Semplificazione delle funzioni logiche mediante le mappe K

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1 Semplificazione delle funzioni logiche mediante le mappe K Le mappe di Karnaugh Le mappe di Karnaugh (o mappe K) servono a minimizzare una funzione booleana nel modo più semplice e soprattutto in modo grafico; le mappe K sono costituite da tante caselle quante sono le combinazioni (2 n con n pari al numero di variabili in ingresso della funzione logica) dei valori delle variabili d'ingresso (verificabili tramite la tabella di verità) opportunamente disposte una accanto all'altra. Figura 1. Mappe K (con 2, 3 o 4 variabili in ingresso della funzione logica ) Le caselle che hanno un lato in comune sono dette adiacenti. Debbono essere considerate adiacenti anche le caselle all'estremità di una riga o di una colonna, come se la mappa fosse disegnata su una superficie chiusa su se stessa (un mappamondo) Le caselle inoltre sono disposte in modo tale che passando da una qualsiasi ad una adiacente sulla stessa riga o sulla stessa colonna cambia di valore una sola variabile. Una volta disegnata la mappa K si possono individuare, sulla tabella di verità, le righe che danno il valore 1 per la funzione Y e si inserisce un 1 nella casella corrispondente della mappa K; se la funzione è espressa in forma algebrica basterà inserire un 1 nelle caselle corrispondenti ad un minitermine. Quando la mappa è completa si può procedere al raggruppamento delle caselle adiacenti contenenti un 1 per ottenere una funzione semplificata; naturalmente bisogna rispettare alcune regole: 1. I raggruppamenti possono essere di 1,2,4,8,16,etc. caselle adiacenti tra loro comprese quelle situate ai bordi esterni della mappa. 2. I raggruppamenti devono essere più ampi possibili e sono sovrapponibili parzialmente. 3. Una casella già raggruppata può essere unita ad un'altra se ciò forma un gruppo di 2,4,8,etc. caselle. Dopo aver effettuato i raggruppamenti la funzione viene espressa in forma semplificata come somma di prodotti; i prodotti sono costituiti dalle variabili che non cambiano di valore nel raggruppamento.

2 Lo stesso risultato poteva essere raggiunto con i teoremi booleani. Come si vede l'utilizzo delle mappe di Karnaugh semplifica notevolmente il lavoro di minimizzazione di una funzione ma è veramente conveniente solo per un massimo di 6 variabili. Ad esempio alla funzione: (forma canonica della somma) corrisponde la seguente mappa di Karnaugh: Figura 2. Si considerino ora le due caselle comprese nel rettangolo tratteggiato; esse corrispondono alle combinazioni 010 e 011 delle variabili A, B, C e quindi nell'espressione algebrica della funzione alla somma del secondo e terzo termine che vale: Il prodotto B*A/ così ottenuto è evidenziato nella Figura 2 dal raggruppamento che racchiude i due 1 adiacenti. I due fattori che lo compongono sono dati da quelle variabili (A,B) che non cambiano di valore (A = 0 e B = 1) nelle due caselle del raggruppamento. Questo prodotto può essere scritto direttamente dall'osservazione della mappa, assumendo come fattori le variabili che mantengono il loro valore (scompaiono le variabili che cambiano il loro valore), negando quelle a valore 0 e lasciando inalterate quelle a valore uno. Le considerazioni precedenti possono essere estese, riferendosi ancora alla figura 2, al raggruppamento delle quattro caselle contigue dell'ultima riga ottenendo come risultato dei quattro 1 adiacenti il solo termine C. Infatti lungo tutta la riga la sola variabile che resta costante è la C (che non va poi negata perchè vale 1). Poiché tutti gli uno della mappa sono stati inclusi nei raggruppamenti tratteggiati, la somma dei termini corrispondenti a queste nuvole dà come risultato l'espressione minima della funzione:

3 Tale risultato può essere raggiunto, come può essere facilmente verificato, applicando i teoremi dell'algebra di Boole. In generale, per funzioni logiche di n variabili si può dire che: Due 1 adiacenti rappresentano un prodotto di n-1 variabili. Quattro 1 adiacenti rappresentano un prodotto di n-2 variabili. Otto 1 adiacenti rappresentano un prodotto di n-3 variabili. Sedici 1 adiacenti rappresentano un prodotto di n-4 variabili. Etc... In definitiva per minimizzare una funzione logica mediante il metodo delle mappe di Karnaugh si opera nel modo seguente: 1. Si rappresenta la funzione logica sulla mappa; 2. Si localizzano sulla mappa i più grandi raggruppamenti possibili di 1 adiacenti che formano potenze del 2; 3. Si sceglie il numero minimo di raggruppamenti che copre tutti gli 1 della mappa tenendo conto che eventuali termini isolati debbono essere riportati integralmente. Esempio 1 Realizzare lo schema logico che soddisfa la seguente tabella di verità: Figura 3. La forma canonica della somma (cioè la Somma dei minimitermini dove ogni minimotermine è il Prodotto delle variabili di ingresso negate o non negate il cui risultato vale uno)

4 La forma canonica SOP ( Sum Of Product ) vale: e la rappresentazione della funzione sulla mappa di Karnaugh è la seguente (i valori 0 spesso si omettono per chiarezza): Figura 4. Dall'esame della Figura 4 si può notare che sono possibili due diversi raggruppamenti di 1 (Figura 5 a, b) adiacenti a cui corrispondono due diverse espressioni: Figura 5. Alle due espressioni di Y a e Y b, entrambe minime, corrispondono gli schemi logici di Figura 6 e Figura 7, rispettivamente:

5 Figura 6. Può essere facilmente verificato che i circuiti di Figura 6 e Figura 7 soddisfano alla medesima tabella della verità (sono equivalenti) e quindi realizzano la stessa funzione logica pur partendo da espressioni diverse. In definitiva si può dire che da una mappa di Karnaugh è possibile ricavare funzioni minime diverse a seconda del raggruppamento scelto.

6 Figura 7. Un raggruppamento di 1 adiacenti non rigoroso (cioè incompleto) comporta una espressione ulteriormente semplificabile e quindi non minima. Ad esempio, facendo riferimento alla mappa di Figura 4, il raggruppamento di 1 adiacenti di Figura 8 non è completo: Figura 8. e la funzione corrispondente: non è una funzione minima, infatti tramite i teoremi dell'algebra di Boole, si osserva che:

7 Esempio 2 Determinazione delle funzioni minime della mappa di Karnaugh di Figura 9 e realizzazione dello schema logico corrispondente: Figura 9. I raggruppamenti sono indicati in Figura 10 Figura 10. La funzione minima vale: Lo schema che la realizza è quello di Figura 11.

8 Figura 11. Condizioni di indifferenza Accade, a volte, che il valore dell'uscita di un'assegnata tabella di verità non venga specificato per alcune combinazioni delle variabili d'ingresso, o perchè queste combinazioni non possono verificarsi oppure perchè più in generale, non interessa conoscere i valori dell'uscita corrispondenti a tali combinazioni. Si parla così di condizioni di indifferenza. In questa situazione l'uscita, che può assumere indifferentemente il valore 0 o 1, viene qui riportata nella tabella di verità e sulla mappa di Karnaugh con il simbolo "_" (più spesso si usa il simbolo x ). Le condizioni di indifferenza possono essere sfruttate al fine di semplificare la funzione logica assegnando il valore 1 quando ciò è conveniente.

9 Esempio 4 Determinazione della funzione minima e realizzazione dello schema logico corrispondente alla tabella della verità di Figura 14. Figura 14. La mappa di Karnaugh relativa alla tabella data è la seguente: Figura 15. Assumendo la condizione di indifferenza localizzata nel raggruppamento come 1 e le altre come 0, la funzione minima vale: (da