Algebra di Boole: mappe di Karnaugh

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1 Corso di Calcolatori Elettronici I A.A Algebra di Boole: mappe di Karnaugh Pro. Roberto Canonico Università degli Studi di Napoli Federico II Dipartimento di Ingegneria Elettrica e delle Tecnologie dell Inormazione Corso di Laurea in Ingegneria Inormatica (allievi A-DA) Corso di Laurea in Ingegneria dell Automazione Funzioni Equivalenza ed Implicazione Funzione equivalenza a b è vera s.s.e. è 1: (a,b) = ab + ab Funzione implicazione a b è vera s.s.e. vale 1: (a,b) = (a b) = a + b = (a b) Si dice che x implica y se e solo se dalla verità di x (antecedente) scaturisce necessariamente la verità di y (conseguente) In termini algebrici, essendo l implicazione alsa se e solo se x è vera e y è alsa, applicando il Teorema di De Morgan, si ha x y = x y x y = x y = x + y

2 Implicazione come relazione d ordine Se x y è vera, allora x + y = x y + y = x y + xy + y = x y y + xy + yy x + y = ( ass. compl ) ( P 4) ( P 3) = ( x + y) y + ( x + y) y = 1 x + y = y x y 1 ( DeMorgan ) per le proprietà dell equivalenza ab+ab l'implicazione è la relazione d'ordine nell'algebra della logica Implicanti di una unzione Un implicante di è una unzione 1 tale che 1 + =1 cioè 1 Esempio: implicanti di ma anche: 2 1 e 4 3

3 Implicanti primi di una unzione Nell insieme degli implicanti di, deiniamo primi quegli implicanti che a loro volta non implicano nessun altro implicante di Solo 1 ed 3 sono implicanti primi Proprietà degli implicanti 1. La clausola di una unzione in orma di tipo P è un suo implicante n = i= 1 A i A i + = A ( A1 + A2 + K+ A ) = 1 2. Una clausola B ne implica un altra A se e solo se B contiene tutti i letterali di A 3. La somma di due clausole di ordine n che contengono n-1 letterali uguali ed in cui un letterale dell'una sia il complemento di quello dell'altra è la clausola di ordine n-1 ormata dai letterali comuni (detta consenso) i + n

4 Proprietà degli implicanti (2) 3. Ad una unzione può essere aggiunto un suo implicante senza alterarne il valore 4. A è un implicante di se e solo se nella prima orma canonica di sono presenti tutti i mintermini aventi A come attore Inatti, se A è un implicante, lo si può aggiungere ad, per poi espanderlo in mintermini (acendo comparire anche le variabili assenti in A) Se, viceversa, sono presenti tutti i mintermini aventi A come attore, essi possono essere raccolti in modo da ar apparire A come clausola di. ( x, siha: y, z) = xy+ yz, equindi = xyz + xyz+ xyz+ xyz xy e yz Mappe di Karnaugh a b c Y c ab

5 Mappe di Karnaugh Le mappe di Karnaugh sono una rappresentazione tabellare delle unzioni booleane, alternativa alla tabella di verità Consentono di individuare acilmente consensi nell espressione algebrica Due celle adiacenti sulle MdK sono associate a mintermini che dieriscono in un solo letterale Rappresentano una clausola di ordine n-1 Es: a bc + abc = ( a+ a) bc = bc Mappe di Karnaugh da: G. Bucci. Calcolatori Elettronici Architettura e organizzazione. McGraw-Hill, 2009

6 Mappe di Karnaugh Rappresentazione dei mintermini sulle Mappe di Karnaugh

7 Proprietà notevoli I mintermini che si oppongono in una sola variabile sono adiacenti e quindi le coppie di quadratini adiacenti rappresentano clausole di ordine n-1; Le clausole di ordine n-1 (n 2) che si oppongono in una sola variabile sono ancora adiacenti e quindi le quadruple rappresentano clausole di ordine n-2; Le ottuple (n 3) rappresentano clausole di ordine n-3. Le clausole sono anche dette cubi, o sottocubi Maggiore è la dimensione del sottocubo, minore l ordine (numero di letterali) della clausola I sottocubi di area massima rappresentano gli implicanti primi della unzione Implicanti primi sulle mappe di Karnaugh Gli implicanti primi sono individuati graicamente come sottocubi di area massima ƒ = abcd + a bcd + ab cd + abc d + ab c d + abc d + ab c d Implicanti primi: bcd, a cd, ab d, ab

8 Mappe di Karnaugh Due modi per rappresentare la stessa unzione: a ) y abcd + bcd + ac b y = bcd + abd+ abcd + abcd + abcd 1 = ) 2 Mappe di Karnaugh da: G. Bucci. Calcolatori Elettronici Architettura e organizzazione. McGraw-Hill, 2009

9 Implicanti primi essenziali Un implicante primo E i di una unzione è detto essenziale se è l'unico ad essere implicato da un mintermine di In altri termini, E i è l unico a coprire un determinato mintermine della unzione Mappe di Karnaugh a bc + wxy,wyz,wxy,wyz sono essenziali, xz NO da: G. Bucci. Calcolatori Elettronici Architettura e organizzazione. McGraw-Hill, 2009

10 Mappe di Karnaugh Mappe per unzioni in orma S ( b + d ) ( a + b ) ( a + d ) ( b + d ) Mappe di Karnaugh a 5 variabili Possono essere usate anche per unzioni di 5 variabili, perdendo tuttavia l eicacia e l immediatezza della rappresentazione b d e abd a bc d