Algebra di Boole. Tavole di verità. Fondamenti di Informatica Algebra di Boole. Si basa su tre operazioni logiche: AND (*) OR (+) NOT (!
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1 Fondamenti di Informatica Algebra di Boole Prof.ssa Enrica Gentile Informatica e Comunicazione Digitale a.a Algebra di Boole Si basa su tre operazioni logiche: AND (*) OR () NOT (!) Gli operandi possono avere solo due valori: Vero () Falso () Si possono comporre delle espressioni logiche più o meno complesse (A AND B) OR C (NOT A) OR B Prof.ssa E. Gentile Fondamenti di Informatica 2 Tavole di verità AND OR NOT Prof.ssa E. Gentile Fondamenti di Informatica 3
2 Esempio di espressioni A B C A OR (B AND C) A AND (B OR (NOT C)) Prof.ssa E. Gentile Fondamenti di Informatica 4 Trasformazione A B C f Si può specificare l output di ogni funzione booleana esprimendo, tramite una espressione booleana, quali combinazioni delle variabili di input determinano l output ---!ABCA!BCAB!CABC Prof.ssa E. Gentile Fondamenti di Informatica 5 Prima forma canonica Per passare dalla rappresentazione mediante tabella di verità alla notazione tramite espressione booleana è necessario:. Identificare tutte le righe della tabella di verità che danno in output; 2. Per ogni riga con un in output scrivere la configurazione delle variabili che la definiscono (tutte le variabili della configurazione saranno in AND tra loro) 3. Collegare tramite OR tutte le configurazioni ottenute. La rappresentazione così ottenuta è detta: prima forma canonica. Prof.ssa E. Gentile Fondamenti di Informatica 6 2
3 Esercizio A B C f Prof.ssa E. Gentile Fondamenti di Informatica 7 Risoluzione!A!BC!AB!C A!B!C ABC Prof.ssa E. Gentile Fondamenti di Informatica 8 Equivalenza Def. Due funzioni booleane si dicono equivalenti se presentano lo stesso output per qualsiasi configurazione dell input. AB!C A!BC ABC A(B C) Prof.ssa E. Gentile Fondamenti di Informatica 9 3
4 Funzione più semplice Determinare la più semplice funzione booleana equivalente alla funzione data facilita l interpretazione della funzione stessa e permette di semplificare anche i circuiti logici corrispondenti. Una funzione f' è più semplice di una funzione f (f f') secondo il criterio del minor numero di operatori se il suo calcolo richiede meno operazioni di AND e OR rispetto al calcolo di f. Prof.ssa E. Gentile Fondamenti di Informatica Proprietà dell algebra di Boole Commutativa Associativa Idempotenza Assorbimento Distributiva Min e Max Elemento neutro Complemento De Morgan abba (ab)ca(bc) aaa a(a*b)a a*(bc)(a*b)(a*c) a* aa a*!a!(ab)!a*!b a*bb*a (a*b)*ca*(b*c) a*aa a*(ab)a a(b*c)(ab)*(ac) a a*a a!a!(a*b)!a!b Prof.ssa E. Gentile Fondamenti di Informatica Esercizio Minimizzare l espressione logica: AABCBC!B Risoluzione: A(B)C(B!B) AC Prof.ssa E. Gentile Fondamenti di Informatica 2 4
5 Porte Logiche Possiamo esprimere delle operazioni logiche attraverso le porte logiche che simulano le funzioni dell algebra di boole Prof.ssa E. Gentile Fondamenti di Informatica 3 Equivalenza tra funzioni e circuiti Esiste una equivalenza tra le funzioni logiche e le porte elementari delle reti logiche (Shannon) Prof.ssa E. Gentile Fondamenti di Informatica 4 Funzioni ed espressioni x y z f Espressioni equivalenti f xy*!z!y*z f x*!zx*yy*!z!y*z Prof.ssa E. Gentile Fondamenti di Informatica 5 5
6 Esempio Prof.ssa E. Gentile Fondamenti di Informatica 6 Esempio Prof.ssa E. Gentile Fondamenti di Informatica 7 C rimango in casa C esco Leggi A, B Bel tempo NO A Bel tempo SI B C Caldo Esco Caldo NO Rimango in casa A B Non bel tempo Non caldo SI C Resto a casa esco Algoritmo semplice Prof.ssa E. Gentile Fondamenti di Informatica 8 6
7 Lettura dell IF IF A AND B THEN C SE bel tempo E caldo ALLORA esco SE non bel tempo E caldo ALLORA resto a casa SE bel tempo E non caldo ALLORA resto a casa SE non bel tempo E non caldo ALLORA resto a casa Prof.ssa E. Gentile Fondamenti di Informatica 9 Rete combinatoria F(A,B,C) AB!C Prof.ssa E. Gentile Fondamenti di Informatica 2 F(,,) Prof.ssa E. Gentile Fondamenti di Informatica 2 7
8 Esercizio Applicando i teoremi dell algebra di Boole, verificare la seguente equivalenza tra espressioni!a!b!c B!C A(B!B!C) AB!C Prof.ssa E. Gentile Fondamenti di Informatica 22 Esercizio Applicando i teoremi dell algebra di Boole, semplificare le seguenti espressioni e disegnarne la tavola di verità e la rete logica AB!C AB AC C!A!BC A!B!A!B AB A AB B BC Prof.ssa E. Gentile Fondamenti di Informatica 23 Esercizio Disegnare il circuito logico della seguente espressione!((ab) (!BC)) Prof.ssa E. Gentile Fondamenti di Informatica 24 8
9 Sintesi delle reti combinatorie a forma canonica, somma di prodotti (mintermini) Si considerano le righe della tabella delle verità il cui valore è 2a forma canonica: prodotto logico dei termini somma (maxtermini) Si considerano le righe della tabella delle verità il cui valore è Prof.ssa E. Gentile Fondamenti di Informatica 25 Esercizio funzione maggioranza Si chiede di sintetizzare (in forma canonica) una funzione combinatoria dotata di 3 ingressi A, B e C, e di un uscita F, funzionante come segue: Se la maggioranza degli ingressi vale, l uscita vale Se la maggioranza degli ingressi vale, l uscita vale In sintesi: L uscita vale se e solo se 2 o tutti e 3 gli ingressi valgono (cioè se e solo se il valore è in maggioranza) Prof.ssa E. Gentile Fondamenti di Informatica 26 Tabella funzione maggioranza A B C f Prof.ssa E. Gentile Fondamenti di Informatica 27 9
10 Schema logico Prof.ssa E. Gentile Fondamenti di Informatica 28 Funzione combinatoria Dallo schema logico della rete combinatoria così sintetizzata, si può ricavare la funzione combinatoria data come espressione booleana come somma di prodotti F(A, B, C)!A B C A!B C A B!C A B C Prof.ssa E. Gentile Fondamenti di Informatica 29 Reti equivalenti F AB AC F2 A(B C) F AB AC A(B C) F2 Prof.ssa E. Gentile Fondamenti di Informatica 3
11 Prof.ssa E. Gentile Fondamenti di Informatica 3 Operazioni NAND e NOR f B A f B A NAND NOR Prof.ssa E. Gentile Fondamenti di Informatica 32 Rete NAND e NOR Prof.ssa E. Gentile Fondamenti di Informatica 33 XOR o OR Esclusivo A B!AB A!B B A
12 2 Prof.ssa E. Gentile Fondamenti di Informatica 34 Esercizi F!(!(!A!B)!(!A!C)) F CD!BA!C F (AB!CD)(A!B!CD)(A!B!C!D) Prof.ssa E. Gentile Fondamenti di Informatica 35 Esercizi D C F B A Prof.ssa E. Gentile Fondamenti di Informatica 36 Mappa di Karnaugh f B A B A
13 Mappa di Karnaugh a 3 valori A B C F AB C Prof.ssa E. Gentile Fondamenti di Informatica 37 Mappa di Karnaugh a 4 valori A B C D F AB CD!A!C!CD!B!D ABD Prof.ssa E. Gentile Fondamenti di Informatica 38 Esempio AB CD Fc!A!BCD!AB!C!D!ABC!D!ABCD AB!C!D AB!CD ABC!D Implicanti primi: B!D,!ACD,!ABC, AB!C Imp. primi essenziali: B!D,!ACD, AB!C Copertura minima: B!D!ACD AB!C Prof.ssa E. Gentile Fondamenti di Informatica 39 3
14 Esercizio F!A!B!C!A!BC A!B!C A!BC F!AC!D!ABC B!CD A!C F(A!BC)(!A!BC)(A!B!C)(!A!B!C) F(!B!CD)(A!C!D)(BC!D)(!ACD) Prof.ssa E. Gentile Fondamenti di Informatica 4 Equivalenza tra Karnaugh e le reti logiche Prof.ssa E. Gentile Fondamenti di Informatica 4 Semplificazione Per n variabili si può dire che: Due adiacenti rappresentano un prodotto di n- variabili Quattro adiacenti rappresentano un prodotto di n-2 variabili Otto adiacenti rappresentano un prodotto di n-3 variabili Sedici adiacenti rappresentano un prodotto di n-4 variabili Etc Prof.ssa E. Gentile Fondamenti di Informatica 42 4
15 Metodo di minimizzazione Si rappresenta la funzione logica sulla mappa Si localizzano sulla mappa i più grandi raggruppamenti possibili di adiacenti che formano potenze di due Si sceglie il numero minimo di raggruppamenti che copre tutti gli della mappa tenendo presente che eventuali termini isolati debbono essere riportati integralmente Prof.ssa E. Gentile Fondamenti di Informatica 43 Esempio f!a!b!c!abc!ab!c A!B!C A!BC AB C f!ab!a!c A!B f!ab A!B!B!C Prof.ssa E. Gentile Fondamenti di Informatica 44 Reti logiche f!ab!a!c A!B f!ab A!B!B!C Prof.ssa E. Gentile Fondamenti di Informatica 45 5
16 Esempio AB CD f!b!c!cd ABD!ABC!D Prof.ssa E. Gentile Fondamenti di Informatica 46 Rete logica Prof.ssa E. Gentile Fondamenti di Informatica 47 Funzione a 5 variabili f!a!bc!de!abc!de!a!bcde!abcde ABC!DE ABCDE A!B!CDE A!B!CD!E Prof.ssa E. Gentile Fondamenti di Informatica 48 6
17 Minimizzare funzione a 5 variabili A A BC DE BC DE F!ACE A!B!CD BCE Prof.ssa E. Gentile Fondamenti di Informatica 49 Esercizio AB CD Prof.ssa E. Gentile Fondamenti di Informatica 5 Esercizio 2 AB CD Prof.ssa E. Gentile Fondamenti di Informatica 5 7
18 Esercizio 3 AB CD Prof.ssa E. Gentile Fondamenti di Informatica 52 Somma di numeri binari Regole con riporto di Prof.ssa E. Gentile Fondamenti di Informatica 53 Sottrazione di numeri binari Regole con prestito di Prof.ssa E. Gentile Fondamenti di Informatica 54 8
19 Sottrazione con complemento a 2 Trasformo la sottrazione in somma utilizzando il complemento a 2 del secondo termine Cambio degli con e viceversa, più La sottrazione Equivale alla somma Riporto finale indica risultato positivo Riporto finale indica risultato negativo Il riporto può essere ignorato Prof.ssa E. Gentile Fondamenti di Informatica 55 Prodotto di numeri binari Regole * * * * Prof.ssa E. Gentile Fondamenti di Informatica 56 Somma Prof.ssa E. Gentile Fondamenti di Informatica 57 9
20 2 Prof.ssa E. Gentile Fondamenti di Informatica 58 Somma Prof.ssa E. Gentile Fondamenti di Informatica 59 Somma Prof.ssa E. Gentile Fondamenti di Informatica 6 Somma
21 2 Prof.ssa E. Gentile Fondamenti di Informatica 6 Somma Prof.ssa E. Gentile Fondamenti di Informatica 62 Somma Prof.ssa E. Gentile Fondamenti di Informatica 63 Somma
22 22 Prof.ssa E. Gentile Fondamenti di Informatica 64 Somma Prof.ssa E. Gentile Fondamenti di Informatica 65 Somma Prof.ssa E. Gentile Fondamenti di Informatica 66 Sottrazione -
23 23 Prof.ssa E. Gentile Fondamenti di Informatica 67 Sottrazione - Prof.ssa E. Gentile Fondamenti di Informatica 68 Sottrazione - Prof.ssa E. Gentile Fondamenti di Informatica 69 Sottrazione -
24 24 Prof.ssa E. Gentile Fondamenti di Informatica 7 Sottrazione - Prof.ssa E. Gentile Fondamenti di Informatica 7 Sottrazione - Prof.ssa E. Gentile Fondamenti di Informatica 72 Prodotto *
25 25 Prof.ssa E. Gentile Fondamenti di Informatica 73 Prodotto * Prof.ssa E. Gentile Fondamenti di Informatica 74 Prodotto * Prof.ssa E. Gentile Fondamenti di Informatica 75 Prodotto *
26 Prodotto * Prof.ssa E. Gentile Fondamenti di Informatica 76 Esercizio Somma e sottrazione dei numeri: Prodotto dei numeri: 5 * 3 7 * 4 8 * 9 Prof.ssa E. Gentile Fondamenti di Informatica 77 26
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