a valori reali Vettore v n = v 1 v 2. v n Vettore trasposto v n = (v 1, v 2,..., v n ) v n = (v 1, v 2,..., v n ) A. Pollice - Statistica Multivariata Vettore nullo o
Dimostrazione. Indichiamo con α e β (finiti o infiniti) gli estremi dell intervallo I. Poniamo
C.6 Funzioni continue Pag. 114 Dimostrazione del Corollario 4.25 Corollario 4.25 Sia f continua in un intervallo I. Supponiamo che f ammetta, per x tendente a ciascuno degli estremi dell intervallo, iti
x(y + z)dx dy dz y(x 2 + y 2 + z 2 )dx dy dz y 2 zdx dy dz Esempio di insieme non misurabile secondo Lebesgue.
/3/23 Calcolare dove x(y + z)dx dy dz = {(x, y, z) R 3 : x, y, z, x + y + z }. Calcolare y(x 2 + y 2 + z 2 )dx dy dz dove = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 z, x 2 + y 2 + z 2 3zx y }. Calcolare dove y
Teoria della Dualità: I Introduzione
Teoria della Dualità: I Introduzione Daniele Vigo D.E.I.S. Università di Bologna dvigo@deis.unibo.it rev. 1.2 Maggio 2004 Dualità Per ogni problema PL, detto primale, ne esiste un altro, detto duale, costruito
Diario del corso di Analisi Matematica 1 (a.a. 2016/17)
Diario del corso di Analisi Matematica 1 (a.a. 2016/17) 16 settembre 2016 (2 ore) Presentazione del corso. Numeri naturali, interi, razionali, reali. 2 non è razionale. Come si risolve 2 + 1 = 0? 19 settembre
Corso di Laurea in Chimica e Tecnologia Farmaceutiche Matematica con Elementi di Informatica COMPITO 19 Febbraio 2016
Corso di Laurea in Chimica e Tecnologia Farmaceutiche Matematica con Elementi di Informatica COMPITO 19 Febbraio 2016 Nome Cognome Matricola Punteggi 10 cfu Teoria Ex.1 Ex.2 Ex.3 Ex. 4 Ex.5 /6 /5 /5 /5
Statistica Applicata all edilizia: alcune distribuzioni di probabilità
Statistica Applicata all edilizia: Alcune distribuzioni di probabilità E-mail: orietta.nicolis@unibg.it 23 marzo 2010 Indice Distribuzioni di probabilità discrete 1 Distribuzioni di probabilità discrete
Insiemi, Numeri, Terminologia. Prof. Simone Sbaraglia
Insiemi, Numeri, Terminologia Prof. Simone Sbaraglia Corso Rapido di Logica Matematica La logica formale definisce le regole cui deve obbedire qualsiasi teoria deduttiva. Una proposizione e` una affermazione
Lecture 18. Text: Motori Aeronautici Mar. 26, Mauro Valorani Università La Sapienza. Analisi dimensionale delle turbomacchine
Lecture 18 Analisi Text: Motori Aeronautici Mar. 26, 2015 Analisi Mauro Valorani Università La Sapienza 18.331 Agenda Analisi 1 Numero di giri e 18.332 Analisi L analisi e il confronto tra le turbomacchine
{ x + 2y = 3 αx + 2y = 1 αx + y = 0. f(x) = e x 2 +3x+4 x 5. f(x) = x 3 e 7x.
0 Gennaio 006 Teoria: Definizione di derivata puntuale e suo significato geometrico Esercizio Determinare l equazione del piano contenente i vettori u = (,, 3 e v = (,, e passante per P o = (,, Scrivere
Introduzione alla programmazione lineare
Introduzione alla programmazione lineare struttura del problema di PL forme equivalenti rappresentazione e soluzione grafica rif. Fi 1.2; BT 1.1, 1.4 Problema di programmazione lineare Dati: un vettore
MODELLI A TEMPO CONTINUO IN EQUAZIONI DI STATO. Sistema lineare stazionario a tempo continuo in equazioni di stato. = Cx(t) + Du(t) x(0) = x 0
MODELLI A TEMPO CONTINUO IN EQUAZIONI DI STATO Sistema lineare stazionario a tempo continuo in equazioni di stato ẋ(t) y(t) = Ax(t) + Bu(t) = Cx(t) + Du(t) x() = x Risposta completa (risposta libera e
Diario del Corso Analisi Matematica I
Diario del Corso Analisi Matematica I 1. Martedì 1 ottobre 2013 Presentazione del corso. Nozioni di Teoria degli Insiemi. Numeri Naturali, loro proprietà, rappresentazione geometrica, sommatoria, principio
PARTE 1: Elementi di base. Simboli e operazioni sugli insiemi. Simboli logici. Prodotto cartesiano.
PROGRAMMA di Analisi Matematica 1 A.A. 2008-2009, canale 1, prof.: Francesca Albertini, Claudio Marchi Ingegneria gestionale, meccanica e meccatronica, Vicenza Testo Consigliato: Analisi Matematica, M.
Sub-Optimal Measurement-Based CAC Algorithm
Tecniche per la garanzia di qualità in reti di Telecomunicazioni multiservizi Sottotema Controllo Courmayeur, 12-14 Gennaio 2000 Sub-Optimal Measurement-Based CAC Algorithm Gregorio Procissi procissi@iet.unipi.it
Fisica Quantistica III Esercizi Natale 2009
Fisica Quantistica III Esercizi Natale 009 Philip G. Ratcliffe (philip.ratcliffe@uninsubria.it) Dipartimento di Fisica e Matematica Università degli Studi dell Insubria in Como via Valleggio 11, 100 Como
Calcolo differenziale 2: Massimi e minimi. Studio di una funzione. (M.S.Bernabei & H. Thaler)
Calcolo differenziale 2: Massimi e minimi. Studio di una funzione. (M.S.Bernabei & H. Thaler) Studio di una funzione Funzioni crescenti e decrescenti Una funzione f é crescente nell intervallo (a, b) se
Università degli Studi di Roma Tor Vergata
Funzioni kernel Note dal corso di Machine Learning Corso di Laurea Specialistica in Informatica a.a. 2010-2011 Prof. Giorgio Gambosi Università degli Studi di Roma Tor Vergata 2 Queste note derivano da
Analisi Matematica I DISEQUAZIONI Risposte Pagina Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 Es. 5 1
Analisi Matematica I DISEQUAZIONI Risposte Pagina Es. Es. Es. 3 Es. 4 Es. 5 AVVERTENZA: Scrivere le risposte scelte nello spazio in alto a destra. In ogni esercizio una sola risposta è corretta. Esercizio.
Esame di Analisi Funzionale e Trasformate Prima prova in itinere. Maggio 2017 A.A. 2016/2017. Prof. M. Bramanti Tema A
Esame di Analisi Funzionale e Trasformate Prima prova in itinere. Maggio 7 A.A. 6/7. Prof. M. Bramanti Tema A Cognome: Nome N matr. o cod. persona: Dom Dom Dom 3 Es Es Es 3 Tot. Punti Domande di teoria
3 Introduzione al problema semi-lineare
3 Introduzione al problema semi-lineare 3.1 Il problema periodico Studiamo il problema (P ) { x + g(t, x) =, x() = x(t ), x () = x (T ), dove g : [, T ] R R è una funzione continua. Consideriamo lo spazio
LAGRANGIANE AUMENTATE
LAGRANGIANE AUMENTATE Le condizioni di minimo vincolato per min f o (x) g i (x) = 0, i I sono legate sia alla funzione P(x,k) = f o (x) +(k/2) g i (x) 2 a al suo minimo x k che alla funzione lagrangiana
Problemi lineari equivalenti
Problemi lineari equivalenti Introduzione Nel seguito verranno presentati alcuni esempi di trasformazione di problemi di problemi di programmazione lineare in forme equivalenti. Un problema di programmazione
Insiemi numerici. Definizioni
1 Insiemi numerici Gli insiemi numerici sono insiemi i cui elementi sono numeri, cioè appartengono all'insieme N dei naturali, degli interi Z, dei razionali Q, dei reali R o dei complessi C ( es.: A =
Funzioni. iniettiva se x y = f (x) f (y) o, equivalentemente, f (x) = f (y) = x = y
Funzioni. Dati due insiemi A e B (non necessariamente distinti) si chiama funzione da A a B una qualunque corrispondenza (formula, regola) che associa ad ogni elemento di A uno ed un solo elemento di B.
Proposizioni. Negazione di una proposizione. Congiunzione e disgiunzione di due proposizioni. Predicati. Quantificatori.
Corso di laurea in Ingegneria elettronica e informatica - A13 Programma di Analisi matematica 1 - A13106 Anno accademico 2015-2016 Prof. Giulio Starita 1 - Insiemi, logica, numeri I concetti primitivi.
Serie Borlini Alex
Serie numerica >> Prefazione Progressione lista ordinata e finita di elementi. Successione lista ordinata e infinita di elementi (numeri reali chiamati termini), {a n }=a 1, a 2, a 3 Successione di Fibonacci:
Equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti
Equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti 0.1 Introduzione Una equazione differenziale del secondo ordine è una relazione del tipo F (t, y(t), y (t), y (t)) = 0 (1) Definizione
(1) Per ciascuno dei seguenti spazi dire se è o meno uno spazio vettoriale (spiegare)
1 Spazi vettoriali (1) Per ciascuno dei seguenti spazi dire se è o meno uno spazio vettoriale (spiegare) (a) R 5 (b) [0, ) (c) x R 2 : x 1 + 2x 2 = 0} (d) x R 2 : x 2 1 + 2x 2 = 0} (e) x R 2 : x 1 > x
Corso di Laurea in Ingegneria, Settore Informazione (gruppi 2-3), A.A. 2007/2008 Docente: Antonio Ponno
Programma del Corso di Matematica A Corso di Laurea in Ingegneria, Settore Informazione (gruppi 2-3), A.A. 2007/2008 Docente: Antonio Ponno Premessa (D) dopo un teorema o una proposizione citati sta ad
Analisi Matematica T1 (prof.g.cupini) (CdL Ingegneria Edile Polo Ravenna) REGISTRO DELLE LEZIONI A.A
Analisi Matematica T1 (prof.g.cupini) (CdL Ingegneria Edile Polo Ravenna) REGISTRO DELLE LEZIONI A.A.2012-2013 (Grazie agli studenti del corso che comunicheranno eventuali omissioni o errori) 25 SETTEMBRE
Successioni, massimo e minimo limite e compattezza in R
Università di Roma Tor Vergata Corso di Laurea in Scienze e Tecnologie per i Media Successioni, massimo e minimo limite e compattezza in R Massimo A. Picardello BOZZA 10.11.2011 21:24 i CAPITOLO 1 Successioni
Equazione di Laplace
Equazione di Laplace. La funzione di Green Sia, indicati con x e y due punti di R 3 E(x, y) = x y Consideriamo la rappresentazione integrale di u(x) C 2 (), anche rinunciando all ipotesi che sia armonica
Programmazione Lineare Intera
Programmazione Lineare Intera Andrea Scozzari a.a. 2012-2013 May 10, 2013 Andrea Scozzari (a.a. 2012-2013) Programmazione Lineare Intera May 10, 2013 1 / 16 Programmazione Lineare Intera: Metodo dei Piani
Il Teorema di Mountain-Pass
Capitolo 4 Il Teorema di Mountain-Pass Descriviamo ora un altro metodo per trovare soluzioni non nulle di alcuni tipi di problemi, per esempio { u = u p 1 u in u = 0 su (4.1) con p > 1, utilizzando dei
Su una classe di equazioni ellittiche perturbate singolarmente in forma di divergenza
Su una classe di equazioni ellittiche perturbate singolarmente in forma di divergenza Alessio Pomponio SISSA Trieste pomponio@sissa.it in collaborazione con Simone Secchi Università di Pisa secchi@dm.unipi.it
Ulteriori Conoscenze di Informatica e Statistica
ndici di forma Ulteriori Conoscenze di nformatica e Statistica Descrivono le asimmetrie della distribuzione Carlo Meneghini Dip. di fisica via della Vasca Navale 84, st. 83 ( piano) tel.: 06 55 17 72 17
Programmazione Lineare Intera. Programmazione Lineare Intera p. 1/4
Programmazione Lineare Intera Programmazione Lineare Intera p. 1/4 Programmazione Lineare Intera Problema di PLI in forma standard: max cx Ax = b x 0, x I n I insieme degli interi. Regione ammissibile:
FAM. T 1) α ν. (e α ν T 1) 2. (con l ipotesi ν > 0) si ottiene
Serie 42: Soluzioni FAM C. Ferrari Esercizio 1 Corpo nero 1. Abbiamo: Sole λ max = 500nm - spettro visibile (giallo); Sirio B λ max = 290nm - ultravioletto; corpo umano λ max = 9300nm - infrarosso. 2.
10 - Applicazioni del calcolo differenziale
Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia CdS Sviuppo Economico e Cooperazione Internazionale Appunti del corso di Matematica 10 - Applicazioni del calcolo differenziale Anno Accademico 2015/2016
06 - Continuitá e discontinuitá
Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia CdS Sviluppo Economico e Cooperazione Internazionale Appunti del corso di Matematica 06 - Continuitá e discontinuitá Anno Accademico 2013/2014 D. Provenzano
Concavità verso il basso (funzione concava) Si dice che in x0 il grafico della funzione f(x) abbia la concavità rivolta verso il basso, se esiste
CONCAVITA E CONVESSITA DI UNA FUNZIONE. FLESSI. SCHEMA GENERALE PER LO STUDIO DI FUNZIONE. FUNZIONI RAZIONALI E IRRAZIONALI INTERE E FRATTE. TEOREMA DI DE L HOSPITAL CON APPLICAZIONI AI LIMITI. 1 Concavit{
Definizione: Dato un sottoinsieme non vuoti di. Si chiama funzione identica o identità di in sé la funzione tale che.
Esercitazioni di Analisi Matematica Prof.ssa Chiara Broggi Materiale disponibile su www.istitutodefilippi.it/claro Lezione 2: Funzioni reali e loro proprietà Definizione: Siano e due sottoinsiemi non vuoti
c i χ Ai (x) f(x) = f(x)dx = c i m(a i ) R
1. Integrale di Lebesgue in La differenza fondamentale tra integrale di Lebesgue e integrale di iemann consiste nella diversa scelta delle decomposizioni su cui sostanzialmente si basa ogni integrale:
1. Disegnare nel piano di Gauss i seguenti insiemi di numeri complessi:
Politecnico di Milano Ingegneria Industriale Analisi e Geometria 1 Test di autovalutazione 1. Disegnare nel piano di Gauss i seguenti insiemi di numeri complessi: (a) A = {z C : z, 0 arg z /} (b) B = {w
Primo Compito di Analisi Matematica Corso di laurea in Informatica, corso B 18 Gennaio Soluzioni
Primo Compito di Analisi Matematica Corso di laurea in Informatica, corso B 8 Gennaio 06 Soluzioni Esercizio Siano z e z due numeri complessi con modulo e argomento rispettivamente (ρ, θ ) e (ρ, θ ) tali
Introduzione al Metodo agli Elementi Finiti (FEM) (x, y) Γ Tale formulazione viene detta Formulazione forte del problema.
Introduzione al Metodo agli Elementi Finiti (FEM) Consideriamo come problema test l equazione di Poisson 2 u x 2 + 2 u = f(x, y) u = f y2 definita su un dominio Ω R 2 avente come frontiera la curva Γ,
Sistemi differenziali 2 2: esercizi svolti. 1 Sistemi lineari Stabilità nei sistemi lineari
Sistemi differenziali : esercizi svolti 1 Sistemi lineari Stabilità nei sistemi lineari 14 1 Sistemi differenziali : esercizi svolti 1 Sistemi lineari Gli esercizi contrassegnati con il simbolo * presentano
Esercitazioni di Matematica
Università degli Studi di Udine Anno Accademico 009/00 Facoltà di Agraria Corsi di Laurea in VIT e STAL Esercitazioni di Matematica novembre 009 Trovare le soluzioni della seguente disequazione: x + +
La dualità nella Programmazione Lineare
Capitolo 3 La dualità nella Programmazione Lineare 3.1 Teoria della dualità Esercizio 3.1.1 Scrivere il problema duale del seguente problema di Programmazione Lineare: min x 1 x 2 + x 3 2x 1 +3x 2 3 x
Maria Prandini Dipartimento di Elettronica e Informazione Politecnico di Milano
Note relative a test di bianchezza rimozione delle componenti deterministiche da una serie temporale a supporto del Progetto di Identificazione dei Modelli e Analisi dei Dati Maria Prandini Dipartimento
Corso di Analisi Matematica Funzioni di una variabile
Corso di Analisi Matematica Funzioni di una variabile Laurea in Informatica e Comunicazione Digitale A.A. 2013/2014 Università di Bari ICD (Bari) Analisi Matematica 1 / 24 1 Generalità 2 Funzioni reali
Soluzioni degli esercizi sulle equazioni alle differenze lineari
Soluzioni degli esercizi sulle equazioni alle differenze lineari Bernardi Mauro Sapienza, University of Rome MEMOTEF Department April, 7th 2013 Mauro Bernardi (MEMOTEF) Soluzioni degli esercizi sulle equazioni
Risoluzione di sistemi lineari sparsi e di grandi dimensioni
Risoluzione di sistemi lineari sparsi e di grandi dimensioni Un sistema lineare Ax = b con A R n n, b R n, è sparso quando il numero di elementi della matrice A diversi da zero è αn, con n α. Una caratteristica
Ottimizzazione dei Sistemi Complessi
1 Giovedì 18 Maggio 2017 1 Istituto di Analisi dei Sistemi ed Informatica IASI - CNR Il decisore... questo sconosciuto! singolo obiettivo: se x e x sono ottimi globali, allora f (x ) = f ( x) e non c è
Diario del Corso di Analisi Matematica - a.a. 2014/15
Diario del Corso di Analisi Matematica - a.a. 2014/15 1a SETTIMANA 23/09/14 (2 ore): Introduzione al corso: orario, esercitazioni, ricevimento studenti, sito web, tempi e modalità delle prove di valutazione
Tipi di Processi Stocastici
Processi Stocastici Definizione intuitiva: un processo stocastico è un insieme ordinato di variabili casuali, indicizzate dal parametro t, spesso detto tempo. Definizione rigorosa: dati uno spazio di probabilità
Compiti d Esame A.A. 2005/2006
Compiti d Esame A.A. 25/26 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA A.A. 25/26 I Esercitazione 21 Aprile 26 { y = xy ln(xy) si chiede di dimostrare che: y(1) = 1, (a) ammette un unica soluzione massimale y =