INDUZIONE MATEMATICA

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1 Regola d induzione matematica P(0), n(p(n) P(n+1)) Regola d induzione completa n(n<m P(n)) P(m) INDUZIONE MATEMATICA dove n è una variabile che varia sui numeri naturali. In questa regola m è una variabile che sta per un numero qualunque, e quindi questa regola equivale a m( n(n<m P(n)) P(m)) Se si assume che l insieme dei numeri naturali sia ben ordinato da <, allora è facile giustificare queste regole. Iniziamo dell induzione completa. Supponiamo infatti che valga n(n<m P(n)) P(m) e che non valga. Allora, per via del buon ordinamento, il sottoinsieme {n P(n)} ha un più piccolo elemento, diciamo m. Allora tutti i numeri più piccoli di m godono della proprietà P, ossia vale n(n<m P(n)), quindi, dal momento che vale n(n<m P(n)) P(m), anche m dovrà godere della proprietà P. Ma questo contraddice il fatto che vale P(m). Per quel che riguarda l induzione matematica il ragionamento è analogo. Supponiamo che valgano P(0) e n(p(n) P(n+1)), ma che non valga. Sia m il più piccolo elemento che non gode della proprietà P. Poiché abbiamo supposto P(0), m 0 e perciò esiste il predecessore immediato di m, ossia m-1, che gode della proprietà P; ma, poiché abbiamo supposto n(p(n) P(n+1)), da P(m-1) P(m). Contraddizione. Viceversa se si assume la regola d induzione completa è possibile dimostrare che < è un buon ordinamento dell insieme dei numeri naturali. [la dimostrazione, solo per chi è interessato] Dimostrare che < costituisce un ordine lineare è lungo e tedioso, e perciò ci limiteremo a dimostrare che ogni sottoinsieme non vuoto a dell insieme dei numeri naturali possiede un elemento minimo. Si tratta cioè di dimostrare (i) a m(m a n(n<m n a)) Per contrapposizione (modus tollens) la formula (i) equivale a (ii) m( n(n<m n a) m a) a= L antecedente di (ii) costituisce la premessa di un applicazione della regola d induzione completa. Assumendo quindi l antecedente di (ii) otteniamo mediante tale regola m(m a), ossia a=, e quindi (ii) è dimostrato.

2 Come si dimostra per induzione [Per induzione matematica] Per prima cosa si dimostra che vale P(0) base dell induzione. Poi si assume P(n) per un n qualunque (tale assunzione è detta ipotesi d induzione) e si cerca di derivare P(n+1) passo dell induzione [Per induzione completa] Dobbiamo dimostrare la premessa, ossia che n(n<m P(n)) P(m) vale per tutti gli m. Se m=0, allora n<0 è sempre falso e quindi n(n<0 P(n)) è sempre vero (in pratica è come se fosse una tautologia). Ora se α è una tautologia, allora, per ogni β, α β equivale a β, e quindi per dimostrare n(n<0 P(n)) P(0), dobbiamo dimostrare P(0). Se m>0, allora assumiamo come ipotesi d induzione n(n<m P(n)) e cerchiamo di derivare P(m). Da queste osservazioni appare chiaro che la regola più forte è quella d induzione matematica. Infatti in quest ultima l ipotesi d induzione è che la proprietà vale per il predecessore immediato, mentre nell induzione completa bisogna assumere di più, ossia che la proprietà vale per tutti i predecessori. [Induzione metamatematica] Gli oggetti di una data teoria (ad esempio, formule, teoremi, espressioni appartenenti ad una sequenza) godono di proprietà metamatematiche. Quando gli oggetti in questione costituiscono un insieme che può essere numerato dai numeri naturali, ovvero che è isomorfo a ω o ad una sua parte iniziale, è possibile dimostrare che tutti questi oggetti godono di una determinata proprietà per induzione, di solito completa. TEOREMA DI DEDUZIONE Un esempio di induzione metamatematica è la dimostrazione del Teorema di Deduzione. Si tratta di dimostrare che la sequenza di formule β 1,,β n che costituisce una derivazione di β n = β da Γ, α è tale che, per 1 i n, Γ α β i (quest ultima formula metalinguistica esprime una proprietà della formula β i ). Non ha ovviamente nessuna importanza se la sequenza è numerata a partire da 1 o da 0. Innanzitutto si tratta di dimostrare che la proprietà vale per β 1, ossia che vale Γ α β 1. I casi possibili sono tre: β 1 è un assioma, β 1 Γ, β 1 è α. β 1 è un assioma β 1 (α β 1 ) Assioma 1 β 1 β 1 è un assioma α β 1 Γ α β 1 β 1 Γ β 1 (α β 1 ) Assioma 1 Γ β 1 (α β 1 ) Γ β 1 Poiché β 1 Γ Γ α β 1 β 1 è α α α α β 1 Γ α β 1 Teorema Perché β 1 è α

3 In secondo luogo si tratta di dimostrare, per 1< i n, che, se per ogni h< i vale Γ α β h, allora vale Γ α β i. Il caso interessante è se β i deriva per da formule β j e β k = β j β i per j,k<i (α (β j β i )) (( α β j ) ( α β i )) Assioma 2 Γ (α (β j β i )) (( α β j ) ( α β i )) Monotonicità della relazione di derivazione Γ α (β j β i ) Ipotesi d induzione Γ ( α β j ) ( α β i ) Γ α β j Ipotesi d induzione Γ α β i TEOREMA DI COMPLETEZZA Un altro esempio d induzione metamatematica è la dimostrazione del Lemma Tale dimostrazione richiede l induzione sul numero dei connettivi della formula ben formata (fbf) α (ovvero l induzione sulla costruzione di α). In generale per ogni numero naturale n si considera la classe che contiene tutte e sole le fbf aventi n connettivi (in breve "classe n") e si dimostra per induzione completa che, per ogni n, tutte le fbf appartenenti alla classe n godono di una data proprietà P, e quindi che tutte le fbf godono della proprietà P. Innanzitutto bisogna dimostrare che tutte le fbf con 0 connettivi (ossia le lettere proposizionali) godono di P. L ipotesi d induzione sarà invece che tutte le fbf appartenemti alle classi m, per m<n, godono di P; per avere la premessa dell induzione bisogna dedurne che anche le fbf appartenenti alla classe n godono di P. Data per scontata la definizione delle A 1,, A n, dove A 1,, A n sono le lettere proposizionali occorrenti in una fbf α, e di α stessa, il lemma dice Se α è una lettera proposizionale A i (per 1 i n) non c è niente da dimostrare: il lemma si riduce alla banalità A i A i Se α contiene n connettivi l ipotesi d induzione è che il lemma vale per tutte le fbf con meno di n connettivi. In base alla definizione induttiva di fbf i casi sono due α = β α = β γ dove β e γ hanno sicuramente meno di n connettivi. α = β Se α è vero, β è falso, quindi, poiché le lettere proposizionali di α e β sono le stesse, per ipotesi d induzione A 1,, A n β (=α) Ma, poiché α è vero, α = α, quindi Se α è falso, β è vero, quindi, per ipotesi d induzione A 1,, A n β (= α per la legge della doppia negazione) Ma, poiché α è falso, α = α, quindi α = β γ

4 [Avvertenza. In generale le lettere proposizionali di β e γ non sono esattamente le stesse; tuttavia, data la monotonicità della relazione di derivazione, nel formulare l ipotesi d induzione possiamo aggiungere le lettere mancanti, ossia presenti in α ma eventualmente non in β o in γ] Se β γ è vero, allora o β è falso, oppure γ è vero. Nel primo caso, per ipotesi d induzione A 1,, A n β Poiché β (β γ) A 1,, A n β γ (=α perché β γ è vero) Nel secondo caso, sempre per ipotesi d induzione A 1,, A n γ Poiché γ (β γ) è un istanza di Assioma 1, come nel caso precedente A 1,, A n β γ Se β γ è falso, allora β è vero e γ è falso. Per ipotesi d induzione A 1,, A n β A 1,, A n γ Poiché β, γ (β γ) A 1,, A n (β γ) [=(β γ) perché β γ è falso] [dimostrazione del Teorema di Completezza] Se α è una tautologia, per ogni riga della corrispondente tavola di verità A 1,, A n α Poiché in qualche riga A n sarà A n, ed in qualche altra sarà A n avremo A 1,, A n α A 1,, A n α Una doppia applicazione del Teorema di Deduzione dà A 1,, A n-1 A n α A 1,, A n-1 A n α Poiché A n α, A n α α A 1,, A n-1 α Procedendo alla stessa maniera si eleminano tutte le premesse e si ottiene α Per capire bene questa procedura e soprattutto per rendersi conto che coinvolge tutte le righe della tavola di verità di α, facciamo un esempio con solo tre lettere proposizionali. Le 8 righe sono le nti (1) A, B, C α (2) A, B, C α (3) A, B, C α (4) A, B, C α (5) A, B, C α (6) A, B, C α (7) A, B, C α (8) A, B, C α

5 A partire da (1) e (2) si ottiene mediante doppia applicazione del Teorema di Deduzione A, B α Ma per procedere all eliminazione di B dobbiamo avere anche A, B α e si ottiene ciò utilizzando in maniera analoga le righe (3) e (4). Una volta eliminato B, abbiamo ottenuto A α Per ottenere A α e poter così eliminare anche A, dobbiamo ripetere la procedura seguita per dimostrare A α ed utilizzare in maniera analoga le righe (5)-(8).