Agenti Basati su Logica

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1 Agenti Basati su Logica Corso di Intelligenza Artificiale, a.a Prof. Francesco Trovò 09/04/2018

2 Agenti basati sulla logica Generico agente logico Il mondo del Wumpus Logica proposizionale Inferenza negli agenti logici

3 Agenti basati sulla conoscenza Idea: il ragionamento umano non si basa semplicemente su comportamenti reattivi, ma su modelli ben precisi del mondo Da questa intuizione possiamo derivare degli agenti basati sulla conoscenza, ovvero che operano ragionamenti su una rappresentazione interna del mondo Va oltre alla ricerca: nelle situazioni di incertezza non fa altro che elencare tutti i possibili stati (stati credenza) Va oltre ai CSP: passo verso una rappresentazione più completa degli stati Utilizzo della logica: possono adattarsi ai cambiamenti dell ambiente e può integrare nuova conoscenza nel modello

4 Proprietà dell ambiente Completamente osservabile / parzialmente osservabile Agente singolo / multiagente Deterministico / stocastico Episodico / sequenziale Statico / dinamico / semidinamico Discreto / continuo Noto / ignoto

5 La base della conoscenza L insieme di tutte le formule che compongono le basi su cui si fondano i ragionamenti dell agente viene chiamata Knowledge Base (KB) Ogni formula della KB è un assioma: non deve essere dimostrata, ma è presa per buona dall agente Il processo di inferenza del programma agente aggiunge delle formule alla KB esistente tramite due funzioni: Tell: comunica all agente le percezioni avute Ask: restituisce l azione da eseguire data la percezione corrente Tell: l azione eseguita viene registrata nella base delle conoscenza

6 Caratteristiche degli Agenti Basati sulla Conoscenza Determino il comportamento dell agente rispetto a ciò che conosce e al suo obbiettivo (livello della conoscenza), che è indipendente dal funzionamento dell agente (livello dell implementazione) Differente approccio per la specifica del comportamento dell agente: Approccio dichiarativo: passo all agente la conoscenza necessaria per raggiungere l obbiettivo Approccio procedurale: codifico direttamente i comportamenti voluti in un programma Un agente efficace deve riuscire ad integrare entrambi gli approcci

7 Il mondo del Wumpus Voglio trovare l oro ed uscire Se cado in un pozzo o finisco nella casella del Wumpus muoio Posso tirare una sola freccia Percezione: [fetore, brezza, luccichio, urto, ululato]

8 Esempio di inferenza Percezione: [nulla, nulla, nulla, nulla, nulla] Percezione: [nulla, brezza, nulla, nulla, nulla]

9 Esempio di inferenza Percezione: [fetore, nulla, nulla, nulla, nulla] Tutti i miei ragionamenti sono corretti se è corretta la percezione! Percezione: [fetore, brezza, scintillio, nulla, nulla]

10 Formule logiche Le basi della conoscenza sono formate da formule logiche che hanno: Sintassi: definisce se sono ben formate Semantica: definisce se sono vere rispetto ad un mondo possibile Una formula α soddisfa il modello m (ovvero la scelta delle variabili da assegnare) se è vera α in un modello m. I modelli in cui α è vera si dicono modelli di α e sono denotati da M(α)

11 Conseguenza logica Una formula logica α consegue logicamente da un altra formula logica β se e solo se M α M β, ovvero α è un affermazione più forte di β α 1 : Non c è un pozzo in [1,2] α 2 : Non c è un pozzo in [2,2]

12 Model checking Model checking: enumero tutti i possibili modelli per verificare se α è vera in ogni modello ( M KB M α ) Vorrei trovare le formule α che sono soddisfatte in KB Per fare ciò ho la necessità di sviluppare delle procedure di inferenza Dico che α è derivato da KB attraverso la regola i o KB i α se l algoritomo di inferenza è in grado di ricavare α da KB Un algoritmo di inferenza è corretto se preserva la verità delle formule ovvero se deriva formule che sono conseguenze logiche della base di conoscenza Un algoritmo di inferenza è completo se può derivare ogni formula che è conseguenza logica della base di conoscenza

13 Logica proposizionale: sintassi Formule atomiche: composte da un solo simbolo proposizionale ovvero ogni simbolo rappresenta una proposizione che può essere vera o falsa Formule complesse: composte da formule atomiche e da connettivi logici negazione della formula atomica congiunzione disgiunzione a b implicazione, composta da antecedente (a) e conseguente (b) a b equivalenza (in ordine di precedenza)

14 Logica proposizionale: semantica La proposizione atomica True è vera in ogni modello e False è falsa in ogni modello Il valore di verità delle proposizioni atomiche deve essere specificato dal modello Per le formule complesse posso usare le tabelle di verità:

15 KB del mondo del Wumpus Definisco dei simboli per ogni posizione presenza del P x,y pozzo, W x,y wumpus, B x,y brezza, S x,y fetore Cosa sappiamo dopo aver visitato due stanze: P 1,1 : non ci sono pozzi in [1,1] B 1,1 (P 1,2 P 2,1 ) : se c è brezza in [1,1] allora c è un pozzo in [1,2] o in [2,1] B 2,1 (P 1,1 P 2,2 P 3,1 )... B 1,1 : non c è brezza in [1,1] B 2,1 : c è brezza in [2,1] Vorremmo dimostrare che P 2,2 (non ci sono pozzi in [2,2])

16 Enumerazione dei modelli Ogni modello è un assegnamento di valori di verità alle proposizioni atomiche: solo tre assegnamenti rendono vera la KB Proposizioni Atomiche Proposizioni della KB Non possiamo concludere che non c è un pozzo in [2,2]

17 Ricerca sulla tavola di verità Algoritmo: faccio una ricerca sugli assegnamenti con backtraking L algoritmo è corretto: implementa la definizione di conseguenza logica L algoritmo è completo: funziona su ogni KB e formula, termina sempre perchè il numero di configurazioni è finito Complessità temporale: O 2 n con n formule atomiche Complessità spaziale: O n usando il backtracking

18 Dimostrazione di Teoremi Grosso problema si verifica se il numero di modelli validi è molto grande Posso provare a dimostrare teoremi, potrebbe essere più efficiente se la lunghezza della dimostrazione è contenuta Definisco che due formule α e β sono logicamente equivalenti α β se sono vere nello stesso insieme di modelli Definisco che una formula è valida se è vera in ogni modello (è anche detta tautologia) Definisco una formula soddisfacilibile se esiste almeno un modello in cui essa è vera (SAT problem) Teorema di deduzione: Date α e β, α β se e solo se la formula α β è valida

19 Equivalenze logiche

20 Inferenza e Dimostrazioni Modus ponens Tavola di verità: α β, β α α β α β Vero Vero Vero OK Vero Falso Falso OK Eliminazione degli and α β β

21 Equivalenze ed inferenza Tutte le equivalenze possono essere usate come regole di inferenza Ad esempio: eliminazione del bicondizionale α β α β (β α), α β (β α) α β Esempio (voglio dimostrare che non c è un pozzo in [1,2]): B 1,1 (P 1,2 P 2,1 ) B 1,1 (P 1,2 P 2,1 ) ((P 1,2 P 2,1 ) B 1,1 ) (P 1,2 P 2,1 ) B 1,1 B 1,1 (P 1,2 P 2,1 ) (contrapposizione) (P 1,2 P 2,1 ) (Modus ponens e percezione B 1,1 ) P 1,2 P 2,1

22 Processo automatico di inferenza La dimostrazione precedente è stata derivata a mano ma possiamo vedere il problema come un problema di ricerca Stato iniziale: base della conoscenza Azioni: insieme delle regole di inferenza che si possono applicare (la parte superiore corrisponde ad una delle regole presenti nella conoscenza attuale) Transizione: aggiungo la parte inferiore della regola di inferenza alla conoscenza attuale Obbiettivo: stato che contiene la formula che cerchiamo Il tutto funziona perchè abbiamo la proprietà di monotonia: se traiamo nuove conclusioni non possiamo invalidare ciò che abbiamo dimostrato prima

23 Completezza della dimostrazione di formule Proprietà dell algoritmo di ricerca: Ottimalità: possiamo mettere passi unitari per ogni inferenza ed utilizzare un algoritmo ottimo per arrivare alla dimostrazione più veloce Completezza: dipende dalle regole di inferenza disponibili Risoluzione: unita ad un algoritmo di ricerca completo rende la ricerca di formule completa Idea se α β γ e so che γ allora α β

24 Risoluzione Risoluzione unitaria: l 1 l k, m l 1 l i 1 l i+1 l k dove l i e m sono letterali complementari Risoluzione: l 1 l k, m 1 m n l 1 l i 1 l i+1 l k m 1 m j 1 m j+1 m n dove l i e m j sono letterali complementari (i letterali ripetuti vengono eliminati)

25 Applicabilità della formula di risoluzione Sembrerebbe che la formula di risoluzione possa essere usata solo nel caso in cui la KB sia formata da congiunzioni di clausole Clausal Normal Form (CNF) Elimino i se e solo se con la congiunzione di due implicazioni Elimino le implicazioni Muoviamo all interno le negazioni (con De Morgan) Distribuiamo gli and sugli or

26 Dimostrare una formula con risoluzione Per dimostrare che KB α, cerco di capire se KB α è insoddisfacibile (dimostrazione per contraddizione) Converto KB α in CNF Applico risoluzione ad ogni coppia di formule con clausole complementari Continuo finchè Non posso aggiungere altre clausole, quindi α non è conseguenza logica di KB La risoluzione dà come risultato una clausola vuota, quindi α è conseguenza logica di KB (ho una contraddizione)