Introduzione alla logica matematica

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1 Introduzione alla logica matematica, Paolo Bison, A.A , p.1/29 Introduzione alla logica matematica Silvana Badaloni Paolo Bison Fondamenti di Informatica 1 A.A. 2004/05 Università di Padova

2 Logica matematica Introduzione alla logica matematica, Paolo Bison, A.A , p.2/29 formalizzazione dei meccanismi di ragionamento la logica studia proposizioni una proposizione può essere vera o falsa logica a due valori di verità

3 Formalizzazione Introduzione alla logica matematica, Paolo Bison, A.A , p.3/29 sintassi in che modo scrivere le proposizioni semantica significato delle proposizioni

4 Logica proposizionale Introduzione alla logica matematica, Paolo Bison, A.A , p.4/29 P1: Se fa caldo ed è umido allora pioverà P2: Se è umido ed è estate allora fa caldo P3: adesso è umido P4: adesso è estate si vuole verificare: P5: pioverà

5 Logica proposizionale Introduzione alla logica matematica, Paolo Bison, A.A , p.5/29 Ad ogni proposizione elementare viene associata una variabile proposizionale A = fa caldo B = è umido C = è estate D = pioverà

6 Logica proposizionale Introduzione alla logica matematica, Paolo Bison, A.A , p.6/29 La rappresentazione per l esempio è F1: A B D F2: B C A F3: B F4: C si vuole dimostrare che da F1-F4 segue logicamente: F5: D rappresenta la congiunzione (and) rappresenta la implicazione logica

7 Sintassi Introduzione alla logica matematica, Paolo Bison, A.A , p.7/29 La logica proposizionale tratta formule. Una formula è composta da: formule atomiche o atomi (A, B, C,...) connettivi logici parentesi ( )

8 Connettivi logici Introduzione alla logica matematica, Paolo Bison, A.A , p.8/29 not negazione or disgiunzione and congiunzione if then implicazione if and only if bi-implicazione

9 Formule ben formate Introduzione alla logica matematica, Paolo Bison, A.A , p.9/29 Una formula è ben formata (FBF) se e solo se essa è ottenibile applicando le seguenti regole: 1. un atomo è una FBF 2. se F è una FBF, allora ( F ) è una FBF 3. se F e G sono FBF, allora lo sono anche (F G), (F G), (F G) e (F G)

10 Priorità dei connettivi Introduzione alla logica matematica, Paolo Bison, A.A , p.10/29 Stabilendo un ordinamento tra i connettivi è possibile eliminare alcune parentesi. L ordine adottato è il seguente: 1. 2., 3.,

11 Semantica Introduzione alla logica matematica, Paolo Bison, A.A , p.11/29 la semantica della logica proposizionale richiede l introduzione dei valori di verità B = {T, F} dare una interpretazione vuol dire trovare una funzione V : F {T, F} essendo F l insieme delle formule ben formate FBF del Calcolo Proposizionale.

12 Valore di verità di una formula Introduzione alla logica matematica, Paolo Bison, A.A , p.12/29 Si può calcolare il valore di verità di una espressione del Calcolo Proposizionale a partire dai valore di verità delle formule atomiche che la compongono (interpretazioni) e dalle tabelle di verità dei connettivi logici.

13 Tabelle di verità dei connettivi logici Introduzione alla logica matematica, Paolo Bison, A.A , p.13/29 A B ( A) (A B) (A B) (A B) (A B) T T F T T T T T F F F T F F F T T F T T F F F T F F T T

14 Tautologie Introduzione alla logica matematica, Paolo Bison, A.A , p.14/29 Alcune formule sono vere in tutte le interpretazioni. ((P (P Q)) Q) P Q (P Q) P (P Q) ((P (P Q)) Q) T T T T T T F F F T F T T F T F F T F T Tautologie o formule valide.

15 Contraddizioni Introduzione alla logica matematica, Paolo Bison, A.A , p.15/29 formule che sono false in tutte le interpretazioni. ((P Q) P ) ( Q) P Q (P Q) ( Q) ((P Q) P ) ( Q) T T T F F T F F T F F T T F F F F T T F Contraddizioni o formule inconsistenti.

16 Decidibilità della logica proposizionale Introduzione alla logica matematica, Paolo Bison, A.A , p.16/29 Ogni formula è finita e contiene un numero finito di formule atomiche: quindi è sempre possibile determinare se essa è valida, inconsistente o ne l uno ne l altro. La logica proposizionale è decidibile.

17 Equivalenza Logica Introduzione alla logica matematica, Paolo Bison, A.A , p.17/29 Due formule F e G sono equivalenti, e si indica con F G, se e solo se esse hanno lo stesso valore di verità in tutte le interpretazioni. Si può dimostrare che F G se e solo se la formula (F G) è una tautologia.

18 Relazioni di equivalenza logica - I Introduzione alla logica matematica, Paolo Bison, A.A , p.18/29 F F identità ( F ) F doppia negazione (G G) G idempotenza (G G) G idempotenza (G T) G legge dei neutri (G F) F legge dei neutri (G T) T legge dei neutri (G F) G legge dei neutri (G G) F esclusione

19 Relazioni di equivalenza logica - II Introduzione alla logica matematica, Paolo Bison, A.A , p.19/29 (G G) T complementarietà ((F G) H) ((F (G H) associatività ((F G) H) ((F (G H) associatività (F G) (G F ) commutatività (F G) (G F ) commutatività (F (G H)) ((F G) (F H)) distributività (F (G H)) ((F G) (F H)) distributività (F G) ( F G) legge di De Morgan (F G) ( F G) legge di De Morgan

20 Relazioni di equivalenza logica - III Introduzione alla logica matematica, Paolo Bison, A.A , p.20/29 (F (F G)) F assorbimento (F (F G)) F assorbimento (F ( F G)) (F G) assorbimento (F ( F G)) (F G) assorbimento (F G) ( F G) eliminazione implicazione (F (G H)) (G (F H)) proprietà implicazione (F (G H)) ((F G) H) proprietà implicazione (F G) ((F G) (G F )) doppia implicazione

21 Esempio - I Introduzione alla logica matematica, Paolo Bison, A.A , p.21/29 verificare che le seguenti formule sono equivalenti: (a) (P Q) (P R) (b) (P Q R) (a) (P Q) (P R) elimin.impl. (P Q) (P R) DeMorgan (P Q P R) commutativa (P P Q R) idempotenza (P Q R) (b)

22 Esempio - IIa Introduzione alla logica matematica, Paolo Bison, A.A , p.22/29 Verificare se la seguente formula è una tautologia: (a) (A B) ((A B) A) tabella di verità A B (A B) (A B) ((A B) A) (a) T T T F T T T F F T F T F T T T T T F F T T T T

23 Esempio - IIb Introduzione alla logica matematica, Paolo Bison, A.A , p.23/29 relazione di equivalenza (A B) ((A B) A) propr. impl. ((A B) ((A B)) A) elim. impl. (( A B) ( A B)) A elim. impl. (( A B) ( A B)) A distributiva ( A (B B)) A neutri ( A F) A neutri ( A) A doppia neg. A A compl. T.

24 Do it yourself - I Introduzione alla logica matematica, Paolo Bison, A.A , p.24/29 Si dica se la seguente formula è una tautologia: P (P Q) ( (P Q) P ) (P Q) Si dica se le seguenti espressioni del calcolo proposizionale sono o non sono equivalenti: (a) (P Q) R (b) P (Q R) Si dica se la seguente formula del calcolo proposizionale è una contraddizione. ((R T ) (T R) T ) R

25 Connettivi logici in Java Introduzione alla logica matematica, Paolo Bison, A.A , p.25/29 applicabili ad operandi di tipo boolean operatore unario! not operatori binari & and ˆ xor (or esclusivo) or && and condizionale or condizionale

26 Connettivi logici in Java Introduzione alla logica matematica, Paolo Bison, A.A , p.26/29 tabelle di verità A e B espressioni di tipo boolean A B!A A&B A B AˆB true true false true true false true false false false true true false true true false true true false false true false false false

27 Esempi di espressioni Introduzione alla logica matematica, Paolo Bison, A.A , p.27/29 k>=0 & k<n (ERRATO 0<=k<n) k<0 k>=n!(k>=0 & k<n)!(x>0 y<x)&(x<=0)

28 Connettivi condizionali Introduzione alla logica matematica, Paolo Bison, A.A , p.28/29 il secondo operando viene valutato se e solo se il primo è true se l operatore è && il primo è false se l operatore è esempi k>=0 && k<n k<0 k>=n a!=0 && b/a>100 (ERRATO a!=0 & b/a>100) a==0 & (c=b)>100 (ERRATO a==0 && (c=b)>100)

29 Do it yourself - II Introduzione alla logica matematica, Paolo Bison, A.A , p.29/29 esprimere il connettivo xor in termini degli altri connettivi