Algebra di Boole e circuiti logici

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1 lgebra di oole e circuiti logici Progetto Lauree Scientiiche 29 Dipartimento di Fisica Università di Genova Laboratorio di Fisica in collaborazione con il Liceo Scientiico Leonardo da Vinci Genova - 23 novembre 29 Edgardo Smerieri Cosa aremo oggi? Veloce riassunto dell algebra di oole: senza alcuna dimostrazione senza pretesa di completezza con approondimenti su richiesta Utilizzo della breadboard (basetta per circuiti elettrici senza saldature) Esperienze. Minimizzazione di una unzione logica 2. Realizzazione di un circuito a LED per evidenziare lo stato di una porta logica 3. Realizzazione del circuito aritmetico Hal dder 4. Realizzazione del circuito aritmetico Full dder 5. Minimizzazione di una unzione generica e realizzazione del circuito logico relativo 6. Realizzazione di un circuito logico mediante la sintesi con porte NND 2

2 Funzioni e variabili booleane,,c,d etc. variabili booleane a,b,c,d etc. unzioni booleane Le unzioni e le variabili booleane hanno due soli valori - Una unzione è deinita tramite una tabella che riporta il valore assunto dalla unzione in corrispondenza di tutti i possibili valori delle variabili; essa viene detta tabella della verità Una unzione è completamente speciicata se il suo valore è speciicato in corrispondenza di tutti i possibili valori delle variabili Una unzione è non completamente speciicata se il suo valore non è speciicato in corrispondenza di alcun i possibili valori delle variabili; Condizioni indierenti sono dette quelle per cui non è speciicato il valore della unzione; ciò viene indicato con x nella tabella della verità 3 Tabella della verità di una unzione C C g x x Esempio di unzione non completamente speciicata Esempio di unzione completamente speciicata 4 2

3 Funzioni e variabili booleane. Le unzioni booleane possono scriversi in orma algebrica o sotto orma di tabella della verità. 2. Una unzione è identiicata in maniera univoca dalla sua tabella della verità. 3. Due unzioni (algebricamente espresse in maniera diversa) sono equivalenti se hanno la stessa tabella della verità. 5 Numero di variabili e numero di unzioni Le unzioni e le variabili booleane hanno due soli valori Il numero delle righe (combinazioni delle variabili) nella tabella della verità è Combinazio ni = Il numero delle unzioni possibili è inito ed è n 2 Funzioni = 2 n è il numero delle variabili n 2 6 3

4 Funzioni di una variabile Il numero delle unzioni possibili è inito ed è pari a = = = 2 3 = NOT IDENTIT 7 Funzioni di due variabili Il numero delle unzioni possibili è inito ed è pari a NOR EX- OR ND NND EX- NOR OR 8 4

5 Funzione OR o somma logica = + La unzione OR (inclusivo) ha il valore quando almeno una delle variabili ha il valore 9 Funzione ND o prodotto logico = = La unzione ND ha il valore solo quando tutte le variabili hanno il valore 5

6 Funzione NOR = + NOR corrisponde ad una operazione NOT applicata al risultato di un operazione OR La unzione NOR ha il valore quando almeno una delle variabili ha il valore Funzione NND = = NND corrisponde ad una operazione NOT applicata al risultato di un operazione ND La unzione NND ha il valore solo quando tutte le variabili hanno il valore 2 6

7 Funzione EX-OR = = + Per due variabili la unzione EX-OR (OR esclusivo) ha il valore quando le variabili hanno valori diversi tra loro L operazione EX-OR si chiama anche operazione DISPRIT perché per più variabili essa ha il valore quando un numero dispari di variabili ha il valore 3 Funzione EX-NOR = = + Per due variabili la unzione EX-NOR (NOR esclusivo) ha il valore quando le due variabili hanno lo stesso valore L operazione EX-NOR si chiama anche operazione PRIT perché per più variabili essa ha il valore quando un numero pari di variabili ha il valore 4 7

8 Porte logiche universali Tutte le unzioni possono essere scritte algebricamente utilizzando solo le unzioni NOT OR ND ltri insiemi unzionalmente completi sono costituiti da: { NOT, OR } { NOT, ND } { NOR } { NND } Le porte NND e NOR sono dette porte logiche universali in quanto è possibile scrivere qualsiasi unzione utilizzando solo porte NOR oppure solo porte NND 5 lcuni teoremi + = + = + = + = = = = = = + = + = + ( + )( + C) = + C Teoremi di De Morgan C + + = C C = C

9 Problematiche Tabella della verità Funzione algebrica Circuito logico. Dal circuito logico alla tabella della verità 2. Dal circuito logico alla unzione algebrica 3. Dalla unzione algebrica al circuito logico 4. Dalla unzione algebrica alla tabella della verità 5. Dalla tabella della verità alla unzione algebrica 6. Dalla tabella della verità al circuito logico 7 Dal circuito logico alla tabella della verità C 8 9

10 Dal circuito logico alla unzione algebrica X = C Y = X + Z = X = ZY [( C ) ] [ ( C ) ] = + 9 Dalla unzione algebrica al circuito logico = C + + ( C ) primo passo secondo passo terzo passo quarto passo circuito inale 2

11 Dalla unzione algebrica alla tabella della verità = C + + C C C C 2 Dalla tabella della verità alla unzione algebrica Dalla tabella della verità al circuito logico Il problema che ci poniamo ora è il seguente: data la tabella della verità di una unzione come si scrive algebricamente la unzione? come è atto il circuito che implementa la tabella della verità? Il problema è di acile soluzione ricorrendo alla orma canonica sia per l espressione algebrica sia per il circuito logico lgebricamente la unzione in orma canonica si scrive in due modi Somma di prodotti Prodotti di somme Circuitalmente la unzione in orma canonica è costituita da una struttura a due livelli 22

12 Importanza della orma canonica Tabella della verità Espressione algebrica in orma canonica Circuito logico in orma canonica Il passaggio dall uno all altro è acile ed immediato 23 Mintermini e Maxtermini C Mintermine m m m 2 m 3 m 4 m 5 m 6 m 7 C C C C C C C C Maxtermine M C + + M M 2 M 3 M 4 M 5 M 6 M 7 C + + C + + C + + C + + C + + C + + C

13 Forma canonica Somma di Prodotti = dove la unzione vale m i La unzione algebrica espressa nella orma canonica Somma di Prodotti è data dalla somma dei mintermini corrispondenti alle righe della tabella della verità dove la unzione ha il valore Forma canonica Prodotto di Somme = M i dove la unzione vale La unzione algebrica espressa nella orma canonica Prodotti di Somme è data dalla prodotto dei maxtermini corrispondenti alle righe della tabella della verità dove la unzione ha il valore 25 Forma canonica Somma di Prodotti Esempio C = m m3 m7 = C + C + C 26 3

14 Forma canonica Prodotto di Somme Esempio C = M 2 M 4 M 6 = ( C + + ) ( C + + ) ( C + + ) 27 Mappe di Karnaugh DC C I valori delle variabili posti ai bordi della mappa sono scritti in modo tale che passando da una colonna ad una adiacente, oppure da una riga ad una adiacente, si ha il cambiamento di valore di una sola variabile 28 4

15 Mintermini e maxtermini e mappe di Karnaugh DC m m 4 m 2 m 8 C m m 5 m 3 m 9 M M M 3 M 2 m 3 m 7 m 5 m M 4 M 5 M 7 M 6 m 2 m 6 m 4 m Caselle della mappa di K. a 3 variabili e relativi maxtermini associati Caselle della mappa di K. a 4 variabili e relativi mintermini associati Per ogni mintermine di una unzione espressa nella orma canonica Somma di Prodotti c è un nella mappa di Karnaugh Per ogni maxtermine di una unzione espressa nella orma canonica Prodotto di Somme c è uno nella mappa di Karnaugh 29 Esempio di rappresentazione di una unzione sulla mappa di Karnaugh = m m6 + m7 + m + m2 m3 = DC + DC + DC + DC + DC + DC 3 5

16 Il problema della minimizzazione L importanza della orma canonica è legata alla semplicità con cui si passa dalla tabella della verità alla unzione algebrica e al circuito che la realizza e viceversa ma.. La realizzazione circuitale in orma canonica non è la orma più semplice o come si dice minima con cui implementare una data unzione; si pone quindi il problema di trovare quali altri circuiti permettano di ottenere quanto richiesto ma in modo più semplice Metodo algebrico Metodo delle mappe di Karnaugh 3 Un esempio di minimizzazione = m + m = DC + DC = DC( + ) = DC

17 Un altro esempio di minimizzazione 3 9 = m + m + m + m = DC + DC + DC + DC = = D C( + ) + DC( + ) = DC + DC = = C ( D + D) = C 33 Regole per la minimizzazione delle mappe di Karnaugh. Si devono raggruppare obbligatoriamente tutti gli o gli almeno una volta 2. Si possono raggruppare gli e/o gli più di una volta purché appartenenti ad implicanti non coperti 3. I raggruppamenti sono rieriti a caselle adiacenti considerate a blocchi di 2 n caselle 4. Si devono are i raggruppamenti più grandi possibili, ciò al ine di ridurre il numero di variabili e quindi di ingressi 5. Si devono are i raggruppamenti nel minor numero possibile, ciò al ine di ridurre il numero di porte 6. In base al valore che la unzione ha nel raggruppamento e in conormità a come si vuole esprimere algebricamente la unzione medesima si può avere raggruppando gli ed esprimendo la unzione con mintermini raggruppando gli ed esprimendo la unzione con mintermini / raggruppando gli ed esprimendo la unzione con maxtermini raggruppando gli ed esprimendo la unzione con maxtermini / 7. Si utilizzano i valori indierenti della unzione (indicati di solito con x ) soltanto se questi servono per sempliicare la unzione minimizzata 34 7

18 lcuni aspetti isici delle porte logiche Famiglie Logiche Tecnologia delle porte logiche Tensione di alimentazione Tensioni tensioni d ingresso e d uscita Correnti d ingresso e d uscita Tipologia del circuito d uscita d uscita Ritardo di propagazione Fan-out e Fan-in Potenza dissipata Frequenza massima di lavoro Etc. etc. 35 Logica Positiva e Logica Negativa g L L L L H L H H L H L H L = H = ND in Logica Positiva L = H = Tabella della verità del costruttore dove L ed H sono livelli di tensione OR in Logica Negativa 36 8

19 Valori logici e grandezze isiche La domanda che ci poniamo ora è: Un livello logico L (LOW) corrispondente al un valore basso di tensione a che valore di tensione corrisponde? Un livello logico H (HIGH) corrispondente ad un valore alto di tensione a che valore di tensione corrisponde? Logic H Tensione HIGH Logic L Tensione LOW 37 Caratteristica di una porta logica (NOT) V out V OH V OL V OL V IL V IH V OH V in La tensione V OL è la massima tensione d uscita da una porta logica a livello logico basso La tensione V IL è la massima tensione d ingresso ad una porta logica che viene riconosciuta ancora come livello logico basso La tensione V IH è la minima tensione d ingresso ad una porta logica che viene riconosciuta come livello logico alto La tensione V OH è la minima tensione d uscita da una porta logica a livello logico alto 38 9

20 Livelli di una porta TTL V out V OH V OL VOL VIL V IH V OH V in 5V 2.V.8V V HIGH Funzionamento non prevedibile LOW V IH V IL 5V 2.4V.4V V HIGH Funzionamento non prevedibile LOW V OH V OL Ingresso Uscita La amiglia TTL ha una tensione issa di alimentazione pari 5V 39 Livelli di una porta CMOS V out V OH V OL VOL VIL V IH V OH V in 5V 3.5V HIGH Funzionamento non prevedibile V IH 5V 4.9V HIGH Funzionamento non prevedibile V OH.5V V IL V OL V LOW.V V LOW Ingresso Uscita La amiglia CMOS ha come tensioni di alimentazione tipiche 5V-V-5V 4 2

21 4 42 2

22 43 Identiicazione dei pin dei C.I. top view 44 22

23 a Esperienza - Minimizzazione C - Realizzare la mappa di Karnaugh x corrispondente - Minimizzare la unzione mediante la mappa di Karnaugh sia come somma di prodotti che come prodotto di somme - Disegnare i due circuiti corrispondenti alle diverse unzioni minimizzate 45 2 a Esperienza ccensione e spegnimento di un LED Serve per ornire un livello di tensione HIGH o LOW ad una porta TTL Serve per evidenziare lo stato di uscita di una porta TTL 46 23

24 ccensione e spegnimento di un LED Realizzazione circuitale 47 3 a Esperienza Hal dder Input Output C S Somma ritmetica di due bit + = + = + = + = con riporto di a sinistra S = C = 48 24

25 Hal dder Realizzazione circuitale Gli ingressi i e i vanno collegati agli interruttori, le uscite di somma e riporto ai LED come nell esperienza precedente 49 4 a Esperienza - Full dder ad bit Riporto in ingresso ddendi Riporto in uscita Somma C i i i C i+ S i i i C i Full dder a bit C i + S i 5 25

26 Full dder ad bit Realizzazione con Hal dder Si propone una realizzazione circuitale non basata sulla orma canonica e relativa minimizzazione i+ i [ i i ] i i C = C + S i = C i i i 5 Full dder Schema logico 52 26

27 Full dder Realizzazione del circuito 53 Full dder Collegamenti alimentazione 54 27

28 5 a Esperienza Realizzazione circuito minimizzato C x Costruire il circuito minimizzato che realizza la tabella di verità dell esperienza N (riportata a lato) e veriicarne il unzionamento a Esperienza Minimizzazione con porte NND C Partendo dal circuito minimizzato della x esperienza N 5 (si riporta la tabella della verità) : - dimostrare che il circuito può essere realizzato utilizzando solo porte universali NND - costruire il circuito solo con porte NND - veriicarne il unzionamento Suggerimento: teoremi di De Morgan 56 28

29 Pin-Out dei C.I. per le esperienze 74LS8 ND 74LS32 OR 74LS86 XOR 74LS NND 74LS2 NOR 74LS4 74LS5 Inverter 57 29